二项展开式系数
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项展开式系数
二项展开式系数1、二项展开式是分析数学方法技术的一种，它利用二项展开式定理来进行求解。
二项展开式的定义为：一定的数据在进行了一定的运算后，每一项的系数即为二项展开式所求的系数。
例如：设(a+b)n为一个表达式，则n次幂中的每一项的系数统称为二项展开式系数。
如：(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3。
该式中，x3、3x2y、3xy2及y3系数分别为1、3、3及1。
2、几何推理中要求观察到几何特征，判断其它特征之间的关系，甚至归结总结出往后推理所需要的准则。
因此，二项展开式系数研究也涉及到几何推理，以及如何完整说明几何概念之间的联系和区别的问题。
3、求解二项展开式系数的方法有很多。
其中一种常用的方法是借助于各种公式方法，即根据某些已知公式，按照一定步骤推算出所求二项展开式系数。
例如求(x+y)n展开式中每一项系数的公式为：Cnk=n！/(k！(n-k)！)，其中Cnk=xkyn-k即为所求系数，n和k分别为阶数及其中每一项的次方。
4、在此基础上，依据二项展开式系数的不同特性，还可以利用比较推理、动态规划、递推等方法，更进一步完善求解二项展开式系数的运算过程。
例如，运用动态规划的思想，把计算二项展开式系数分解为若干个小步骤，再从一组初始数据出发，按照一定的步骤把答案求出来。
5、最后，当求解过程中答案较大或者系数比较难求时，就可以利用数学软件的运算性能来方便、准确和快捷地求解二项展开式系数。
总而言之，二项展开式系数的求解，涉及到许多分析方法。
就求解效率来说，可以分别采用几何推理、算法手段及数学软件等方式，以求得其最优解。
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
题型08 二项展开式中的系数和、差问题(解析版)
【秒杀题型】：二项展开式中二项式系数和、各项系数和与差【题型1】：求二项式系数和、各项系数和。
『秒杀策略』：二项展开式二项式系数和：n 2；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：12-n 。
系数和：赋值法：二项展开式的系数表示式：nn n x a x a x a a b ax ++++=+...)(2210(n a a a ,...,,10是系数)，令1=x 得系数和：nn b a a a a )(...10+=+++。
1.(2011年新课标全国卷5)5)12)((xx x ax -+的展开式中各项系数和为2，则该展开式中常数项为 ( ) A.－40 B.－20 C.20 D.40【解析】：令1=x 得系数和：1,2)12)(1(5==-+a a ，再利用分配系数法得常数项为40，选D 。
2.(高考题)已知n的展开式中，各项系数和与其各项二项式系数和之比为64，则n 等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】：令1=x 得系数和：n4，二项式系数和：n2，之比为n2=64，得6=n ，选C 。
3.(高考题)设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为 ( )A.－2B.－1C.1D.2 【解析】：令1-=x 得系数和：-2，选A 。
4.(高考题)8)2(x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A.－1B.0C.1D.2 【解析】：令1=x 得系数和：1，4x 的系数是1，选B 。
5.(高考题)在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 。
【解析】：二项式系数和：n 2=256，n=8，利用通项得()r r r rrr r x C x x C T 22348883181-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+，当2=r 时得常数项112。
二项式定理
二项式定理1．二项式定理2.(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．(×)(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n .(×)(9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.(×)(10)n x x )12(3 的展开式中不可能有常数项．(×)考点一 二项展开式的通项及应用[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(x )r ＝25－r C r 5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4.答案：A(3)(2017·河北唐山一模)322)21(-+xx 展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20解析：∵322)21(-+x x ＝6)1(xx -，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r rx )1(-＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.答案：C[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项． 解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·，第r 项的系数为26－r C r －15第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15∴⎩⎨⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2当r ＝1时，T 2＝ 当r ＝2时，T 3＝故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r可知，当r ＝6时． 常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1. 3．在本例(4)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.考点二 二项展开式的系数和问题[例2] 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[方法引航] (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解析：选D.令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项即为5)12(xx -展开式中1x 的系数与x 的系数的和.5)12(xx -展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k·(－1)k .令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此5)12(xx -展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此5)12(x x -展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项为80－40＝40.2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为________．解析：设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4.令x 分别取1，－1，f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f (1)－f (－1)2＝1－272＝－13.答案：－13考点三 二项式定理的综合应用[例3] (1)若S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727，求S 除以9的余数． 解：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(2)求1.025的近似值．(精确到两位小数)解：1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.[方法引航] (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.1．将本例(1)变为S ＝1＋2＋22＋…＋25n －1.求证：S 能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．2．将本例(2)改为：求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.[易错警示]多次应用二项展开式通项公式搭配不全[典例] (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 [正解] 二项式52)11(-x展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5r x-52)1(·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D [易误] (x 2＋2)与52)11(-x的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x －2的积也为常数．[警示] 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4的展开式通项为C r 4x r ，其中r 可取0,1,2,3,4. x 的所有奇数次幂为a C 14x ，a C 34x 3，C 04x ，C 24x 3，C 44x 5，∴系数和为8a ＋8＝32，∴a ＝3. 答案：32．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，故展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－203．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：∵(x ＋a )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r (r ＝0,1，…，10)， ∴(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，得a ＝12. 答案：124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选B.由题意可知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，即13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.课时规范训练 A 组 基础演练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40.2.532)2(x x -展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k kx )2(3-＝C k 5(－2)k x 10－5k，令10－5k ＝0得k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A.二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.4．已知8)(x a x -展开式中常数项为1 120，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.5．如果nx x )12(2+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10解析：选B.n xx )12(2+的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r rx )1(2＝∵n ，r ∈N ，且r ≤n ，∴n ＝5r ∈N ，即n 的最小值为5.6．在n x x )12(3-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28解析：选B.由题意有n ＝8，T k ＋1＝C k 8k -8)21((－1)kx 8－43k ，k ＝6时为常数项，常数项为7. 7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋22C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A.逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.8．若n x x )1(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．－10 B ．10 C ．－45 D ．45解析：选D.因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r·＝C r n (－1)r，所以C 2nC 4n＝314，解得n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·，令20－5r 2＝0，则r ＝8.所以常数项为T 9＝C 810＝C 210＝45.9．在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D.因为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k kx )1(-＝C k 525－k x 10－2k (－1)k x －k ＝C k 525－k(－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1，得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：选B.(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.B 组 能力突破1．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：选C.设展开式的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∴12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 2．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1) 解析：选D.在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析：a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：04．(2016·高考山东卷)若52)1(xax +的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝rrrx C a 251055--，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.答案：－25．(2016·高考天津卷)82)1(xx -的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 8x 16－2r (－1)r x －r ＝(－1)r ·C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－566．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8。
二项展开式系数的求法
二项展开式系数的求法苏清军(山东省无棣二中,山东 251913)中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01收稿日期:2001-01-05作者简介:苏清军(1969—),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师. 对于(a +b )n 展开式中特定项的系数,常常从通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开式,如(a +b )m(c +d )n 、(a +b +c )n等,多有畏难情绪.这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时参考.1 有效展开 对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后部分展开,便可确定系数.例1 求(1+x )2(1+2x )5展开式中x 3的系数.解 (1+x )2(1+2x )5=(1+2x +x 2)(1+10x+40x 2+80x 3+…),所以x 3的系数为80+2×40+10=170.2 利用通项公式 即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项的系数.例2 在(1-2x )5(1+3x )4展开式中,若按x 的升幂排列,求展开式中的第三项.解 展开式中的第三项含x 2.二项式(1-2x )5的通项公式为R m +1=C m5(-2x )m,二项式(1+3x )4的通项公式为R n +1=C n4(3x )n.(m =0,1,2,3,4,5;n =0,1,2,3,4.)T m +1·R n +1=C m 5(-2x )m ·C n4(3x )n=C m 5C n 4(-2)m ·3n ·x m +n,令m +n =2,解得m =0,n =2,或m =1,n =1,或m =2,n =0.所以(1-2x )5(1+3x )4展开式中第三项的系数为C 05C 24(-2)0·32+C 15C 14(-2)·3+C 25C 04(-2)2·30=54-120+40=-26.3 利用求组合数的方法 这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式各异的题目都可以实施.例3 (1996年上海高考题)在(1+x )6(1-x )4的展开式中,x 3的系数是.解 利用组合知识.展开式中含x 3项有x 3·x 0,x 2·x ,x ·x 2,x 0·x 3四种情况.所以x 3的系数是C 36+C 26·C 14·(-1)+C 16·C 24(-1)2+C 06·C 34(-1)3=20-60+36-4=-8.例4 (1992年全国高考题)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为( )(A )160. (B )240. (C )360. (D )800.分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.若借用组合知识解决可省却很多麻烦.解 根据三项的特点,展开式中x 项只能源于3x ·2·2·2·2,所以x 的系数为C 15·3·24=240,选(B ).例5 求(2x -3y -4z )6的展开式中x 3y 2z 的系数.解 利用组合知识,x 3y 2z 的系数为C 36·23·C 23·(-3)2·(-4)=-17280.72001年第12期 数学通讯。
二项式定理
二项式定理二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。
公式为：（a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1）b^1+……+Cnna^0b^n此定理指出：1、（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。
等号右边的多项式叫做二项展开式。
2、二项展开式的通项公式（简称通项）为Cnr(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项（如下图），即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b)n在n为正整数时的展开式。
（a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）发现历程在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。
它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。
在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。
但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。
无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。
杨辉三角1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。
1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。
应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
二项定理展开式
二项定理展开式摘要：一、二项式定理的简介1.二项式定理的定义2.二项式定理在数学中的重要性二、二项式定理的公式1.二项式定理的通用公式2.二项式定理的特例公式三、二项式定理的应用1.在组合数学中的应用2.在概率论中的应用3.在其他数学领域中的应用正文：【二项式定理的简介】二项式定理，又称二项式系数定理或二项式展开定理，是数学中一个关于二项式展开的定理。
该定理描述了如何将一个多项式展开成一系列二项式的和。
具体来说，如果一个多项式可以表示为：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ...+ kx + l其中a、b、...、k、l都是常数，n是多项式的次数，那么我们可以将其展开成一系列二项式的和，如下所示：f(x) = (ax + b)^n + C(n,1)(ax + b)^(n-1) + ...+ C(n,n-1)(ax + b) + l其中C(n,1)、...、C(n,n-1)是二项式系数，表示从n个元素中选取1个、...、n-1个元素的组合数。
二项式定理在数学中具有重要意义，它不仅为我们提供了一种将多项式展开的方法，而且为许多其他数学领域提供了基本的概念和工具。
【二项式定理的公式】二项式定理的通用公式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n,n-1)a^1 b^(n-1) + C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,0)、...、C(n,n)是二项式系数，可以根据以下公式计算：C(n,0) = 1C(n,1) = nC(n,2) = n(n-1)/2!...C(n,n) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!二项式定理还有一个特例公式，当a = 1时，有：(1 + b)^n = C(n,0) + C(n,1)b + ...+ C(n,n)b^n【二项式定理的应用】二项式定理在许多数学领域都有广泛的应用，例如组合数学、概率论等。
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6. (1＋2x－3x2）20 的展开式一共有多少项？
新疆 王新敞
奎屯
7.(
x
2 x2
)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为
14：3，求展开式的常数项
Tr1 C1r0 (
x
)10r
(
2 x2
)
r
105r
(2)r C1r0 x 2
自主练习
3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 和 得
到.你能写出第五行的数字吗？(a+b)5=
.
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
4.计算：C 04= 1，C14= 4，C 24= 6，C34= 4，C 44= 1 . 用这些
组合数表示(a+b)4的展开式是：
(a+b)4=
L
C11 12
212-2
3.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是 。
T5
C4 10
x4
(
y)6
210x4
y6
T7
C6 10
x6
(
y)4
210x6 y4
4.在(1 a)m 的二项式展开式中，第5项的系数等于第9项的系数，
那么m的值是______； 5.求展开式中的x2系数：
12
C0 4
a4
C41a3b
C2 4
a2b2
C43ab3
C44.b4
归纳:二项展开式的特点
◆(a+b)3的展开式有4项，分别按a的降幂和b的升
幂排列，各项中a和b的指数和都等于3，即为
(a
b)3
C0 3
a
3
C31a
2b
C2 3
ab
2
C33b3
◆(a+b)4的展开式有4项，分别按a的降幂和b的升
x 32x2 x 80x x 80 x 40 10 1
x x x x2 x
问：第四项的系数是多少？二项式系数又是多少？ 不展开你能求出来吗？
求： ( x 3 )9 3x
①展开式中间项
②展开式中的常数项
③展开式中的有理项
Tr 1
C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
3. 各二项式系数的和：
C0 n
C1 n
C2 n
Cn n
2n
这里要注意赋值法的应用。 4.杨辉三角
知识应用
1A.若、n第为奇n 项数，（a+Bb﹚、n第的n展开1项式中二项系数是大的项（ C ）
2
2
C、第n 、1 n 1 1项 22
D、第 n 1、 2
n项 2
2.
C112
C122
3.(1 x) (1 x)2 (1 x)3 (1 x)15
展开式中含x3项的系数为___1_8_2_0_____。
知识回顾
1.(a+b) n= Cn0an Cn1an1﹙b C﹚n2a,n b 2 2 Cnnbn
展开式共有 项n，+1其中 （r=0,1,2,…C…rn ,n）
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n∈N*)。
特点：①二项展开式公有n+1项；
②二项展开式按a 的降幂和b 的升幂排列，且各
项中a和b的指数和都等于n；
③二项展开式各项的系数依次为
Cn0、Cn1、Cn2、Cn3、、Cnn
C9r
32r9
9 3 r
x2
( x 2 )5 2x
求：有理项 第四项 第三项的系数
【题组四】
1.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4。 2.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4.
C1 n
C2 n
Cn n
2n
……
二项式系数的性质:
1.对称性： 相等；
C，nr 即与C首nn末r 两端“等距离”的两个二项式系数
2.增减性与最大值：
n
当 n为n为奇偶数数时时，，展展开开式式中中间间的的两一项项、取相得等n最C1，n大2 且；n同1当
时取得最大。
Cn2 Cn 2
探究
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
(a+b)1= a+b , (a+b)2=a2+2ab+b2 , (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 , (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 .
2.列出上述各展开式的系数: 1 1
12 1
13 3 1
14 6 4 1
幂排列，各项中a和b的指数和等于4，即为
(a b)4
C0 4
a
4
C1 4
a
3b
C2 4
a
2b
2
C3 4
ab3
C4 4
b
4
◆(a+b)n的展开式有n+1项，分别按a的降幂和b的
升幂排列，各项中a和b的指数和都等于n，即为
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
叫做 二项式；系数
2.通项表示展开式中的第
Tr 1
Cr n
a
nr
b
r
项，r+通1项公式是
3. 对称性：
= C r n
C nr n
nN
.
=
C C (a+b)1…………………………… 1 01 1
1
2 1 11
C C C (a+b)2……………………… 1
0
1
2
32 32 12
C C C C (a+b)3……………………1
n 1
r … n1
n 1
n 1
C C C C C C (a+b) n…… 0
1
n
n
2…
r 1
r ………
n
n
n
n
n
结论：①
Cr n
C nr n
即与首末；两端“等距离”的两个二项式系数相等
② 二在项中式间系取数得前最半大部 值分；逐；渐增大，后半部分逐渐减小，且
③
各二项式系数的和：
C。n0
40 61 4 2 1 3
1 5 3 10 3 10 3 5 31
(a+b)4………………
(a+b)5…………… ……
C C C C C 01Βιβλιοθήκη 442 4
3
4
4
4
C C C C C C 0 5
1 5
2
3
5
5
4
5
5
5
C C C C C C (a+b) n-1……
0
1
2…
r 1
n 1 n 1 n 1
2.二项展开式的通项：
Tr 1
C a b r nr r n
3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，即：
Cn0、Cn1、Cn2、Cn3、、Cnn
二项展开式系数：是指二项展开式中各项的系数
1.展开(x 1)4 x4 4x2 6 4 1
x
x2 x4
2.展开 (2 x 1 )5