2018-2019学年江苏省南菁高级中学高二下学期期中考试数学(理)试题 (Word版)

江苏省南菁高级中学 2018-2019 学年度第二学期

高二年级期中考试数学试卷

命题人：吴垚杰

审题人：缪龙兴

本试卷满分 160 分 考试时间 120 分钟

一、填空题（请将正确答案填写在答题卡相应位置，每小题 5 分，共 70 分）

1、已知 f (x )＝x 2 + 1，则 f '(0) 的值为 ▲ ．

2、设 z = (2 - i ) 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为 ▲ ．

3、 用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”时，第一步应假设 ▲

.

4、从 5 个人中选派 3 个人参加某个会议，不同的方法有 ▲ 种（用数字作答）.

5、过点 M (－2，m )，N (m ，4)的直线的倾斜角等于 45

，则 m 的值为 ▲

．

6、从抛物线 y 2＝4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为 F ， 则△MPF 的面积为 ▲

．

7、设 f (n )＝1＋1＋1＋…＋ 1 (n ∈N *)，那么 f (n ＋1)－f (n )＝ ▲ .

2 3 3n －1

8、如果k ∈{1, 3, 5, 7}, b ∈{2, 4, 6,8} ，那么方程 y = kx + b 所表示的不同的直线共 ▲ 条．

9、8 名游泳运动员参加男子 100 米决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 条泳道，若指定的

3 名运动员所在泳道必须相邻，则参加游泳的这 8 名运动员被安排泳道的方式共有

▲ 种．（用数字作答）

10、现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某

顶点在另一个的中心，则两个正方形重叠部分的面积为a 2

. 类比到空间，有两个棱长均为 a 的正

4 方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲

．

11、 若直线 y = x + t 与方程 x - 1 = 则实数t 的取值范围为 ▲ .

所表示的曲线恰有两个不同的交点， x 2 y 2

2 2 2 12、已知椭圆 C ： a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 和圆 O ：x +y ＝b ，若 C 上存在点 P ，使得过点 P 引圆 O 的两条切线，

切点分别为 A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ▲ ．

13、设 f (x ) 是定义在 R 上的可导函数，且满足 f (x ) + x f '(x ) > 0 ，则不等式 f ( x +1) >

解集为 ▲ ．

14、已知函数 f (x ) = a + 3 + 4

- x + a 有且仅有三个零点，且这三个零点成等差数列，则实数 a 的值为

▲ ．

x

1 -

y 2 x -1 f ( x 2 -1) 的

1 2

1 2 n 二、解答题（本大题共 90 分）

15、（本题 14 分）已知矩阵 A ＝ 2 a

，其中 a ∈R ，若点 P (1,2)在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P ′(6,7)．

1 3

(1) 求实数 a 的值与矩阵 A 的逆矩阵 A -1；

(2) 求矩阵 A 的特征值及相应的特征向量．

16、（本题 14 分）已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，

x ＝5＋ 3

t ，

2

设直线 l 的参数方程为 y ＝1

t (t 为参数)．

2

(1) 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；

(2) 设曲线 C 与直线 l 相交于 P ，Q 两点，以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积．

17、（本题 14 分）如图，三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱 CC 1 上的动点，F 是 AB 的中点，AC ＝1，BC ＝2，AA 1＝4.

(1) 当 E 是棱 CC 1 的中点时，求异面直线 CF 和 AE 所成角的余弦值；

(2) 在棱 CC 1 上是否存在点 E ，使得二面角 A —EB 1—B 的余弦值是

2 17

？若存在， 17

求 CE 的长，若不存在，请说明理由．

x 2 y 2 2 18、（本题 16 分）已知椭圆 a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 右焦点 F （1，0），离心率为 2

，过 F 作两条互相垂直的弦 AB ， CD ，设 AB ，CD 中点分别为 M ，N ．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标；

(3) 若弦 AB ，CD 的斜率均存在，且△FMN 面积为 1 ，求直线 AB 的方程．

9

19、（本题 16 分）已知函数 f (x )＝a ln x ＋1

，a ∈R ．

x

（1） 若 a ＝2，且直线 y ＝x ＋m 是曲线 y ＝f (x )的一条切线，求实数 m 的值；

（2） 若不等式 f (x )＞1 对任意 x ∈(1，＋∞)恒成立，求 a 的取值范围；

（3） 若函数

h (x )＝f (x )－x 有两个极值点 x 1，x 2（x 1＜x 2），且 h (x 2)－h (x 1)≤4

，求 a 的取值范围． e

20、（本题 16 分）设 n 个正数 a , a , , a 满足 a ≤ a ≤ ≤ a （ n ∈ N * 且 n ≥ 3 ）． （1）当 n = 3 时，证明： a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3a

1 ≥ a + a + a ；

a 3 a 1 a 2

1 2 3

（2）当 n = 4 时，不等式 a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3a 4 + a 4 a

1 ≥ a + a + a + a 也成立，请你将其推广到 n （ n ∈ N * 且 n ≥ 3 ）

a 3 a 4 a 1 a 2

1 2 3 4

个正数 a 1 , a 2 , , a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

n