山东省潍坊市2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)
山东省潍坊市2021届高三上学期期中考试 历史试题含答案
高三历史参考答案及评分说明
!%!%&'' 一 选择题 本大题共 '* 小题 每小题 + 分 共 ,* 分 在每小题列出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的 '()""!(.""+(."",()""*()""/(-""0(-""#(.""2('%($ ''(. '!($ '+(- ',($ '*(. 二 非选择题 本大题共 , 小题 第 '/ 题 '* 分 第 '0 题 '! 分 第 '# 题 '! 分 第 '2 题 '/ 分 共 ** 分 '/(!'* 分" !'" 信息一+ 仁宗复会百官计议# 反映宋朝实行朝议制度% 朝议是皇帝与相关官 员讨论重大事务的中央决策方式# 有利于保障政府决策的合理性% 信息二+ 参知政事范仲淹启奏宋仁宗# 反映了宋朝专制体制的特征% 为分割相权$ 加强皇权# 宋朝设枢密院掌管军政# 设三司掌管财政大权# 并增设参知政事为副相% 信息三+ 燕青和李逵入东京城看灯# 卖汤药的王公来到县前赶早市# 反映了宋代对 城市管理放松# 打破时间$ 空间限制% 宋代商品经济发展# 城市经济繁荣# 城市经济功 能增强% 信息四+ 燕青$ 李逵入东京城看灯# 来到瓦子前# 反映宋代城市出现娱乐场所% 宋 代商品经济发展# 城市经济繁荣% !每项 + 分# 任答两项得 / 分" !!" 从材料二看# ' 水浒传( 存在时间错误+ 范仲淹 '%*! 年去世# ' 水浒传( 中出 现 '%*# 年 ! 嘉三年" 仁宗与范仲淹议事% !+ 分" 从材料三看# ' 水浒传( 存在地理名词错误+ 据 ' 明史( 东昌府设立于明洪武初 年# 明朝的地理名词出现在了以北宋为背景的 '水浒传( 中% !+ 分" 一定时期的文学艺术# 是一定时期社会存在的反映% ' 水浒传( 作为成书于明代$ 以宋代为背景的文学作品# 在一定程度上能够反映宋$ 明两朝的社会现实& 但小说存在 虚构$ 夸大等艺术加工成分# 不能等同于史实# 使用时应与其它史料印证% !+ 分" '0(!'! 分" '2'! 3'2!2 年# 稳步增长% 山东人多地少# 劳动力过剩& 东北地多人少# 资源丰 富& 东北地方政府鼓励移民& 期间山东地区战乱$ 灾荒# 形成大规模移民% !, 分" '2+% 3'2+0 年# 急剧减少% 九一八事变后东北沦为日本殖民地# 对东北实行法西 斯统治# 关内人民望而却步# 甚至出现关外移民大规模返乡% !, 分" '2+# 3'2,+ 年# 快速回升% '2+0 年日本全面侵华# 山东沦陷& 因以战养战需要# 日本对东北大规模掠夺# 造成当地劳动力严重不足& 日本在山东大规模掠夺劳动力# 导
2024-山东省潍坊市2024届高三一模数学-试题含解析
山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
山东省潍坊市2021届高三二模考试考前模拟数学试题(PDF版)
潍坊市2021年高三二模考试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合，则A∩B＝（）A．∅B．[1，4）C．（1，4）D．（4，+∞）2．下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中假命题为（）A．|z|＝B．z2＝2iC．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣13．函数f（x）＝（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的图象大致是（）A．B．C．D．4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730（设14C的原始量为1，经过x年后，14C的含量f（x）＝a x，即f（5730）＝）．现有一古物，测得14C为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（）（参考数据：≈0.7937，≈0.9998）A．1910B．3581C．9168D．171905．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中第（）项是常数项．A ．3B ．4C ．5D ．66．已知双曲线C ：的左焦点为F 1，过F 1的直线与双曲线的渐近线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．37．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．已知平面内点A （1，2），点，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转后得到点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（4，1）C ．（2，﹣1）D ．（0，﹣1） 8．已知函数f （x ）＝，若存在实数a ，b ，c ，当a ＜b ＜c 时，满足f（a ）＝f （b ）＝f （c ），则af （a ）+bf （b ）+cf （c ）的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣3，0）C ．[﹣4，0）D ．[﹣3，0）二、选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。
2020-2021学年山东省潍坊市高一(上)期中考试数学试卷人教A版(2019)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020-2021学年山东省潍坊市高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x2−3x=0}，B={1,2,3}，则A∪B=( )A.{3}B.{1,2,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3}2. 若a，b，c∈R，则下列不等式成立的是( )A.若a>b，则a2>b2B.若a>b，则ac>bcC.若a>b，则1b >1aD.若a>b，则a3>b33. 下列各图中，一定不是函数图像的是( )A. B.C. D.4. 铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式表示为( )A.a+b+c<130B.a+b+c>130C.a+b+c≤130D.a+b+c≥1305. 设U为全集，则"A∩B=⌀”是“A⊆∁U B‘’的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2)<0且f(3)>0，则f(x)在(2,3)上的零点( )A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有7. 某学校高一3班为该班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )A.3或4B.4或5C.3或5D.4或68. 已知不等式组{x2−4x+3<0,x2−6x+8<0的解集是关于x的不等式x2−3x+a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是( )A.a<0B.a≤0C.a≤2D.a<2二、多选题下列命题中是假命题的是( )A.∀x∈R，x3≥0B.∃x0∈R，x03=3C.∀x∈Q，x3≥1D.∃x0∈N，x03=3下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=1xB.f(x)=−2xC.f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0D.f(x)=x+1x下列结论正确的是（ ） A.若x <0，则y =x +1x 的最大值为2 B.若a >0，b >0，则ab ≤(a+b 2)2C.若a >0，b >0，且a +4b =1，则1a+1b的最大值为9D.若x ∈[0,2]，则y =x√4−x 2的最大值为2下列关于函数f (x )=1|x|+1的叙述正确的是( )A.f (x )的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≥1}B.f (x )的图象关于y 轴对称C.当x ∈[−1,0)时，f (x )有最小值2，但没有最大值D.函数g (x )=f (x )−x 2+1有2个零点 三、填空题已知函数f (x )={x 2, x <1,x −a, x ≥1,若f (−1)+f (1)=4，则a =________.一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的________倍．已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式f (x −2)<0的解集为________.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是________元． 四、解答题已知全集U =R ，集合A ={x|x 2+x −6≥0}，B ={x|1<x <6}，C ={x|m +1<x <2m}. (1)求(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆B ，求实数m 的取值范围．在①∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0，②存在区间A =(2,4)，B =(a,3a )，使得A ∩B =⌀，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a .问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2−a ≥0，命题q ：________，都是真命题．（若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分．）已知函数f (x )=x 2−(a +b )x +2a.(1)若关于x 的不等式f (x )<0的解集为{x|1<x <2}，求a ，b 的值；(2)当b =2时，解关于x 的不等式f (x )>0.某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元． (1)该车营运第几年开始盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）；(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．已知函数f(x)=x|x−a|，a∈R，g(x)=x2−1.(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)当a>4时，记函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式．已知函数f(x)=x2+1ax+b是定义域上的奇函数，且f(−1)=−2.(1)求函数f(x)的解析式，判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明；(2)令g(x)=f(x)−m，若函数g(x)在(0,+∞)上有两个零点，求实数m的取值范围；(3)令ℎ(x)=x2+1x2−2tf(x)(t<0)，若对∀x1，x2∈[12,2]都有|ℎ(x1)−ℎ(x2)|≤154，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】首先解得集合A，利用集合的运算得解．【解答】解：由题设得A={0,3}，所以A∪B={0,1,2,3}．故选D．2.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的性质判断即可【解答】解：A，若a>b，则a2>b2不一定成立，如a=2，b=−3，故该选项错误；B，若a>b，则ac>bc不一定成立，如c=0时，ac=bc，故该选项错误；C，若a>b，则1b >1a不一定成立，如a=2，b=−3，故该选项错误；D，若a>b，则a3>b3成立，故该选项正确. 故选D.3.【答案】A【考点】函数的概念【解析】根据函数的定义直接判断即可．【解答】解：由函数的定义可知，对于定义域内任一个x的值只能对应一个y的值，而选项A中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图像.故选A．4.【答案】C【考点】不等式的概念与应用【解析】直接列出不等式.【解答】解：不超过即为小于等于，故由题意得：a+b+c≤130.故选C.5.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接讨论集合的包含关系，即可确定充要性.【解答】解：∵若A=B=⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若A=⌀，B≠⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若B=⌀，A≠⌀，此时满足A∩B=⌀，A⊆∁U B；若A≠⌀，B≠⌀，此时A∩B=⌀，则A⊆∁U B成立，且“A⊆∁U B”，则“A∩B=⌀”也成立，故“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”充分必要条件.故选C.6.【答案】C【考点】函数零点的判定定理 【解析】直接利用零点的存在性定理，结合函数分析得出答案. 【解答】解：由零点的存在性定理可知，f (2)<0，f (3)>0， 则f (x )在区间(2,3)上有零点.当a =0时，f (x )在区间(2,3)上有唯一零点； 当a ≠0时，f (x )为二次函数，由二次函数的图象分布可知：f (x )在区间(2,3)上有唯一零点. 综上：函数f (x )在区间(2,3)上有唯一零点. 故选C . 7.【答案】 B【考点】不等式的概念与应用 【解析】直接各种可能性，进行合理的推导判断即可. 【解答】解：设有x 间宿舍，有y 名学生， 由题意可得{y =3x +6,1≤5x −y ≤4,联立解得3.5≤x ≤5. 因为x 只能为整数，所以男生宿舍可能的房间数是4或5. 故选B ． 8.【答案】 B【考点】集合关系中的参数取值问题 函数恒成立问题【解析】首先解出不等式组的解集，再结合解集的包含关系，确定恒成立问题，求出参数范围. 【解答】解：由不等式组{x 2−4x +3<0，x 2−6x +8<0，解得2<x <3.由题意可知：不等式x 2−3x +a <0在区间(2,3)上恒成立，即a <(3x −x 2)min .∵ y =3x −x 2在(2,3)上为减函数， ∴ y =3x −x 2>3×3−32=0， ∴ a ≤0. 故选B .二、多选题 【答案】 A,C,D【考点】命题的真假判断与应用 全称量词与存在量词【解析】由存在性量词命题与全称量词命题，举反例进行判断. 【解答】解：当x <0时，x 3<0，所以∀x ∈R ，x 3≥0是假命题，故A 为假命题；∃x 0=√33∈R ，使得x 03=3，故B 为真命题；当x =12时，x 3=18<1，所以∀x ∈Q ，x 3≥1为假命题，故C 为假命题；当x 03=3时，x 0=√33∉N ，故D 为假命题. 故选ACD . 【答案】 B,C【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的判断【解析】逐个进行判断奇偶性、单调性. 【解答】解：f (x )=1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意； f (x )=−2x 为奇函数，在R 上单调递减，符合题意；f (x )={x 2,x ≤0,−x 2,x >0,当x ≤0时，−x ≥0，f (−x )=−(−x )2=−x 2=−f (x )为奇函数，且单调递减，符合题意；f (x )=x +1x 为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意.故选BC . 【答案】 A,B,D【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用二次函数在闭区间上的最值【解析】由基本不等式逐个进行判断. 【解答】解：若x<0，则y=x+1x =−(−x+1−x)≤−2√−x×1−x=−2，当且仅当−x=1−x，即x=−1时等号成立，所以y=x+1x的最大值为−2，故A正确；若a>0，b>0，则ab≤(a+b2)2，故B正确；若a>0，b>0，且a+4b=1，则1a +1b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba+ab=9，当且仅当4ba =ab时，1a+1b的最小值为9，故C错误；若x∈[0,2]，则y=x√4−x2=√4x2−x4=√−(x2−2)2+4，当x=√2时，y的最大值为2，故D正确.故选ABD.【答案】B,C,D【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断奇偶函数图象的对称性【解析】对于A：求函数f(x)的定义域、值域进行判断；对于B：判断函数的奇偶性，得对称性；对于C：求函数的单调性得最值进行判断；对于D，由函数的零点进行判断.【解答】解：对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>1}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，f(−x)=1|−x|+1=f(x)，故函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故B正确；对于C，当x∈[−1,0)时，f(x)为增函数，故f(x)在[−1,0)上有最小值2，无最大值，故C正确；对于D，由y=1|x|与y=x2−2的图象可知，函数g(x)=1|x|−x2+2有两个零点，故D 正确.故选BCD.三、填空题【答案】−2【考点】函数的求值【解析】代入函数解析式，求得a值.【解答】解：由题意，f(−1)+f(1)=(−1)2+1−a=4，∴a=−2.故答案为：−2.【答案】0.96【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】由题意求出该商品的最值售价，比最初售价得倍数.【解答】解：由题意得，该商品最终售价为25×(1+20%)(1−20%)=25×1.2×0.8=24（元），2425=0.96.故答案为：0.96.【答案】(1,3)【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质函数的零点【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：由题意可得：偶函数f(x)在[0,+∞）上为增函数，f(1)=0，∴不等式f(x−2)<0等价于f(|x−2|)<f(1)，即|x−2|<1，解得1<x<3.故答案为：(1,3).【答案】5712【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型【解析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税．【解答】解：由题意知，李华全年应缴纳综合所得个税为：36000×3%+[249600−52800−4560−249600×(8%+2%+1%+9%)−60000−36000]×10%=5712（元）．故答案为：5712．四、解答题【答案】解：(1)A={x|x2+x−6≥0}={x|x≤−3或x≥2}，∁U A={x|−3<x<2}，所以(∁U A)∩B={x|1<x<2}．(2)①当C=⌀时，满足C⊆B，即m+1≥2m，解得m≤1；②当C≠⌀时，因为C⊆B，所以{m+1<2m, m+1≥1, 2m≤6,解得1<m≤3.综上，实数m的取值范围为(−∞,3]．【考点】交、并、补集的混合运算一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)A={x|x2+x−6≥0}={x|x≤−3或x≥2}，∁U A={x|−3<x<2}，所以(∁U A)∩B={x|1<x<2}．(2)①当C=⌀时，满足C⊆B，即m+1≥2m，解得m≤1；②当C≠⌀时，因为C⊆B，所以{m+1<2m,m+1≥1,2m≤6,解得1<m≤3.综上，实数m的取值范围为(−∞,3]．【答案】解：选条件①.由命题p为真，可得不等式x2−a≥0在x∈[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，∴1≤x2≤4，所以a≤1.若命题q为真，则方程x2+2ax+2−a=0有解，所以判别式Δ=4a2−4(2−a)≥0，所以a≥1或a≤−2．又因为p，q都为真命题，所以{a≤1,a≥1或a≤−2,所以a≤−2或a=1，所以实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}.选条件②.由命题p为真，可得不等式x2−a≥0在x∈[1,2]上恒成立．因为x∈[1,2]，∴1≤x2≤4，所以a≤1．因为集合B=(a,3a)，必有a>0.由A∩B=⌀，得a≥4或3a≤2，即0<a≤23或a≥4.又因为p，q都为真命题，所以{a≤1,0<a≤23或a≥4,解得0<a≤23，所以实数a 的取值范围是0<a ≤23．【考点】命题的真假判断与应用 【解析】 无【解答】解：选条件①.由命题p 为真，可得不等式x 2−a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立． 因为x ∈[1,2]，∴ 1≤x 2≤4，所以a ≤1.若命题q 为真，则方程x 2+2ax +2−a =0有解， 所以判别式Δ=4a 2−4(2−a )≥0， 所以a ≥1或a ≤−2．又因为p ，q 都为真命题，所以{a ≤1,a ≥1或a ≤−2,所以a ≤−2或a =1，所以实数a 的取值范围是{a|a ≤−2或a =1}. 选条件②.由命题p 为真，可得不等式x 2−a ≥0在x ∈[1,2]上恒成立． 因为x ∈[1,2]，∴ 1≤x 2≤4，所以a ≤1． 因为集合B =(a,3a )，必有a >0. 由A ∩B =⌀，得a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.又因为p ，q 都为真命题，所以{a ≤1,0<a ≤23或a ≥4,解得0<a ≤23，所以实数a 的取值范围是0<a ≤23．【答案】解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2−(a +b )x +2a =0的两个根为1和2， 所以{a +b =3,2a =2,解得{a =1,b =2.(2)当b =2时，x 2−(a +2)x +2a >0，即(x −a )(x −2)>0， 当a <2时，解得x <a 或>2； 当a =2时，解得x ≠2；当a >2时，解得x <2或x >a .综上可知，当a <2时，不等式的解集为(−∞,a )∪(2,+∞)； 当a =2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)； 当a >2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(a,+∞)． 【考点】一元二次不等式的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由条件知，关于x 的方程x 2−(a +b )x +2a =0的两个根为1和2， 所以{a +b =3,2a =2,解得{a =1,b =2.(2)当b =2时，x 2−(a +2)x +2a >0，即(x −a )(x −2)>0， 当a <2时，解得x <a 或>2； 当a =2时，解得x ≠2；当a >2时，解得x <2或x >a .综上可知，当a <2时，不等式的解集为(−∞,a )∪(2,+∞)； 当a =2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)； 当a >2时，不等式的解集为(−∞,2)∪(a,+∞)．【答案】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元，若该车从第x 年开始盈利，则30x >2x 2+6x +50， 则2x 2−24x +50<0，即x 2−12x +25<0， 解得3≤x ≤9（x ∈N +）， 所以该车营运第3年开始盈利． (2)方案①：由题意知，盈利总额y 1=30x −(2x 2+6x +50) =−2x 2+24x −50=−2(x −6)2+22，∴ x =6时，盈利总额达到最大值，为22万元， 所以6年的盈利总额为32万元． 方案②：由题意知，年平均盈利总额y 2=−2x 2+24x−50x=−2x −50x+24=24−2(x +25x)≤4，当且仅当x =5时取等号．∴ x =5时，年平均盈利总额达到最大值，为4万元， 所以5年的盈利总额为32万元．两种方案的盈利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 【考点】函数模型的选择与应用 一元二次不等式的应用 函数最值的应用基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：(1)因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x 年（x ∈N +）所需的各种费用总计为(2x 2+6x)万元，若该车从第x 年开始盈利，则30x >2x 2+6x +50， 则2x 2−24x +50<0，即x 2−12x +25<0， 解得3≤x ≤9（x ∈N +）， 所以该车营运第3年开始盈利． (2)方案①：由题意知，盈利总额y 1=30x −(2x 2+6x +50) =−2x 2+24x −50=−2(x −6)2+22，∴ x =6时，盈利总额达到最大值，为22万元， 所以6年的盈利总额为32万元． 方案②：由题意知，年平均盈利总额y 2=−2x 2+24x−50x=−2x −50x+24=24−2(x +25x)≤4，当且仅当x =5时取等号．∴ x =5时，年平均盈利总额达到最大值，为4万元， 所以5年的盈利总额为32万元．两种方案的盈利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 【答案】解：(1)当a =−1时，即解不等式x|x +1|≥x 2−1．①当x ≥−1时，不等式为x 2+x ≥x 2−1，解得x ≥−1，所以x ≥−1；②当x <−1时，不等式为−x 2−x ≥x 2−1，解得−1≤x ≤12，所以解集为空集．综上，不等式的解集为{x|≥−1}． (2)因为x ∈[0,4]，且a >4，所以f (x )=x (a −x )=−x 2+ax ， ①当4<a <8时，F (a )=f (a2)=a 24；②当a ≥8时，F (a )=f (4)=4a −16，综上F (a )={a 24,4<x <8,4a −16,a ≥8.【考点】一元二次不等式的解法二次函数在闭区间上的最值 【解析】【解答】解：(1)当a =−1时，即解不等式x|x +1|≥x 2−1．①当x ≥−1时，不等式为x 2+x ≥x 2−1，解得x ≥−1，所以x ≥−1；②当x <−1时，不等式为−x 2−x ≥x 2−1，解得−1≤x ≤12，所以解集为空集．综上，不等式的解集为{x|≥−1}． (2)因为x ∈[0,4]，且a >4，所以f (x )=x (a −x )=−x 2+ax ， ①当4<a <8时，F (a )=f (a2)=a 24；②当a ≥8时，F (a )=f (4)=4a −16，综上F (a )={a 24,4<x <8,4a −16,a ≥8.【答案】解：(1)∵ f (−1)=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2， ∴{2−a +b =−2,2a +b =2, 解得{a =1,b =0,∴ f(x)=x +1x .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 证明如下：取x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2).∵ x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，0<x 1x 2<1，即x 1x 2−1<0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )在(0,1)上单调递减.同理可证函数f (x )在(1,+∞)上单调递增．(2)函数g (x )在(0,+∞)上有两个零点，即x 2−mx +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，须满足{Δ=m 2−4>0,m >0,解得m >2．(3)由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t (x +1x ). 令z =x +1x ，y =z 2−2tz −2，由(1)可知函数z =x +1x 在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴ z ∈[2,52].∵ 函数y =z 2−2tz −2的对称轴方程为z =t <0， ∴ 函数y =z 2−2tz −2在[2,52]上单调递增.当z =2时，y min =−4t +2；当z =52时，y max =−5t +174，即ℎ(x )min =−4t +2，ℎ(x )max =−5t +174.又∵ 对任意的∀x 1，x 2∈[12,2]都有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤154恒成立， ∴ ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤154，即−5t +174−(−4t +2)≤154，解得t ≥−32.又∵ t <0，∴ t 的取值范围是−32≤t <0. 【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数单调性的判断与证明 由函数零点求参数取值范围问题 函数恒成立问题 【解析】 暂无 暂无【解答】解：(1)∵ f (−1)=−2，又f(x)是奇函数，∴ f(1)=2，∴{2−a +b =−2,2a +b =2, 解得{a =1,b =0,∴ f(x)=x +1x .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增. 证明如下： 取x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2).∵ x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，0<x 1x 2<1，即x 1x 2−1<0， ∴ f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )在(0,1)上单调递减.同理可证函数f (x )在(1,+∞)上单调递增．(2)函数g (x )在(0,+∞)上有两个零点，即x 2−mx +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，须满足{Δ=m 2−4>0,m >0,第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页解得m >2．(3)由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t (x +1x ). 令z =x +1x ，y =z 2−2tz −2，由(1)可知函数z =x +1x 在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴ z ∈[2,52].∵ 函数y =z 2−2tz −2的对称轴方程为z =t <0， ∴ 函数y =z 2−2tz −2在[2,52]上单调递增.当z =2时，y min =−4t +2；当z =52时，y max =−5t +174，即ℎ(x )min =−4t +2，ℎ(x )max =−5t +174.又∵ 对任意的∀x 1，x 2∈[12,2]都有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤154恒成立，∴ ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤154，即−5t +174−(−4t +2)≤154，解得t ≥−32.又∵ t <0，∴ t 的取值范围是−32≤t <0.。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
潍坊市2021届高三上学期期中考试 英语试题(含答案)
潍坊市2021届高三上学期期中考试英语试题第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
()1. Where are the speakers?A. At an airport.B. In a hotel.C. In a market.()2. Why doesn't the woman try to get a PhD now?A. She doesn't need one for her job.B. She can't afford the payment.C. She can't spare the time.()3. How does the boy find his parents?A. Strict.B. Tolerant.C. Considerate.()4. What did the woman mean?A. She failed to see the whole program.B. She stayed awake the whole night.C. She went home very late.()5. What are the speakers mainly talking about?A. How fruits were harvested.B. Why the fruit sales increased.C. What caused the low price of fruits.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考(三)-全国卷Ⅰ理科数学试卷及参考答案
百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省实验中学2022届高三上学期第三次诊断考试数学(文)试题 Word版含答案
山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12说明：本试卷满分150分。
分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{}{}260,2A x x xB x x=--≤=≥，则集合A B⋂=A．[]2,3-B．[]2,2-C．(]0,3D．[]2,32．设向量()(),1,4,,//a xb x a b==且，则实数x的值是A．0 B．2-C．2 D．±23.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，534．设,αβ是两个不同的平面，直线mα⊂．则“//mβ”是“//αβ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知,x y满足约束条件2212y xx y z x yx⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为A．32B．52C．3 D．46．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若45624,48a a S+==，则公差d的值为：A．1 B．2 C．4 D．87．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b-=⊥-=满足且，则A．2B．2 C. 22D．48．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗仆人要求赔偿5斗粟．羊仆人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马仆人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的仆人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升；则下列推断正确的是A．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507a=B．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507c=C．,,a b c依次成公比为12的等比数列，且507a=D．,,a b c够次成公比为12的等比数列，且507c=9．如图是函数()sin,0,0,02y x x R Aπωϕωϕ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x的图象A．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B．向左平移至3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D．向左平移6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．函数()()sin ln 2x f x x =+的图象可能是11．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，为A ．5πB 2πC ．20πD ．72π12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,6423⎛-+ ⎝C ．1,623⎛-- ⎝D ．162,3⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．若点()4,tan θ在函数2log y x =的图象上，则sin cos θθ⋅=__________．14．一简洁组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．15．已知函数()()sin 01f x x x a bπ=<<≠，若，且()()f a f b =，则41a b +的最小值为_____________.16．己知数列{}111212312391:,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，则2018S =_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.) (一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知函数()23sin 22cos 1,f x x x x R=+-∈．(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(II)在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为(),,3,1,sin 2sin a b c c f C B A===，已知，求,a b 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()211,5,1n n nS a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(II)令2n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视状况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语学问的的时间y (单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对比表(如下表所示)：由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程y bx a=+，并猜测年龄为60岁观众周均学习成语学问的时间．参考数据：线性回归方程中,b a的最小二乘估量分别是()1221,ni iiniix y nxyb a y bxx n x==-==--∑∑．20．(本小题满分12分)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面相互垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD⊥===，点M是EC中点. （I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求三棱锥M－BDE的体积.21．(本小题满分12分)已知函数()()0.xf x e ax a a R a=+-∈≠且(I)若函数()0f x x=在处取得极值，求实数a的值；并求此时()[]21f x-在，上的最大值；(Ⅱ)若函数()f x不存在零点，求实数a的取值范围；(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中，点M的坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的方程为22sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l经过点M．(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数(),f x x a a R=-∈(I)当1a=时，求()11f x x≥++的解集；(II)若不等式()30f x x+≤的解集包含{}1x x≤-，求a的取值范围．山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12一、选择题 DDABC CBDAA AC二、填空题 13. 52 14. π312- 15. 9 16. 20198072三、解答题 17. 解：)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ……………2分 (1)周期为π=T …………………………3分由于)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ …………………………4分 所以ππππk x k +≤≤+326所以函数的单减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ…………………………6分 （2）由于1)62sin(2)(=+=πC C f ，所以3π=C …………………………7分 所以3cos2)3(222πab b a -+=，322=-+ab b a (1)………………………9分又由于A B sin 2sin =，所以a b 2= (2) …………………………10分 由（1），（2）可得2,1==b a …………………………12分18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+211得111=-++nS n S nn ……………………………………3分 又511=S ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为5，公差为1的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知()415+=-+=n n nS n所以n n S n 42+=…………………………………5分 当2≥n 时，()()321414221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n又1a 也符合上式，所以()*32N n n a n ∈+=……………………………………………6分所以()nn n b 232+= ……………………………………………………7分 所以()nn n T 23229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T所以()()()22122221023211431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T…………………………12分19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种状况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种状况，其概率为54108=； ……………………4分 （2）由题意可知=35， =3.5，52541=∑=ii i yx 5400412=∑=i i x ……………6分所以2021,1007==∧∧a b ……………8分 所以20211007+=∧x y ． ……………10分 当60=x 时， 201032021601007=+⋅=∧y =5.25小时． 猜测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。
北京市第171中学2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
北京市第171中学2025届高三上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U =R ，集合M ={x|x >2}，N ={x|1<x <3}，那么阴影部分表示的集合为( )A. {x|x >2}B. {x|x ≤2}C. {x|x ≥2}D. {x|x ≤1}2.如果复数2+bii(b ∈R)的实部与虚部相等，那么b =( )A. −2B. 1C. 2D. 43.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=2，a 1+a 4=5，那么S 6=( ) A. 6B. 7C. 8D. 94.已知函数f(x)=2x−log 2x ，则不等式f(x)>0的解集是( ) A. (0,1)B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. (0,2)5.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点P 为C 上一动点，线段PF 的垂直平分线与x =−1交于点Q ，那么( ) A. |QF|≥|PF|B. |QF|>|PF|C. |QF|≤|PF|D. |QF|<|PF|6.若函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)在(π2,π)上单调，且在(0,π4)上存在极值点，则ω的取值范围是( ) A. (13,2]B. (23,2]C. (23,76]D. (13,76]7.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∠BAC 的平分线交BC 于点D.若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)则λμ=( ) A. 13B. 12C. 2D. 38.已知数列{a n }为无穷项等比数列，S n 为其前n 项的和，“S 1>0，且S 2>0”是“∀n ∈N ∗，总有S n >0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不必要又不充分条件9.已知在三棱锥P −ABC 中，PA =BC =2√ 34,PB =AC =10,PC =AB =2√ 41，则三棱锥P −ABC 的体积为( ) A. 40B. 80C. 160D. 24010.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001)，可得N 的值为( )A. 13B. 14C. 15D. 16二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2021新高考数学精选考点专项突破：三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-【答案】B 【解析】因为2sin 225sin(18045)sin 452=+=-=-. 故选：B.2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】D【解析】sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒12=. 故选：D.3、（2020年全国1卷）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）函数()sin 2sin3f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π【答案】B 【解析】2y sin x =的最小正周期为：π；函数3y sin x =的最小正周期为：23π， π与23π的最小公倍数为：2π， 所以函数()23f x sin x sin x =+的最小正周期为：2π． 故选：B ．5、（2020年天津卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B.6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=故选：A7、（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1yx x ，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵22()2cos ()cos()12cos cos 1()f x x x x x f x -=--+-+=-++=， ∴函数()f x 为偶函数.故排除选项A ，D.2219()2cos cos 12(cos ),,4822f x x x x x ππ⎡⎤=-++=--+∈-⎢⎥⎣⎦，∵0cos 1x ≤≤， ∴当1cos 4x =时，()f x 取得最大值98；当cos 1x =时，()f x 取得最小值0.故排除C. 故选：B.8、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ．9、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T，T π=， 12||x x ∴-的最小值为2π，即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．10、（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7 B ．7C ．1D ．-1【答案】B 【解析】因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B.11、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 【答案】B【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．12、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．78【答案】A 【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1721168=⨯-=-． 故选A ．13、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．16C ．43D ．56【答案】A 【解析】2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称，所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.14、（2020年全国3卷）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.15、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错；C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.二、多选题16、（2020年山东卷）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x -C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.17、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确； ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD18、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.19、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD 【解析】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确； 故选：ABD20、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC21、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+）， 故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同， 且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象， 存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD ．三、填空题22、（2020年江苏卷）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=- 23、（2020年全国1卷）.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=______．【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴==24、（2020年浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-25、（2020年江苏卷）】已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：1326、（2019年高考江苏卷）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、解答题27、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.【解析】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小值是-2，∴2A =， ∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， ∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ，又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ. 可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x π ∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.28、（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值； （2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值.【解析】（1）由题设知()sin 21cos 21224f x x x x π⎛⎫=-+++=++ ⎪⎝⎭，()10,221,cos 2442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=++=∴+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32244x k πππ+=+或522,44x k k Z πππ+=+∈ 得4x k ππ=+或2x k ππ=+，12123(0,),,,424x x x x x ππππ∈∴==∴+=（2）=()y f x 图像向左平移6π个单位，得222222643412y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向下平移2个单位得()212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈- ()f x ∴在[,]33ππ-，最小值为.29、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()2sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫=⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.【解析】 (1)()211cos cos 2cos 222f x x x x x x =-=--1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为11sin 26210f απα⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以2223cos 2cos 22sin 1213365πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭725=- (2)因为()2cos cos a c B b C -=,由正弦定理得:()2sin sin cos sin cos ,A C B B C -=所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=, 即()2sin cos sin sin A B B C A =+=,因为sin 0A >,1cos 23B B π=∴=，，所以22=033A C A ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,所以()f A 的取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦30、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【解析】（1）()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 22sin 22f x x x a x x a π⎛⎫∴=+++=++ ⎪⎝⎭2sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21a ∴+=，1a ∴=- （2）将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， ()22sin 212sin 216633g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2252,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦∴当22233x ππ+=时，2sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()g x 1， 当23232x ππ+=时，2sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()g x 取最小值3-.31、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
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2021届高三年级第一学期期中考试 数 学 (满分150分，考试时间120分钟) 2020．11 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|－5A. {x|－5C. {x|－2≤x≤3} D. {x|3≤x<4} 2. “a>1”是“(a－1)(a－2)<0”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知变量x，y之间的一组数据如下表．若y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋a，则a＝( ) x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.45 4. 已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是( ) A. 若a⊥α，b⊥a，则b∥α B. 若a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β C. 若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β D. 若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β 5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有( ) A. 15种 B. 90种 C. 120种 D. 180种
6. 已知α∈(π2，π)，tan α＝－3，则sin(α－π4)等于( )
A. 55 B. 255 C. 35 D. 35 7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函
数关系P(t)＝P02－t30，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的
瞬时变化率为－32ln 210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( ) A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
8. 定义运算：① 对∀m∈R，m0＝0m＝m； ②对∀m，n，p∈R，(mn)p＝p(mn)＋mp＋np. 若f(x)＝ex－1e1－x，则有( ) A. 函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称 B. 函数f(x)在R上单调递增
C. 函数f(x)的最小值为2 D. f(223)＞f(232) 二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是( )
A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31，32]内 B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势 C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小 D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少 10. 若非零实数x，y满足x>y，则下列判断正确的是( )
A. 1x＜1y B. x3＞y3 C. (12)x＞(12)y D. ln(x－y＋1)＞0
11. 已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x＝5π12，则( ) A. φ＝π3 B. 函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移π3个单位长度得到 C. 函数f(x)在[0，π2]上的值域为[－1，32] D. 函数f(x)在区间[－π，－π2]上单调递减
12. 已知函数f(x)＝2－4x－12，0≤x≤1，af（x－1），x＞1，其中a∈R.下列关于函数f(x)的判断正确的是( ) A. 当a＝2时，f(32)＝4 B. 当|a|<1时，函数f(x)的值域为[－2，2] C. 当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1(2－4x－2n－12)
D. 当a>0时，不等式f(x)≤2ax－12在[0，＋∞)上恒成立 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. (x2＋2x)5的展开式中x4的系数为________． 14. 若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为________． 15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝________．
16. 已知菱形ABCD边长为3，∠BAD＝60°，点E为对角线AC上一点，AC＝6AE.将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置，E记为E′，且二面角A′BDC的大小为120°，则三棱锥A′BCD的外接球的半径为________；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________． 四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分) 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，点E，F分别为棱CC1与A1B1的中点． (1) 求证：直线EF∥平面A1BC； (2) 若该正三棱柱的体积为26，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．
18. (本小题满分12分) 在① csin B＝bsin A＋B2，② cos B＝217；③ bcos C＋csin B＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答． 问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，点D是边AB上一点，AD＝5，CD＝7，且________，试判断AD和DB的大小关系． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x3－3x2＋3bx＋c在x＝0处取得极大值1. (1) 求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线的方程； (2) 若函数f(x)在[t，t＋2]上不单调，求实数t的取值范围．
20.(本小题满分12分) 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2. (1) 求证：BD⊥PA；
(2) 已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角PDCN的余弦值为13？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由． 21. (本小题满分12分) 2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图： (1) 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率； (2) 若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望； (3) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1＜t＜4)：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100]
利润y(元) 6t 8t 4t 2t －53et
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)． 22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝xex－a(ln x＋x)． (1) 当a＞0时，求f(x)的最小值； (2) 若对任意x＞0恒有不等式f(x)≥1成立． ①求实数a的值； ②求证：x2ex＞(x＋2)ln x＋2sin x. 2021届高三年级第一学期期中考试(潍坊) 数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. A 9. ABD 10. BD 11. BC 12. ACD 13. 40 14. 102 15. 1 16. 212 94π(第一空2分，第二空3分)
17. (1) 证明：取BB1中点D，连接ED，FD，(1分) 在平行四边形BCC1B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点， 所以ED∥CB. 在△B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点， 所以FD∥A1B.(3分) 又ED，FD⊂平面EFD，ED∩FD＝D，所以平面EFD∥平面A1BC. 又EF⊂平面EFD，所以EF∥平面A1BC.(5分)
(2) 解：设AA1＝h，VABCA1B1C1＝S△ABC·h＝34×4h， 所以3h＝26，即h＝22.(6分) 因为平面ABC∥平面A1B1C1， 所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角． 因为CC1⊥平面A1B1C1， 所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F， 所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角．(8分) 因为EC1＝2，FC1＝3，所以EF＝5，
所以cos∠EFC1＝35＝155，即EF与平面ABC所成角的余弦值为155.(10分)
18. 解：设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理可得49＝x2＋25－2·x·5·cos π3，(2分) 即x2－5x－24＝0，解得x＝8或x＝－3(舍去)，所以AC＝8.(3分) 选择条件①：
由正弦定理得sin Csin B＝sin Bsin A＋B2.(4分)
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin A＋B2.(5分) 因为A＋B＝π－C，所以sin C＝2sin C2cos C2＝cos C2.(6分) 因为C∈(0，π)，所以C2∈(0，π2)，所以cos C2≠0，