2018年高考真题——数学理(全国卷Ⅲ)+Word版含答案
【数学】2018年高考真题——全国卷Ⅲ(理)(精校版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}答案 C解析∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．2．(1＋i)(2－i)等于()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案 D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.4．若sin α＝，则cos 2α等于()A. B.C.－D.－答案 B解析∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.5.的展开式中x4的系数为()A．10 B．20 C．40 D．80答案 C解析的展开式的通项公式为T k＋1＝·(x2)5－k·＝·2k·x10－3k，令10－3k＝4，得k＝2.故展开式中x4的系数为·22＝40.6．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[，3] D．[2，3]答案 A解析设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得d max＝2＋r＝3，＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·d max＝6，dmin△ABP面积的最小值为|AB|·d min＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．7．函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()A. B.C. D.答案 D解析方法一f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)＞0的解集为∪，此时f(x)单调递增；f′(x)＜0的解集为∪，此时f(x)单调递减．方法二当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2＞2，所以排除C选项．8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于() A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3答案 B解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，所以p4(1－p)6＜p6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于() A. B.C. D.答案 C解析∵S＝ab sin C＝＝＝ab cos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝.10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12B．18C．24D．54答案 B解析由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.11．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|＝|OP|，则C的离心率为()A.B．2 C. D.答案 C解析如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF 1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|FP|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.12．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b答案 B解析∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log 0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.二、填空题13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 答案解析2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.14．曲线y＝(ax＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.答案－3解析∵y′＝(ax＋a＋1)e x，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，得a＝－3.15．函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，即函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3.16．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.答案 2解析方法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴－＝4(x 1－x2)，∴k＝＝.设AB的中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．∵M′(x0，y0)为AB中点，∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，∴y1＋y2＝2，∴k＝2.方法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝.由M(－1,1)，得＝(－1－x 1,1－y1)，＝(－1－x2,1－y2)．由∠AMB＝90°，得·＝0，∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，整理得－＋1＝0，解得k＝2.三、解答题17．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m＝63，求m.解(1)设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故a n＝(－2)n－1或a n＝2n－1(n∈N*)．(2)若a n＝(－2)n－1，则S n＝.由S m＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n＝2n－1，则S n＝2n－1.由S m＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表；(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝，.解(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图知m＝＝80.列联表如下：(3)因为K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．19．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，＝(－2,1,1)，＝(0,2,0)，＝(2,0,0)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1,0,2)，是平面MCD的法向量，因此cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.20．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．(1)证明：k＜－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．证明(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k，得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0＜m＜，故k＜－.(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.又点P在C上，所以m＝，从而P，||＝，于是||＝＝＝2－.同理||＝2－.所以||＋||＝4－(x 1＋x2)＝3.故2||＝||＋||，即||，||，||成等差数列．－x2|＝.②设该数列的公差为d，则2|d|＝|||－|||＝|x将m＝代入①得k＝－1，所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x 1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或－.21．已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.(1)若a＝0，证明：当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0；(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a.(1)证明当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，f′(x)＝ln(1＋x)－.设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－，则g′(x)＝.当－1＜x＜0时，g′(x)＜0；当x＞0时，g′(x)＞0，故当x＞－1时，g(x)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0.所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，故当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0.(2)解f′(x)＝，记h(x)＝ax2－x＋(1＋2ax)(1＋x)ln(x＋1)(x＞－1)，则h′(x)＝4ax＋(4ax＋2a＋1)ln(x＋1)．当a≥0，x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)＞h(0)＝0，即f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以x＝0不是极大值点，不符合题意．当a＜0时，令m(x)＝4ax＋(4ax＋2a＋1)ln(x＋1)，则m′(x)＝8a＋4a ln(x＋1)＋，显然m′(x)单调递减．①令m′(0)＝0，解得a＝－，所以当－1＜x＜0时，m′(x)＞0，m(x)单调递增，即h′(x)单调递增．当x＞0时，m′(x)＜0，m(x)单调递减，即h′(x)单调递减．所以h′(x)≤h′(0)＝0，所以h(x)单调递减．因为h(0)＝0，所以当－1＜x＜0时，h(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞0时，h(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)单调递减，此时x＝0为f(x)的极大值点，符合题意．②当－＜a＜0时，所以m′(0)＝1＋6a＞0，m′(e－－1)＝(2a－1)(1－e)＜0，所以m′(x)＝0在x＞0上有唯一零点，记为x0，所以当0＜x＜x0时，m′(x)＞0，m(x)单调递增，即h′(x)单调递增，所以h′(x)＞h′(0)＝0，h(x)单调递增，所以h(x)＞h(0)＝0，即f′(x)＞0，f(x)单调递增，不符合题意．③当a＜－时，m′(0)＝1＋6a＜0，m′＝(1－2a)e2＞0.所以m′(x)＝0在－1＜x＜0上有唯一零点，记为x1，所以当x1＜x＜0时，m′(x)＜0，m(x)单调递减，即h′(x)单调递减．所以h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)＜0，即f′(x)＜0，f(x)单调递减，不符合题意．综上，a＝－.22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为t A，t B，t P，＝，且t A，t B满足t2－2t sin α＋1＝0.则t于是t A＋t B＝2sin α，t P＝sin α.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.23．选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b恒成立，求a＋b的最小值．解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5.。
2018年高考理科数学全国卷3含答案
数学试卷第1页（共20页）数学试卷第2页（共20页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10}A xx =-∣≥,{0,1,2}B =,则A B = ()A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2}2.()(1i 2i)+-=()A .3i--B .3i-+C .3i-D .3i+3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()ABCD 4.若1sin 3α=,则cos2α=()A .89B .79C .79-D .89-5.252()x x+的展开式中4x 的系数为()A .10B .20C .40D .806.直线2=0x y ++分别与x 轴,y 交于A ,B 两点,点P 在圆22(2)=2x y -+上,则ABP △面积的取值范围是()A .[2,6 ]B .[4,8]C.D 7.函数422y x x =-++的图象大致为()ABC D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()6(4)P X P X ==＜,则p =()A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC △的面积为2224a b c +-,则C =()A .π2B .π3C .π4D .π6毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共20页）数学试卷第4页（共20页）10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为()A.B.C.D.11.设1F ,2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若1|||PF OP =,则C 的离心率为()AB .2CD12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则()A .0a b ab +＜＜B .ab a b +＜＜0C .0a b ab+＜＜D .0ab a b+＜＜第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量2)(1,=a ,)2(2,=-b ,),(1λ=c .若2()+∥c a b ,则=λ.14.曲线)e (1xy ax =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-,则a =.15函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为.16.已知点1()1,M -和抛物线C ：²4y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B两点.若90AMB ∠= ,则k =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必考题：共60分.17.(12分)等比数列{}n a 中,11a =,534a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()(a b)(c d)(a c)(b d)n ad bc K -=++++,2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第5页（共20页）数学试卷第6页（共20页）如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M 是 CD 上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ,B 两点,线段AB的中点为(1,)()M m m ＞0.(1)证明：12k ＜-；(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++= .证明：FA ,FP ,FB成等差数列,并求该数列的公差.21.(12分)已知函数22()()ln(1)2f x a x x x x +=-++.(1)若0a =,证明：当10x -＜＜时,()0f x ＜；当0x ＞时,()0f x ＞；(2)若=0x 是()f x 的极大值点,求a .(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),过点(0,2)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)设函数()211f x x x =++-.(1)画出() y f x =的图象；(2)当[ 0),x ∈+∞,()b x f ax +≤,求a b +的最小值.2018年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】∵={1}A x x ｜≥,{0,1,2}B =,∴={1,2}A B ,故选C .毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________数学试卷第7页（共20页）数学试卷第8页（共20页）2.【答案】D【解析】21i 2i)(2i 2i i 3i )(+-=-+-=+,故选D .3.【答案】A【解析】两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A .故选A .4.【答案】B 【解析】由1sin 3α=,得22127cos212sin 12()=1399αα=-=-⨯-.故选B .5.【答案】C【解析】252()x x+的展开式的通项251103155()(2)2r r r r r r r T C x x C x ---+== ,令1034r -=,得2r =,所以4x 的系数为225240C ⨯=.故选C .6.【答案】A【解析】由圆22(2)=2x y -+可得圆心坐标(2,0),半径r =ABP △的面积记为S ,点P 到直线AB 的距离记为d ,则有12S AB d =.易知AB =max d ==min d =26S ≤≤,故选A .7.【答案】D【解析】∵42()2f x x x =-++,∴3()42f x x x '=-+,令()0f x '＞,解得2x -＜或22x 0＜＜,此时,()f x 递增；令()0f x '＜,解得22x -＜0或22x ,此时,()f x 递减.由此可得()f x 的大致图象.故选D .8.【答案】B【解析】由题知~1()0,X B p ,则(101 2.4)DX p p =⨯⨯-=,解得0.4p =或0.6.又∵()6(4)P X P X ==＜,即446664221010(1)(1)(1)0.5C P p C P p p p p --⇒-⇒＜＜＞,∴0.6p =,故选B .9.【答案】C【解析】根据余弦定理得2222cos a b c ab C +-=,因为2224ABCa Sbc +-=△,所以c 42os ABC ab C S =△,又1sin 2ABC S ab C =△,所以tan 1C =,因为π()0,C ∈，所以4C π=.故选C .10.【答案】B【解析】设ABC △的边长为a,则1sin602ABC S a a =△,解得6a =(负值舍去).ABC △的外接圆半径r 满足62sin60r =,得r =ABC 的距离为2=.所以点D 到平面ABC 的最大距离为246+=,所以三棱锥D ABC-体积的最大值为163⨯=,故选B .11.【答案】C【解析】点2(,0)F c 到渐近线b y x a =的距离2(0)PF b b ==＞,而2OF c =,所以在2Rt OPF △中,由勾股定理可得OP a ==,所以1PF ==.在2Rt OPF △中,222cos PF bPF O OF c∠==,在12F F P△中,2222222121221246cos 22PF F F PF b c a PF O PF F F b c+-+-∠==⋅⋅2,所以222222463464b b c a b c a c bc+-=⇒=-,则有22223()46c a c a -=-,解得c a =值舍去),即e =.故选C .数学试卷第9页（共20页）数学试卷第10页（共20页）12.【答案】B【解析】解法一：∵0.20.2log 0.3log 1=0a =＞,22log 0.3log 1=0b =＜,∴0ab ＜,排除C .∵0.20.20log 0.3log 0.2=1＜＜,22log 0.3log 0.5=1-＜,即01a ＜＜,1b ＜-,∴0a b +＜,排除D .∵220.2log 0.3lg 0.2log 0.2log 0.3lg 2b a ===,∴2223log 0.3log 0.2log 12b b a -=-=＜,∴1bb ab a b a+⇒+＜＜,排除A .故选B .解法二：易知01a ＜＜,1b -＜,∴0ab ＜,0a b +＜,∵0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b +=+=＜,即1a b ab +＜,∴a b ab +＞,∴0ab a b +＜＜.故选B .第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】12【解析】由已知得2(4,2)+=a b .又,()1c λ=,2()+∥c a b ,所以42=0λ-,解得12λ=.14.【答案】3-【解析】设(e ))1(xf x ax =+,则()()1e xf x ax a '=++,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率(0)12k f a '==+=-,解得3a =-.15.【答案】3【解析】令()0f x =,得πcos(3)6x +,解得ππ+()39k x k =∈Z .当0k =时,π9x =；当1k =时,4π9x =；当2k =时,7π9x =,又[ 0,π]x ∈,所以满足要求的零点有3个.16.【答案】2【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为1y x k =+,设111,y A y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,221,y B y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,将直线方程与抛物线方程联立得21,4,y x k y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2440y y k --=,从而得124y y k +=,124y y =- .∵1()1,M -,90AMB ∠= ,∴0MA MB = ,即1212(2)(2)(1)(1)0y yy y k k+++--= ,即2440k k -+=,解得2k =.解法二：设11A(,)x y ，22(),B x y ,则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩①②②-①得2221214()y y x x -=-,从而2121124y y x x k y y --+==.设AB 的中点为M '，连接MM '.∵直线AB 过抛物线24y x =的焦点，∴以线段AB 为直径的M '⊙与准线:1l x =-相切.∵1()1,M -,90AMB ∠= ,∴点M 在准线:1l x =-上,同时在M '⊙上,∴准线l 是M '⊙的切线,切点M ,且MM l '⊥,即MM '与x 轴平行,∴点M '的纵坐标为1,即1212221y y y y =⇒++=,故124422y y k =+==.故答案为：2.三、解答题17.【答案】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.(2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3nn S --=.由63m S =得(2)188m -=-.此方程没有正整数解.若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m =,解得6m =.综上,6m =.【解析】(1)解：设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去)或2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.(2)若1(2)n n a -=-,则1(2)3nn S --=.由63m S =得(2)188m -=-。
2018年高考全国卷3 理科数学试题与答案
2018年高考全国卷3 理科数学试题与答案2018年高考全国卷3理科数学试题与答案一、选择题1.已知集合A={x|x-1≥2}，B={x|2<x≤3}，则XXX的值为（）A。
∅ B。
{1} C。
{1,2} D。
{2}改写：已知集合A={x|x≥3}，B={x|2<x≤3}，则B∩A={2}。
2.已知复数z1=1+i，z2=2-i，则(z1+z2)(z1-z2)的值为（）A。
-3-i B。
-3+i C。
3-i D。
3+i改写：已知复数z1=1+i，z2=2-i，则(z1+z2)(z1-z2)=(1+i+2-i)(1+i-2+i)=(-3-i)。
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头。
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）删除：无法呈现图形改写：中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼。
如图所示，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是一个正方形或一个长方形。
4.若sinα=1/3，则cos2α的值为（）A。
7/9 B。
-9/8 C。
-9/7 D。
9/7改写：若sinα=1/3，则cos2α=1-2sin^2α=8/9.5.(x^2+2/x)^5的展开式中x^4的系数为（）A。
10 B。
20 C。
40 D。
80改写：(x^2+2/x)^5的展开式中x^4的系数为40.6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)^2+y^2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A。
[2,8] B。
[4,32] C。
[2,3] D。
[2√2,3√2]改写：直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)^2+y^2=2上。
则△ABP面积的取值范围是[2,8]。
2018年高考理数试卷含答案(全国卷Ⅲ-云南省)
2018年高考理数试卷含答案(全国卷Ⅲ-云南省)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}012B=，，，则A B==-≥，{}|10A x xA．{}0B．{}1C．{}，，012，D．{}122．()()+-=1i2iA．3i-+C．3i-D．3i+ --B．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos2α= A ． B ．79 C ．79- D ．89- 5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．806．直线20x y ++=分别与轴，轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎣D ．2232⎡⎣ 7．函数422y x x =-++的图像大致为坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A ．5B ．2C 3D ．2 12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．15．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 16．已知点()11M -，和抛物线24C yx =：，过C 的焦点且斜率为的直线与C 交于A ，B 两点．若 90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}na 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前项和．若63m S =，求m ．18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc Ka b c d a c b d -=++++， ()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为的直线与椭圆22143xyC +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（为参数），过点(02，且倾斜角为α的直线与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．2018年高考理数(全国卷3)参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C D A B C A D B C B C B13.123-17.(12分)解：（1）设{}n a 的公比为，由题设得1n n a q -=.由已知得424qq =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=.由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.18.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m +==.列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 515（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.（12分）解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM .又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . （2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点. 由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ， (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩可取(1,0,2)=n .DA是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ，25sin ,DA =n所以面MAB 与面MCD 2520.（12分）解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=.两式相减，并由1221yx ykx-=-得1122043y x y k x +++⋅=.由题设知12121,22x y xy m ++==，于是34k m=-.①由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y xx y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =. 于是222211111||(1)(1)3(1)242x xFA x x y =-+=-+-=-.同理2||22x FB =-.所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则1122212112||||||||||()422FB FA x x x x x x d =-=-=+-②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x xx x +==，代入②解得321||28d =.所以该数列的公差为32128或32128-.21.(12分)解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x '=+-+. 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+. 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当x =时，()0f x '=.所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.学#又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >. （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x x h x x x axx ax ==+-++++.由于当1||min{}||x a <时，220x ax++>，故()h x 与()f x 符号相同.又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且1||min{}||x a <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点. 如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且1||min{}||x a <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点 综上，16a =-. 22．选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）O 的直角坐标方程为221xy +=．当2απ=时，与O交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则的方程为2y kx =-O交于两点当且仅当2211k <+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数，44απ3π<<． 设A，B，P对应的参数分别为At ，Bt ，Pt ，则2A BP t t t +=，且At ，Bt 满足222sin 10t t α-+=．于是22AB tt α+=，2Ptα=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P P x t y tαα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<．23．选修4—5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为．。
2018年全国高考新课标3卷理科数学试题（解析版）
2018年全国⾼考新课标3卷理科数学试题（解析版）2018年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试新课标3卷理科数学注意事项:1.答卷前,考⽣务必将⾃⼰得姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每⼩题答案后,⽤铅笔把答题卡上对应题⽬得答案标号涂⿊。
如需改动,⽤橡⽪擦⼲净后,再选涂其它答案标号,回答⾮选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上⽆效。
3.考试结束后,将本试卷与答案卡⼀并交回。
⼀、选择题:本题共12⼩题,每⼩题5分,共60分。
在每⼩题给出得四个选项中,只有⼀项就是符合题⽬要求得。
1.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}解析:选C2.(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i解析:选D3.中国古建筑借助榫卯将⽊构件连接起来,构件得凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中⽊构件右边得⼩长⽅体就是棒头.若如图摆放得⽊构件与某⼀带卯眼得⽊构件咬合成长⽅体,则咬合时带卯眼得⽊构件得俯视图可以就是( )解析:选A4.若sinα=13,则cos2α= ( )A.89B.79C.-79D.-89解析:选B cos2α=1-2sin2α=1-19 =895.(x2+2x)5得展开式中x4得系数为( )A.10B.20C.40D.80解析:选C 展开式通项为T r+1=C5r x10-2r(2x)r= C5r2r x10-3r,r=2, T3= C5222x4,故选C6.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ΔABP⾯积得取值范围就是( )A.[2,6]B.[4,8]C.[2,32]D.[22,32]解析:选A,线⼼距d=22,P到直线得最⼤距离为32,最⼩距离为2,|AB|=22,S min=2, S max=67.函数y=-x4+x2+2得图像⼤致为( )解析:选D 原函数为偶函数,设t=x 2,t ≥0,f(t)=-t 2+t+2,故选D8.某群体中得每位成员使⽤移动⽀付得概率都为p,各成员得⽀付⽅式相互独⽴,设X 为该群体得10位成员中使⽤移动⽀付得⼈数,DX=2、4,P(X=4)解析:选B X ～B(10,p),DX=10p(1-p)=2、4,解得p=0、4或p=0、6,p=0、4时,p(X=4)=C 104(0、4)4(0、6)6 >P(X=6)= C 106(0、4)6(0、6)4,不合。
2018年高考理科数学试题及答案-全国卷3(K12教育文档)
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3)理科数学2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3）理科数学一、选择题:本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A x ｜ x 1≥0 ， B 0，1,2 ，则 A BA．0 B． 1 C．1，2D．0，1,22． 1 i 2 iA． 3 i B． 3 i C． 3 iD． 3 i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若sin 13，则cos 2A．89B．79C．79D．5． 2 2xx 5的展开式中4x 的系数为A．10 B．20 C．40D．8022 6．直线x y 2 0 分别与x 轴，y 轴交于A，B两点，点P 在圆xy上，则△ABP面积的取值范围22是A．2，6 B．4，8 C． 2 ，32 D． 2 2 ，3 27．函数 4 2 2y x x 的图像大致为2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 3）理科数学8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX 2。
2018年高考全国卷Ⅲ卷理科数学(含答案)(2021年整理精品文档)
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}012=-≥，{}B=，，,则A B=|10A x xA．{}0B．{}1C．{}，，012，D．{}122．()()+-=1i2iA．3i-+C．3i-D．3i+--B．3i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =，()()46P X P X =<=,则p = A ．0.7B ．0.6C ．0。
2018全国Ⅲ卷理科数学高考真题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ． 2． A ．B ．C ．D ．3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若，则 A ．B ．C ．D ． {}|10A x x =-≥{}012B =，，A B ={}0{}1{}12，{}012，，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i+1sin 3α=cos 2α=897979-89-5．的展开式中的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．函数的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ．10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为体积的最大值为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x 20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣422y x x =-++p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，，，ABC △D ABC -A ．B ．C ．D ．11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 AB．2CD 12．设，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)2018年理科数学高考真题全国卷Ⅲ试题及答案解析详解,最全,推荐文档
2 2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {x | x - 1≥ 0}， B = {0 ，1，2}，则 A B =A ． {0} 2． (1+ i )(2 - i )= A. -3 -iB ． {1}B. -3 +iC ． {1，2}C. 3 -iD ．{0 ，1，2}D. 3 +i3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4.若sin = 1，则cos 2= 38 7 A.B.99⎛2 ⎫5C. -79D. -8 95． x 2 + ⎪ ⎝x ⎭ 的展开式中 x 4 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806. 直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆(x - 2)2+ y 2 = 2 上，则△ABP 面积的取值范围是A ． [2 ，6]B ． [4 ，8]C ．⎡ ，3 2 ⎤ D ． ⎡2 2 ，3 2 ⎤⎣⎦⎣⎦7. 函数 y = -x 4 + x 2 + 2 的图像大致为3 533368. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， DX = 2.4 ， P (X = 4)< P (X = 6)， 则 p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 a 2 + b 2 - c 29. △ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若△ABC 的面积为 ，则4C = π π π π A.B.C.D.234610. 设 A ，B ，，C D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为9 ，则三棱锥 D - ABC 体积的最大值为 A ．12 B ．18 x 2 y 2C ． 24D ． 54 11. 设 F 1 ，F 2 是双曲线C ： 2 - a b2= 1（ a > 0 ，b > 0 ）的左、右焦点， O 是坐标原点．过 F 2 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF 1=OP ，则C 的离心率为A.B ．2C ．D ． 33212．设 a = log 0.2 0.3 ， b = log 2 0.3 ，则A. a + b < ab < 0 C ． a + b < 0 < abB. ab < a + b < 0 D ． ab < 0 < a + b二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2018新课标全国卷Ⅲ高考理科数学试卷含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x | x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝ A ．{0} B ．{1} C ． {1，2} D ．{0，1，2} 【解析】由集合A 得，x ≥1，故A ∩B ＝{1，2}，故答案选C ． 2．(1＋i)(2－i)＝A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i 【解析】(1＋i)(2－i)＝3＋i ，故选D ．3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ． AB ． BC ． CD ． D【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，故是虚线，结合榫头的位置知选A ．4．若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89【解析】cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝795．(x 2＋2x)5的展开式中的系数为A ． 10B ． 20C ． 40D ． 80【解析】T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝⎛⎭⎫2x r＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40． 6．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]【解析】由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，故圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝2．易知A (－2，0)，B (0，－2)，故|AB |＝22，故2≤S △ABP ≤6． 7．函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图像大致为A ． AB ． BC ． CD ． D【解析】当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B ．f ′(x )＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1)，当x ∈(0，22)时，f ′(x )＞0，排除C ，故正确答案选D ．8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2．4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝ A ． 0．7 B ． 0．6 C ． 0．4 D ． 0．3【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，故D (X )＝10p (1－p )＝2．4，故p ＝0．6或p ＝0．4．由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，即(1－p )2＜p 2，故p ＞0．5，故p ＝0．6．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【解析】因S △ABC ＝12ab sin C ，故a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，得2ab cosC ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ．故在△ABC 中，C ＝π4．10．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】设等边△ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6．设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，故球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6．故三棱锥D －ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝183．11．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若|PF 1|＝6|OP |，则的离心率为A ． 5B ． 2C ． 3D ． 2【解析】不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，故|PO |＝a ，故|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，故在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，故e ＝ca＝3． 12．设a ＝log 0．20．3，b ＝log 20．3，则( )A ．a ＋b ＜ab ＜0B ．ab ＜a ＋b ＜0C ．a ＋b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a ＋b 【解】由a ＝log 0．20．3得，1a ＝log 0．30．2，由b ＝log 20．3得，1b ＝log 0．32，故1a ＋1b ＝log 0．30．2＋log 0．32＝log 0．30．4，故0＜1a ＋1b ＜1得，0＜a ＋b ab ＜1．又a ＞0，b ＜0，故ab ＜0，故ab ＜a ＋b＜0．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________． 【解析】由题得，2a ＋b ＝(4，2)，因c ∥(2a ＋b )，又c ＝(1，λ)，故4λ－2＝0，即λ＝12．14．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________．【解析】f ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x ，则f ′(0)＝a ＋1＝－2，故a ＝－3，故答案为－3． 15．函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为________．【解析】由题意知，cos(3x ＋π6)＝0，故3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，故x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，故函数f (x )在[0，π]的零点个数为3． 16．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过的焦点且斜率为的直线与交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．【解析】法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2．法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1．由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2．故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1．(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3．由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n＝2n －1，则S n ＝2n －1．由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6． 综上，m ＝6．18． 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），P(K2≥k) 0．0500．0100．0013．8416．63510．828【解析】(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． (2)由茎叶图知m ＝12(79＋81) ＝80．列联表如下：(3)由于K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝40（15×15－5×5）220×20×20×20＝10＞6．635，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．19．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值． 【解析】(1)证明 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，故BC ⊥平面CMD ，又DM ⊂平面CDM ，故BC ⊥DM ．因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，故DM ⊥CM ．又BC ∩CM ＝C ，故DM ⊥平面BMC ．由于DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． (2)解 以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为CD ︵的中点．由题设得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，1)，AM →＝(－2，1，1)，AB →＝(0，2，0)，DA →＝(2，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM ，→＝0，n ·AB ，→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0.可取n ＝(1，0，2)．又DA →是平面MCD的法向量，因此cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA ，→|n ||DA ，→|＝55，sin 〈n ，DA →〉＝255．故平面MAB 与平面MCD所成二面角的正弦值为255．20．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0．证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．【解析】(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0．由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m ①．由于点M (1，m )(m ＞0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，故14＋m 23＜1，解得0＜m ＜32，故k ＜－12． (2)解 由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0．又点P 在C 上，故m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32．于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 214＝2－x 12．同理|FB →|＝2－x 22．故|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3．故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2②．将m ＝34代入①得k ＝－1．故l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0．故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128．故该数列的公差为32128或－32128． 21．已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．【解析】(1)证明 当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ．设函数g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ，则g ′(x )＝x（1＋x ）2．当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0；当x ＞0时，g ′(x )＞0．故g (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故当x ＞－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0．故f (x )在(－1，＋∞)单调递增．又f (0)＝0，故当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当x ＞0时，f (x )＞0．(2)解 (ⅰ)若a ≥0，由(1)知，当x ＞0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x ＞0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．(ⅱ)若a ＜0，设函数h (x )＝f （x ）2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax 2．由于当|x |＜min⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2＞0，故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2（2＋x ＋ax 2）－2x （1＋2ax ）（2＋x ＋ax 2）2＝x 2（a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1）（x ＋1）（ax 2＋x ＋2）2．如果6a ＋1＞0，则当0＜x ＜－6a ＋14a ，且|x |＜min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1|a |时，h ′(x )＞0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．如果6a ＋1＜0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0，故当x ∈(x 1，0)且|x |＜min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1|a |时，h ′(x )＜0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．如果6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3（x －24）（x ＋1）（x 2－6x －12）2．则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＞0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0．故x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16．(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22． 选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1．当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －2．l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4．综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4． (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0．于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α．又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t Pcos α，y ＝－2＋t Psin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)．23． 选修4—5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|． (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5．。
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绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合|10Axx≥，012B，，，则AB A．0 B．1 C．12， D．012，， 2．1i2i A．3i B．3i C．3i D．3i 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4．若1sin3，则cos2 A． B．79 C．79 D．89
5．522xx的展开式中4x的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线20xy分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP△面积的取值范围是 A．26， B．48， C．232， D．2232，
7．函数422yxx的图像大致为
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXPX，则p A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 9．ABC△的内角ABC，，的对边分别为，，，若ABC△的面积为2224abc，则C A．π2 B．π3 C．π4 D．π6 10．设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为 A．123 B．183 C．243 D．543 11．设12FF，是双曲线22221xyCab：（00ab，）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PFOP，则C的离心率为 A．5 B．2 C．3 D．2 12．设0.2log0.3a，2log0.3b，则 A．0abab B．0abab C．0abab D．0abab 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量=1,2a，=2,2b，=1,λc．若2∥ca+b，则________． 14．曲线1exyax在点01，处的切线的斜率为2，则a________．
15．函数πcos36fxx在0π，的零点个数为________． 16．已知点11M，和抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点．若 90AMB∠，则k________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 等比数列na中，15314aaa，． （1）求na的通项公式； （2）记nS为na的前项和．若63mS，求m． 18．（12分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m
的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：22nadbcKabcdacbd， 2PKk≥ 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分） 已知斜率为的直线与椭圆22143xyC：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm，． （1）证明：12k； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分） 已知函数22ln12fxxaxxx． （1）若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx； （2）若0x是fx的极大值点，求． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxy，（为参数），过点02，且倾斜角为的直线与O⊙交于AB，两点． （1）求的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数211fxxx． （1）画出yfx的图像； （2）当0x∈，，fxaxb≤，求ab的最小值． 参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A B C A D B C B C B 13.12 14.3 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设{}na的公比为，由题设得1nnaq. 由已知得424qq，解得0q（舍去），2q或2q. 故1(2)nna或12nna.
（2）若1(2)nna，则1(2)3nnS.由63mS得(2)188m，此方程没有正整数解. 若12nna，则21nnS.由63mS得264m，解得6m. 综上，6m. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知7981802m. 列联表如下： 超过m 不超过m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15
（3）由于2240(151555)106.63520202020K，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.（12分） 解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点. 由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)DABCM， (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AMABDA 设(,,)xyzn是平面MAB的法向量,则 0,0.AMABnn即20,20.xyzy
可取(1,0,2)n.