版高中数学第三章指数函数和对数函数4第2课时对数的运算性质及换底公式学案北师大版必修1
4.2.2 换底公式-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(北师大2019版必修第一册)
1 4.2.2 换底公式【教学目标】重点、难点1、对数换底公式的推导和应用；（重点）2、会用对数换底公式进行化简与求值；（难点）学科素养1、通过对对数换底公式推导的学习，培养逻辑推理素养；2、通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.【知识清单】1、换底公式及其推导证明：设，则，两边取以a 为底的对数，得x ,即2、换底公式的应用对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具，一般常换成以10为底.2、常见结论log a b ·log b a ＝【基础过关】1、log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92N log x b =N b x =N log b log a a =b log N log x a a =⇒b log Nlog N log a a b =2 2、已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________【经典例题】题型一 利用换底公式化简求值例1、计算：（1）log 1627log 8132 （2）log 29·log 34题型二 用已知对数表示其他对数例2、若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245.【课堂达标】1．（log 29）•（log 34）等于（ ）A ．B ．C ．2D ．42．设82log 9log 3a =，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23 C ．1 D ．23．已知lg 2a =,lg3b =,则3log 6等于( )A ．a b a +B ．a b b +C ．aa b + D ．ba b +4．计算:23log 9log 8⋅=( )A ．12B ．10C ．8D ．63 5．若3414491log 7log 27log log 8m ⨯⨯=，则m =___________．6．234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_________.7、求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.8.求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.【能力提升】1．设lg 2a =，lg3b =，则2log 6=（ ）A ．2abB ．2a bC ．a b a +D ．aa b +2．若lg 2,lg3a b ==，则24log 5等于（ ）．A ．13a a b ++B ．13aa b ++ C ．13a a b -+ D ．13aa b-+ 3．已知32m n k ==且112m n +=，则k 的值为( )4 A ．15 B 15C6 D ．64．计算25log 25log 22⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．若log 2x •log 34•log 59=8，则x =A ．8B ．25C ．16D ．46．若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则（ ）A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =7．（多选题）若0ab >，且1ab ≠，则下列等式中不正确的是（ ）A ．lg()lg lg ab a b =+B ．lg lg lg a a b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．21lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1lg()log 10ab ab =8．已知lg 2a =，lg3b =，则3log 6=__________（用含a ，b 的代数式表示）.9．设25a b m ==,且112a b +=,则m =______.10.已知35log 2,log 3a b ==，试用a ，b 分别表示下列各式：（1）2log 5；（2）lg 2；（3）20log 45．5【参考答案】【知识清单】1、log b N ＝log a Nlog a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)3、1【基础过关】1．B【解析】【分析】直接利用对数的运算性质，对选项进行逐一分析判断即可.【详解】log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.【点睛】本题考查对数换底公式，属简单题.2、9【解析】因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9.所以m ＝9.6 【经典例题】例1、（1）[解析]log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.（2）[解析]（3）[log 29·log 34＝2log 23·log 24log 23＝2log 24＝4log 22＝4.]例2、[解析]因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b .[课堂达标]1．D【解析】试题分析：利用换底公式、对数运算法则求解．解：（log 29）•（log 34）===4． 故选D ．7 考点：对数的运算性质．2．B【解析】【分析】由对数函数运算性质整理分子，即可求出答案. 【详解】 由题可知，322822222log 3log 3log 923log 3log 3log 33a ====故选：B【点睛】本题考查对数式的运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】应用换底公式和对数的运算公式直接求解即可.【详解】∵lg 2a =,lg3b =∵3lg 6lg 2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故选：B【点睛】8 本题考查了换底公式，考查了对数的运算公式，考查了数学运算能力.4．D【解析】【分析】根据对数换底公式,化简原式即可求得答案. 【详解】23lg9lg82lg33lg 2log 9log 86lg 2lg3lg 2lg3⋅=⋅=⋅=∴ 23log 9log 86⋅=故选:D.【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.5．4 【解析】【分析】由对数的运算性质和对数的换底公式，化简整理得32441log log 8m -=，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得344341424449log 7log log 7log 27log log 3log 3log (7)mm -⨯⨯=⨯⨯9344244444log 7log 33log 3log log log 32log 72m m m -=⨯⨯=-=-， 所以32441log log 8m -=，所以3218m -=，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理利用对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．3【解析】【分析】直接利用换底公式计算得到答案. 【详解】 原式2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln8ln8log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln 2=⋅⋅⋅⋅⋅===. 故答案为：3.【点睛】本题考查了换底公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.7、18【解析】【分析】首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.10 【详解】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换地公式，同时考查对数的运算，属于中档题.8. 18【解析】【分析】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.【能力提升】1．C【解析】【分析】把2log 6换成以10为底的对数，再利用对数的运算性质用,a b 表示lg 6lg 2即可.【详解】11 ∵lg 2a =，lg3b =，∵212lg3log 612g a b g a++==． 故选：C ．【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的运算性质，注意根据题设条件中的对数的形式选择合适的底的对数去表示目标对数，此类问题属于基础题.2．D【解析】【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.【详解】由lg 2,lg3a b ==，则24lg51lg 21lg 21log 5lg 24lg8lg33lg 2lg33a a b---====+++. 故选：D【点睛】本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题.3．C【解析】【分析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解.12 【详解】∵3m =2n =k ，∵m =log 3k ，n =log 2k ，∵32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2，∵k 2=6，又0k >∵6k =故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．A【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解 【详解】3222525253log 25log 22log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题13 5．B【解析】【分析】由换底公式将原式化为：lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，进而得到lgx=2lg5=lg25. 【详解】∵log 2x•log 34•log 59=8，∵lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，∵lgx=2lg5=lg25，∵x=25． 故选B ．【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:log log (0,1;0,1;0)log c b c N N b b c c N b=>≠>≠>且且. 6．C【解析】【分析】 根据换底公式可统一为常用对数，即可化简. 【详解】因为567895lg 6lg 7lg8lg 9lg10log 6log 7log 8log 9log 10log 10lg 5lg 6lg 7lg8lg 9p =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，14 而555log 5log 10log 25<<，所以()12p ∈，，故选C.【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题.7．AB【解析】【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．【详解】对于A ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于B ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于C ，00aab b >⇒>，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D ，由换底公式得，()()()1lg()log 1log 0log 10ab ab ab ab ab ==，该等式正确．故选AB ．【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．8．a bb +【解析】【分析】15由换底公式，可得l 3lg6lg2lg3log 6lg3lg3+==，由此能够准确地利用a ，b 表示log 36．【详解】由换底公式，3lg6lg2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故答案为a bb +【点睛】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．910【解析】【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b +==，得到答案.【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =， 故11log 2log 5log 102,10m m m m a b +=+==∴=10.【点睛】 本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.10.（1）1ab ；（2）1+ab ab ；（3）1212++bab16 【解析】【分析】（1）根据换底公式进行换底即可得到答案；（2）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案；（3）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案. 【详解】 解：（1）535233log 5115log 31log 5log 2log 2og b a ab====； （2）33335333335log 2log 2log 2log 2lg 2log 51log 10log (25)log 2log 51log 2log 3a abab a b======⨯++++； （3）()33333320333333log 45log (59)log 5log 9log 5log (33)log 45log 20log 45log 4log 5log (22)log 5⨯++⨯====⨯+⨯+ 5333553335log 512log 32log 52log 3log 312log 512log 2log 51222log 2log 3bb aba b++++====++++.【点睛】本题主要考查换底公式和对数的运算性质，考查学生的计算能力和公式的应用能力，属于基础题.171819。
《换底公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大版】
(1)已知，，试用，表示．(2)设，求的值．
解：(1)由，得．又，则．(2)由，得，，由换底公式得，，则．
技巧总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路：①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键；②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值．(2)指数式的连等式求值方法：第一步：可令连等式等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示；第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数；第三步：运用对数的运算性质化简求值．
第四章 对数运算与对数函数
换底公式
1．通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算．2．运用对数运算性质解决有关问题．
对数运算的性质与换底公式的应用．
灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值．
有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)．对一般的底数，且和，要计算 ，必须将它转换成常用对数或自然对数．如何转换呢?
计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）；（2）；（3）；（4）．
分别计算下列各式，你能得出什么结论?（1）；（2）；（3）．
解：（1）；（2））；（3）
通过观察得出结论：且，，．
设0，0，0且，，利用对数的换底公式证明：（1）;（2）．
设，是正数，且，求的值．
证明：（1）；（2）．
解：因为0，0，，所以 因为，所以， 即，所以，所以．
证明：令，则，， 计算，故，等式两边同时取对数： ， 所以．
可用代数法进行证明．
计算：（1）；（2）；（3）（0，0，且，）．
解： 根据对数的换底公式，得（1）；（2）；（3）.
高中数学第三章指数函数和对数函数2.2指数运算的性质课件北师大版必修
2.2 指数运算的性质
分数指数幂
1.定义:给定① 正实数 a,对于任意给定的整数m,n(m,n② 互素 ),存在唯一
的③
正实数
b,使得④
bn=am
,我们把b叫作a的
m n
次幂,记作b=
a
m n
.
前提条件 结论
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
a>0,m,n均为正整数,m,n互素,n>1
∴a+a-1=14,
将化简所得结论代入求值.
∴原式=15.
1
1
1
1
(2)
x2
1
y2
1
=
(x2 y2 )2
1
11
1
x 2 y 2 (x 2 y 2 )(x 2 y 2 )
1
= x y 2(xy)2 .①
x y
∵x+y=12,xy=9,②
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
a的n次方根有且只有一个. ( ✕ )
2. 4 16 的运算结果是±2. ( ✕ )
n为大于1的奇数时, 对n 任a 意a∈R都有意义. ( √ )
n为大于1的偶数时, 只n 有a a≥0时才有意义. ( √ ) 5. n an =( n a)n. ( ✕ )
∴a= 4 3.
指数式条件求值问题的解法 指数式条件求值问题的解题步骤: (1)审题:从整体上把握已知条件和所求代数式的特点; (2)化简:化简已知条件与所求代数式; (3)代入:把已知条件代入求值.
(1)已知
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数
§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。
学案4：4.2.2 对数运算法则
4.2.2 对数运算法则【自主预习】1．对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，α∈R 那么：(1)log a (M ·N )＝ ；log a (N 1·N 2·…·N k )＝ (N i ＞0，i ＝1,2，…，k )．(2)log a M α＝ .(3)log a M N＝ . 2．换底公式log a b ＝ (a >0，且a ≠1b >0，c >0且c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)．思考：如何准确地应用换底公式？【初试身手】1．计算log 84＋log 82等于( )A ．log 86B ．8C ．6D ．1 2．若2a ＝3b (ab ≠0)，则log 32＝( )A.b aB.a bC ．ab D.a 2b 2 3．下列结论正确的是( )A ．log a (x －y )＝log a x －log a yB.log a x log a y＝log a x －log a y C ．log a x y＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a x log a y4．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________.【合作探究】【例1】(1)计算8-23＋2lg 2－lg 125的值为________． (2)计算：log 327＋lg 4＋lg 25＋⎝⎛⎭⎫－180＝________. (3)计算：①lg 5100；②log 2(47×25)；③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.【规律方法】1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．【跟踪训练】计算下列各式的值：(1)2log 23－log 2638＋log 27－.(2)log 33＋lg 25＋lg 4－log 2(log 216)．【例2】(1)已知log 312＝a ，试用a 表示log 324；(2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108.[思路探究] 对数运算⇒对数运算法则的应用．[母题探究]1．(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a ，b 表示lg 952．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a ，lg 15＝b ”，结果如何？对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯， “lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．[探究问题]1．假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？2．由探究1，你能猜测log c b log c a与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【例3】已知3a ＝4b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求实数c 的值． [思路探究] 先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．[母题探究]1．(变条件)将本例中的条件“1a ＋1b ＝2”改为“1a －1b＝2”，则实数c 又为多少？2．(变结论)将本例条件改为“已知正数a ，b ，c 满足3a ＝4b ＝6c ”，求证：1c －1a ＝12b.应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.【课堂小结】1．本节课的重点是掌握对数运算性质、对数换底公式，难点是对数运算性质的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握对数运算性质的应用技巧．(2)弄清对数换底公式在求值中的应用．3．本节课的易错点是应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误．【当堂达标】1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy ＝log a x ·log a y .( )(3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )2．若log 545＝a ，则log 53＝( )A.2a －1B.21＋aC.a ＋12D.a －123．计算：log 25－log 252＝________. 4．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4； (2)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322.【参考答案】【自主预习】1．(1)llog a M ＋log a Nlog a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k(2)αlog a M(3)log a M －log a N2．log c b log c a思考：[提示] (1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①log a b ＝1log b a ；＝n mlog a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 【初试身手】1．D [log 84＋log 82＝log 8(4×2)＝log 88＝1.]2．A [2a ＝3b ⇒a lg 2＝b lg 3，所以log 32＝lg 2lg 3＝b a.] 3．C [由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确．]4．2－a [∵3a ＝2，∴a ＝log 32，∴2log 36－log 38＝2(log 32＋log 33)－3log 32＝－log 32＋2＝2－a .]【合作探究】【例1】(1)94 (2)92 [(1)原式＝(23) -23＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝14＋lg(4×25)＝14＋2＝94. (2)原式＝32＋lg 102＋1＝32＋2＋1＝92.] (3)解：①lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25. ②log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.【跟踪训练】[解] (1)2log 23－log 2638＋log 27－ ＝log 29－log 2638＋log 27－2 ＝log 2⎝⎛⎭⎫9×863×7－2＝3－2＝1. (2)原式＝12log 33＋lg(25×4)－2＝12＋2－2＝12.【例2】[解] (1)log 312＝log 3(3×4)＝1＋2log 32＝a ，所以log 32＝a －12，log 324＝log 3(8×3) ＝1＋3log 32＝1＋3×a －12＝3a －12. (2)因为108＝4×27＝22×33，所以lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b . [母题探究]1．[解] lg 95＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2)＝2b ＋a －1. 2．[解] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋lg 5＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋1－lg 2＝b ， 解得⎩⎨⎧ lg 2＝a －b ＋12，lg 3＝a ＋b －12，所以lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋32lg 3 ＝a －b ＋12＋32×a ＋b －12＝2a －2b ＋2＋3a ＋3b －34＝5a ＋b －14.[探究问题]1．[提示] 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23. 2．[提示] log c b log c a ＝log a b .假设log c b log c a ＝x ，则log c b ＝x log c a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以log c b log c a＝log a b . 【例3】[解] 由3a ＝4b ＝c ，得：a ＝log 3c ，b ＝log 4c ，所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c＝log c 4. 又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 4＝log c 12＝2， 即c 2＝12，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝2 3.[母题探究]1．[解] 由3a ＝4b ＝c 得：a ＝log 3c ，b ＝log 4c ，所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c＝log c 4. 又1a －1b ＝2，所以log c 3－log c 4＝log c 34＝2， 即c 2＝34，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝32. 2．[证明] 设3a ＝4b ＝6c ＝k (k >1)，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，所以1c －1a ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 63＝log k 2， 12b ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2，所以1c －1a ＝12b. 【当堂达标】1．(1)√ (2)× (3)× [(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ；(3)×.公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数．]2．D [因为log 545＝log 5(5×9)＝1＋log 59＝1＋2log 53＝a ，所以log 53＝a －12.]3．1 [原式＝log 2⎝⎛⎭⎫5×25＝log 22＝1.] 4．[解] (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2lg 5＋lg 2－3lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1. (2)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎫3222＝log 78×989＝log 71＝0.。
3.4.2 换底公式1 教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一
3.4.2 换底公式本节教材分析我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 三维目标1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观：让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.教学重点：对数运算的性质与对数换底公式的应用． 教学难点：对数概念的理解，对数换底公式的推导及应用． 教学建议：1. 先给学生证明公式，让学生明白如何证明，如何应用.2. 注意公式的灵活性与限制范围.强调.3. 通过实例说明换底公式的意义.新课导入设计导入一:问题：你能根据对数的定义推倒下面的换底公式吗？,0>a .且,0,1>≠c a 且.log log log ,0,1ab b bc c c a =>≠教师直接点题.导入二：前面我们学得是同底的对数问题，那么不同底的对数，应该如何处理呢？这就是本节课研究的主要内容，教师板书课题.3.4.2 换底公式一、引入：在实际应用中，常常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数呢？例如，如何求5log 3？我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算。
设 x =5log 3，写成指数形式，得53=x两边取常用对数，得5lg 3lg =x所以 465.14771.06990.03lg 5lg ===x 即 465.15log 3=二、讲授新课： 1、换底公式)0,1,,0,(log log log >≠>=N b a b a bNN a a b 证明 设N xb log =，根据对数定义，有x b N =两边取以a 为底的对数，得x a a b N log log =而b x b a x alog log =，所以b x N a a log log =由于1≠b，则0log ≠b a ，解出x ，得bNx a a log log =，因为N xb log =，所以bNN a a b log log log =很容易由换底公式得到ba ab log 1log =例7 计算： （1） 27log 9（2） 32log 9log 278⋅解 （1）239log 27log 27log 339==（2）9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg 32log 9log 278=⋅=⋅=⋅ 例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： 48log 2； 10log 3； π8log ； 50log 5； 2log 082.1解 585.548log 2=096.210log 3= 550.0log 8≈π431.250log 5=795.82log 082.1=例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
数学必修ⅰ北师大版3.4.2换底公式课件解读
(
)
4 8 2 4 3 4 解析：原式＝log3 2 · log2 3 ＝2log32·log23＝ . 3
答案：C
log2716 2. log 4 的值为 3 A． 2 3 B.2
(
)
2 C． 1 D.3 2 log 3 42 3log34 2 解析：原式＝ 3 ＝ log 4 ＝3. 3 log 4
[思路点拨]
解答本题可先求强度值y与玻璃板x之间的函
数关系，再解决第二个问题．
1 x 9 x [精解详析] (1)依题意得 y＝a(1－ ) ＝a( ) ， 10 10 其中 x≥1，x∈N； 9 x 1 9 x 1 (2)依题意得 a( ) ≤a× ⇒ ( ) ≤ 10 2 10 2 0.301 0 ⇒ x(2lg3－1)≤－lg2⇒ x≥ ≈6.572， 1－2× 0.477 1 ∴xmin＝7. 答：通过 7 块以上(包括 7 块)的玻璃板后，光线强度减弱 1 到原来强度的 以下． 2
a＋b a＋b ＝ ＝ . 2－2log189＋log189 2－a
[一点通] 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几 点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，
巧妙代换． (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题 的关键． (3)注意一些派生公式的使用．
3．已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝__________. (用p、q表示)
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，
有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底
进行运算．②直接把题中对数全换成统一底的对数
进行运算．
2．换底公式常用推论： loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； n logamb ＝mlogab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数 第2课时 对数的运
第2课时 对数的运算性质及换底公式1.了解对数的换底公式．2.理解对数的运算性质．3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．[学生用书P49]1．如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式一般地，称log a N ＝log c Nlog c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，N >0)为对数的换底公式.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log （－2）blog （－2）a.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知a >0且a ≠1，则log a 2＋log a 12＝( )A ．0B ．12 C ．1 D ．2答案：A3．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea＝________．答案：(1)12(2)0.84.log 29log 23＝________． 答案：2对数的运算性质及应用[学生用书P49]计算下列各式：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.【解】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1.(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．1.计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解：(1)法一：原式＝lg[2512×2×1012×(10－2)－1] ＝lg (5×2×1012×102) ＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.法二：原式＝2log 32－()5log 32－2＋3log 32－3 ＝2－3＝－1.换底公式的应用[学生用书P50](1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)； (2)已知log 189＝a ，18b＝5，求log 3645(用a ，b 表示)． 【解】 (1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二：原式 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.(2)法一：因为18b＝5，所以log 185＝b ， 又log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 18（18×2）＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a.法二：因为log 189＝a ，18b＝5，所以lg 9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.法三：因为log 189＝a ，所以18a＝9. 又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a ＋b.令log 3645＝x ，则36x＝45＝18a ＋b，即36x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫183·183x＝18a ＋b.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1829x＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a.(1)具有换底功能的另两个结论：①log a c ·log c a ＝1，②log an b n＝log a b .(a ＞0且a ≠1，b ＞0，c ＞0且c ≠1)(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．2.(1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________．(2)计算：log22＋log 279＝________．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56.(2)原式＝log 22log 2212＋log 332log 333＝112＋23＝2＋23＝83.答案：(1)56 (2)83对数的综合应用[学生用书P50]若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 【解】 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b 求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．3.(1)方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．(2)已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 解：(1)原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)， 即x 2－x －2＝0， 解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0， 故方程的解是x ＝2.故填x ＝2. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2.1．对对数的运算性质的理解(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． (3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a M N＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍． 2．关于换底公式的两点说明(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2a b的值． [解] 因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )， 所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0， 所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2a b＝log 24＝2.(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解． (2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．1．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3D ．12 解析：选C.原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析：选A.log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝log 32－2＝a －2. 3．(1)log 52·log 79log 513·log 734＝________．(2)log 2()3＋5－ 3－5＝________．解析：(1)原式＝log 132·log 349＝12lg 2－lg 3·2lg 323lg 2＝－32.(2)原式＝12log 2(3＋5－ 3－5)2＝12log 2[]（3＋5）＋（3－5）－2（3＋5）（3－5） ＝12log 2(6－4) ＝12log 22＝12. 答案：(1)－32 (2)124．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg(xyz ); (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z； (4)lg x y 2z .解：(1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ；(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ；(3)lg xy 3z＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z ；(4)lgx y 2z＝lg x －lg(y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg125＝lg1 000＝3. 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12B ．9C ．18D ．27解析：选B.由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝log 416＝log 442＝2， 所以lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9，选B.3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 解析：选D.因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.4．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B ．a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－aD ．a ＋2b1－a解析：选C.log 512＝lg 12lg 5＝lg （22×3）lg （10÷2）＝lg 22＋lg 3lg 10－lg 2＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b1－a .故选C.5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A.因为2x＝3，所以x ＝log 23. 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43)＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3.故选A.6．已知m >0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝________．解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100.所以x ＝0. 答案：07．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.答案：x ＝58．已知2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：m ＝log 236，n ＝log 336，所以1m ＝log 362，1n ＝log 363，所以1m ＋1n ＝log 366＝12.答案：129．计算下列各式：(1)lg 8＋log 39＋lg 125＋log 319；(2)[log 2(log 216)](2log 36－log 34)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11. 解：(1)原式＝lg 8＋lg 125＋log 39＋log 319＝lg(8×125)＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫9×19＝lg 1 000＋log 31＝3＋0＝3. (2)原式＝(log 24)(log 336－log 34)＝2log 3364＝2log 39＝4.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 460lg 153－210×2－11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1 ＝－1－12＝－32.10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2. 经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x＝log 41－x 2x ＋1. 整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0. 当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.[B 能力提升]1.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________． 解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1252.计算log 8(log 242)的值为________．解析：log 8(log 242)＝log 814＝－2log 82＝－23. 答案：－233．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________． 解析：原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132， 整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0， 即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0；解得log b a ＝2或log b a ＝16， 所以b 2＝a 或b 16＝a ， 即b ＝a 或b ＝a 6.答案： b ＝a 或b ＝a 64．(选做题)已知地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．若A 地地震级别为9.0级，B 地地震级别为8.0级，求A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的多少倍．解：由R ＝23(lg E －11.4)， 得32R ＋11.4＝lg E ， 故E ＝10(32R ＋11.4)．设A 地和B 地地震释放的能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2＝10（32×9.0＋11.4）10（32×8.0＋11.4）＝1010， 即A 地地震释放的能量是B 地地震释放的能量的1010倍．。
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.2对数运算法则学案
4．2.2 对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，＝____________，(2)log a MN(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔对数换底公式常见的两种变形＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与(1)log a b·log b a＝1，即1log a b原对数值互为倒数 .log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所(2)log N n M m＝mn得的对数值等于原来对数值的mn 倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24 B ．log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24 2.log 49log 43的值为( )A ．12B ．2C ．32D ．923．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 用已知对数表示其他对数[经典例题] 例1 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )； (2)lg xy 2z；(3)lg xy 3z； (4)lg√xy 2z. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1 如果lg2＝m ，lg3＝n ，则lg 12lg 15等于( ) A ．2m+n 1+m+n B ．m+2n1+m+n C ．2m+n1−m+nD ．m+2n1−m+n题型2 对数运算性质的应用[经典例题] 逆用对数的运算法则合并求值．例2 (1)计算lg2＋lg5＋2log 510－log 520的值为( ) A ．21 B ．20 C ．2 D ．1(2)求值：log 2√748＋log 212－12log 242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2 (1)计算：lg 52＋2lg2－(12)−1＝________． 利用对数运算性质化简求值． (2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3 对数换底公式的应用[经典例题]例3 (1)已知2x＝3y＝a ，1x＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：log a b＝log a c·log c b；log a n b m＝mnlog a b.跟踪训练3 (1)式子log916·log881的值为( )A．18 B．118C．83D．38(2)已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝________；(用p，q表示)(3)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528；②设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值．状元随笔(1)方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2 对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N(2)log a M－log a N(3)n log a M知识点二log c b log c a1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C2．解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．解析：原式＝log 5102＋log 5 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．解析：log 32＝ln 2ln 3＝ab . 答案：ab 课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z . (2)lg xy 2z＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg 3√z＝lg (xy 3)－lg √z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . (4)lg√x y 2z ＝lg √x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 跟踪训练1 解析：因为lg2＝m ，lg3＝n ， 所以lg 12lg 15＝2lg 2+lg 3lg 3+lg 5＝2m+nn+1−lg 2＝2m+nn+1−m . 答案：C例2 【解析】 (1)lg2＋lg5＋2log 510－log 520 ＝1＋log 510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log 27－log 248)＋log 23＋2log 22－12(log 22＋log 23＋log 27)＝12log 27－12log 23－12log 216＋12log 23＋2－12log 27－12＝－12.【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练2 解析：(1)lg 52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5(3×13)＝log 51＝0. ②(lg5)2＋lg2·lg50 ＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2 ＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg 823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析例3 【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ， 所以1x+1y＝1log 2a+1log 3a＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝±√6. 又a ＞0，所以a ＝√6. (2)log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.(3)方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11+log 182＝11+log 18189＝11+1−log 189＝12−a ，所以原式＝a+b2−a. 方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log185+log 1892log182+log 189＝a+b2log 18189+log 189＝a+b2−2log189+log 189＝a+b2−a. 【答案】 (1)D (2)(3)见解析跟踪训练3 解析：(1)原式＝log 3224log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)lg5＝log 65log 610＝qlog62+log 65＝qp+q. (3)①∵log 147＝a ，14b＝5，∴b ＝log 145. ∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log14(5×7)＝log 14142−log 147log 145+log 147＝2−aa+b .②∵3x＝36，4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x+1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)C (2)qp+q (3)见解析。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1
A组4.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,则下列各式:①(log a x)n=n log a x;②(log a x)n=log a x n;③log a x=-log a;④=log a;⑤log a x;⑥=log a;⑦log a x n=n log a x;⑧log a=-log a.其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:根据对数的运算法则及换底公式得③⑥⑦⑧正确,①②④⑤不正确.答案:B5山东济宁一中高一期中)已知log89=a,log25=b,则lg 3等于() A. B.C. D.解析:∵log89=a,∴=a.∴=a.∴lg 3=lg 2.又∵log25=b,∴=b.∴=b.∴lg 2=.∴lg 3=,故选C.答案:C6.若m log35=1,n=5m,则n的值为.解析:∵m==log53,∴n=5m==3.答案:37.设2a=5b=m,且=2,则m=.解析:∵a=log2m,b=log5m,∴=log m2+log m5=log m10=2,∴m2=10.又∵m>0,∴m=.答案:8.设10a=2,10b=3,则log1815=(用a,b表示).解析:由10a=2,10b=3,得a=lg 2,b=lg 3.故log1815=.答案:9.已知x,y为正数,且3x=4y,求使2x=py的p的值.解:设3x=4y=k(显然k≠1),则x=log3k,y=log4k,由2x=py,得2log3k=p log4k=p·.∵log3k≠0,∴p=2log34.10:(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8.解:根据对数的换底公式和运算性质可得(log43+log83)·,log535-2log5+log57-log51.8=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=1+log57-2log57+2log53+log57-2log53+1=2,所以(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8=.B组1.计算log2·log3·log5的值为()A.-20B.-5C.5D.20解析:原式=-log225·log332·log59=-=-=-20.答案:A2f(3x)=1+2x·log23,则f(21 007)的值等于()A.2 013B.2 014C.2 015D.2 017解析:令3x=t(t>0),则x=log3t,f(t)=1+2·log3t·log23=1+2·=1+,所以f(x)=1+,故f(21 007)=1+=2 015.答案:C3.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且log x m=24,log y m=40,log xyz m=12,则log z m的值为()A.60B.C.D.解析:由已知log m x=,log m y=,log m xyz=,所以log m x+log m y+log m z=,即log m z=,所以log z m=60,故选A.答案:A4.已知2x=3,log4=y,则x+2y=.解析:∵2x=3,∴x=log23.∵log4=y,∴y=log48-log43=log23,∴x+2y=log23+2=3.答案:35.(信息题)已知a n=log(n+1)(n+2)(n∈N+),观察下列运算:a1a2=log23·log34=2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=·…·=3,……定义使a1·a2·…·a k为整数的k(k∈N+)叫作企盼数.试确定当a1·a2·…·a k=2 016时,企盼数k=.解析:a1·a2·…·a k=·…·=log2(k+2)=2 016,解得k=22 016-2.答案:22 016-26.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为(结果精确到1,参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1).解析:由0.90μ0=μ0(e-λ)2,得e-λ=.又0.50μ0=μ0(e-λ)t,则=()t,两边取常用对数,得lglg 0.90,故t=≈13.答案:137.已知log1227=a,求log616的值(用a表示).解:∵由log1227=a,得=a,∴lg 2=lg 3.∴log616=.8拓展探究)已知log a x+3log x a-log x y=3(a>1).(1)若设x=a t,试用a,t表示y;(2)若当0<t≤2时,y有最小值8,求a和x的值.解:(1)由换底公式,得log a x+=3(a>1),所以log a y=(log a x)2-3log a x+3,当x=a t时,log a x=log a a t=t,所以log a y=t2-3t+3.所以y=(t≠0).(2)y=,因为0<t≤2,a>1,所以当t=时,y min==8,所以a=16,此时x==64.。
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1 第2课时 对数的运算性质及换底公式 学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点)；2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)．
预习教材P80－85完成下列问题： 知识点一 对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)logaMN＝logaM－logaN． 思考 当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？ 提示 不一定成立． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( ) (2)logax＋logay＝loga(x＋y)．( ) (3)对数的运算性质(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN能推广为loga(a1·a2·„·an)＝logaa1＋logaa2＋„＋logaan(a>0且a≠1，an>0，n∈N*)．( ) 提示 (1)错误．M和N为负数时logaM和logaN无意义． (2)错误．logax＋logay＝loga(xy)． (3)正确．能loga[(a1a2„an－1)·an]＝loga(a1·a2·„·an－1)＋logaan＝loga(a1·a2·„·an－2)＋logaan－1＋logaan＝„＝logaa1＋logaa2＋„＋logaan． 答案 (1)× (2)× (3)√ 知识点二 换底公式
logbN＝logaNlogab(a，b>0，a，b≠1，N>0)． 【预习评价】 1．换底公式中底数a是特定数还是任意数？ 提示 是大于0，且不等于1的任意数． 2．换底公式有哪些作用？ 提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值． 知识点三 常用结论 由换底公式可以得到以下常用结论： 2
(1)logab＝1logba； (2)logab·logbc·logca＝1； (3)loganbn＝logab；
(4)loganbm＝mnlogab； (5)log1a b＝－logab． 【预习评价】 1．计算log2781＝( )
A.43 B．34
C．23 D．32 解析 log2781＝log3334＝lg 34lg 33＝43． 答案 A 2．计算log42＋log48＝________． 解析 log42＋log48＝log416＝2． 答案 2 3．结合教材P81－82，例4和例5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？ 提示 第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化． 第二步：利用对数的性质化简、求值．
题型一 利用对数的运算性质化简、求值 【例1】 计算下列各式的值．
(1)12lg3249－43lg8＋lg245；
(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2． 解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 3
＝12． 法二 原式＝lg427－lg 4＋lg (75)＝lg42×757×4 ＝lg(2·5)＝lg10＝12． (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3． 规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式． 【训练1】 计算下列各式的值． (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)lg 3＋25lg 9＋35 lg27－lg3lg 81－lg 27． 解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1．
(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3 ＝1＋45＋910－12lg 34－3lg 3＝115． 题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 计算下列各式的值． (1)lg 20＋log10025； (2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
解 (1)lg 20＋log10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2． (2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52) ＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52) 4
＝3＋1＋13log25·(1＋1＋1)log52 ＝133×3＝13． 规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． (2)常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝mnlogab，
logab＝1logba等． 【训练2】 (1)(log29)·(log34)等于( ) A.14 B．12 C．2 D．4 (2)log2125·log318·log519＝________． 解析 (1)(log29)·(log34)＝(log232)·(log322) ＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4．
(2)原式＝lg125lg 2·lg18lg 3·lg19lg 5 ＝－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3lg 2·lg 3·lg 5＝－12． 答案 (1)D (2)－12 考查 方向 题型三 换底公式、对数运算性质的综合运用
方向1 含有附加条件的对数式或指数式的求值 【例3－1】 (1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645．
(2)设3a＝4b＝36，求2a＋1b的值． 解 (1)法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b． 于是log3645＝log1845log1836＝log185×9log1818×2＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a．
法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b． 于是log3645＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a． 5
法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg 18， lg 5＝blg 18，
∴log3645＝lg9×5lg1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg 18＋blg 182lg 18－alg 18＝a＋b2－a．
(2)法一 由3a＝4b＝36，得a＝log336＝2log36，b＝log436＝log2262＝log26． ∴2a＋1b＝22log36＋1log26＝log63＋log62＝log6(2×3)＝log66＝1． 法二 对已知条件取以6为底的对数， 得alog63＝2，blog62＝1，∴2a＝log63，1b＝log62，
于是2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1． 方向2 与方程的综合应用 【例3－2】 解下列方程．
(1)12(lg x－lg 3)＝lg 5－12lg(x－10)； (2)lg x＋2log(10x)x＝2； (3)log(x2－1)(2x2－3x＋1)＝1． 解 (1)首先，方程中的x应满足x>10，
其次，原方程可化为lgx3＝lg5x－10，
∴x3＝5x－10，即x2－10x－75＝0． 解得x＝15或x＝－5(舍去)， 经检验，x＝15是原方程的解．
(2)首先，x>0且x≠110，
其次，原方程可化为lg x＋2lg x1＋lg x＝2，即lg2x＋lg x－2＝0． 令t＝lg x，则t2＋t－2＝0， 解得t＝1或t＝－2，即lg x＝1或lg x＝－2，
∴x＝10或x＝1100．
经检验，x＝10，x＝1100都是原方程的解． (3)首先，x2－1>0且x2－1≠1， 6
即x>1或x<－1且x≠±2． 由2x2－3x＋1>0，得x<12或x>1． 综上可知，x>1或x<－1且x≠±2． 其次，原方程可化为x2－1＝2x2－3x＋1． ∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2． 又∵x>1或x<－1且x≠±2，∴x＝2． 经检验，x＝2是原方程的解． 方向3 与集合知识的综合应用 【例3－3】 已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则log8(x2＋y2)＝________． 解析 在集合B中，根据集合中元素的互异性，有|x|≠0，且y≠0.则在集合A中，x≠0，且xy≠0，有lg(xy)＝0，解得xy＝1.此时，A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，y}．由A＝B，得|x|＝1或y＝1． ①若|x|＝1，则x＝－1或x＝1(舍去)．此时y＝－1.经检验，符合题意． ②若y＝1，则|x|＝x，解得x＝1，与集合中元素的互异性矛盾．
综合可知，x＝－1，y＝－1，log8(x2＋y2)＝log82＝13．
答案 13 方向4 与函数知识的综合应用
【例3－4】 已知函数f(x)＝ log2x，x∈0，＋∞，x2，x∈－1，0]，－2x＋3，x∈－∞，－1]， 求f(f(f(－2－3)))的值． 解 ∵－2－3<－1，且当x∈(－∞，－1]时，f(x)＝－2x＋3，∴f(－2－3)＝－2－
2－3＋3＝－14．
∵－14∈(－1,0]，且当x∈(－1,0]时，f(x)＝x2， ∴f(f(－2－3))＝f－14＝－142＝116>0． 又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x， ∴f(f(f(－2－3)))＝f116＝log2116＝－4．