(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第十章 第四节 古典概型与几何概型 理

第四节 古典概型与几何概型
A组 专项基础测试
三年模拟精选
一、选择题
1．(2015）四川成都模拟)一个边长为2 m，宽1 m的长方形内画有一个中学生运动会的会
标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为
( )
A。35 m2 B。65 m2 C。125 m2 D。185 m2
解析 由几何概型的概率计算公式可知，会标的面积约为60100×2＝65。故选B。
答案 B
2．(2015）广东佛山模拟)某校高三年级学生会主席团共有5名同学组成，其中有3名同学
来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会
议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )
A。 0。35 B。 0。4 C。 0。6 D。 0。7
解析 来自同一班级的3名同学用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用A，
B
表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，
AB
共10种，

这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，2A，2B，3A，3B、AB共7种，故这两名
选出的同学来自不同班级概率P＝710＝0。7。
答案 D
3。(2014）梅州质检)如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，
3，4中的任何一个，允许重复．则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为( )
A
B
A。12 B。14 C。34 D。38
解析 不考虑大小，A，B两个方格有4×4＝16(种)排法．要使填入A方格的数字大于
B
方格的数字，则从1，2，3，4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4，3)，
(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的
数字的概率为616＝38，选D。
答案 D
4．(2014）皖南八校三模)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，
3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数
列的概率为( )
A。112 B。118 C。136 D。7108
解析 连续抛掷三次共有63＝216种情况，记三次点数分别为a，b，c，则a＋c＝2b，所
以a＋c为偶数，则a、c的奇偶性相同，且a、c允许重复，一旦a、c确定，b也唯一确
定，又a，c共有2×32＝18种，所以所求概率为18216＝112，故选A。
答案 A
二、填空题
5．(2014）成都模拟)在区间－π2，π2上随机取一个数x，cos x的值介于0至12之间的概
率为________．
解析 由0≤cos x≤12，x∈－π2，π2，可得－π2≤x≤－π3，或π3≤x≤π2，结合几何

概型的概率公式可得所求的概率为P＝2π2－π3π2－－π2＝13。
答案 13
一年创新演练
6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－
A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O
的距离大于1的概率为( )

A。π12 B．1－π12 C。π6 D．1－π6
解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点

O的距离大于1为事件A，则P(A
)＝23－12×4π3×1323＝1－π12。

答案 B
7．在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相交的概率为
( )

A。12 B。13 C。33 D。32
解析 由题意知圆心(0，0)到直线的距离d＝|2k|k2＋1<1，

∴－33答案 C
B组 专项提升测试
三年模拟精选
一、选择题
8．(2015）广州模拟)在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，使
△ABD为钝角三角形的概率为( )
A。16 B。13 C。12 D。23
解析 如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则在Rt△AHB中，BH＝AB）
cos 60°＝2cos 60°＝1；过点A作AM⊥AB，交BC于点M，则在Rt
△ABM中，BM＝ABcos 60°＝4，故MC＝BC－BM＝2。
由图可知，要使△ABD为钝角三角形，则点D只能在线段BH或线段
MC上选取，故所求事件的概率P
＝1＋26＝12，故选C。

答案 C
二、填空题
9．(2014）浙江十校联考)两个袋中各装有编号为1，2，3，4，5的5个小球，分别从每个
袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为________．
解析 共有25种摸球情况，两球编号数之和小于5的组合情况有(1，1)，(1，2)，(1，
3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6种，故所求概率为625。
答案 625
二、解答题
10．(2014）沈阳模拟)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{－1，1}．
(1)若M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合M；
(2)在(1)中的集合M内，随机取出一个元素(x，y)，求以(x，y)为坐标的点位于区域D：






x－y
＋2≥0，

x＋y
－2≤0，

y
≥－1

内的概率．

解 (1)M＝{(－2，－1)，(－2，1)，(0，－1)，(0，1)，(2，－1)，(2，1)}．
(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件C。
集合M中共有6个元素，即基本事件总数为6，区域D含有集合M中元素
(－2，－1)，(0，－1)，(0，1)，(2，－1)，共4个，
∴P(C)＝46＝23。
故以(x，y)为坐标的点位于区域D内的概率为23。
一年创新演练
11．设实数a，b均为区间[0，1]内的随机数，则关于x的不等式bx2＋ax＋14＜0有实数解
的概率为( )
A。12 B。16 C。13 D。23
解析 由题意，若b＝0，a≠0时不等式bx2＋ax＋14＜0有实数解；

若b≠0，则Δ＝a2－b＞0；作出0≤a≤1，0≤b≤1，a2＞b表示的平面区域如下，

关于x的不等式bx2＋ax＋14＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，
S
阴
＝ 01x2dx＝13x310＝13，故ρ＝S阴S正方形＝131＝13，故选C。

答案 C
12．已知函数f(x)＝ln xx，导函数为f′(x)，在区间[2，3]上任取一点x0，使得f′(x0)>0
的概率为________．
解析 由已知得f′(x)＝1－lnxx2，x∈[2，3]，
故f′(x)>0⇔1－ln xx2>0，
解得2答案 e－2