高等代数考研真题 第一章 多项式

第一章 多项式

1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4

(1)X -整除,而()1f x -能

被4

(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）

（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2

+px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式

（x 2

+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0

（x 2

+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0

证明：x 2+1∣f(x)，x 2

+1∣g(x)

3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n

-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表

示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，

g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：

（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证

明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项

式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以

推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m

(x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。

8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2

+x -2，

将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成

f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1

+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x)

其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。

10、（上海交大2005—15分）假设()f x = 2

32331

112221213141

x

x x x x x ------

（1）证明：存在实数c(0

11、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P 上的多项式，证明：在数域P 中，若

f 3(x)∣

g 3

(x),则f(x)∣g(x)。

12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x 2+1除余x+1，被x 3+x 2

+1除余

x 2

-1。 13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F 上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，

而h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。 14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：

（1）x -3整除f(x)；

（2）x+3除f(x)的余数是4；

（3）x+2除f(x)的余数等于x -2除f(x)的余数。

15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x -1)2

整除，而

f(x)-1能被(x+1)2

整除.

16、（南航2003—20分）设A ∈C n×n

, f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A 的

最小多项式。证明：

(1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。 17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。 （1）设a≠b，用（x -a ），（x -b ）除f(x)的余数分别为r 1和r 2 ，求用（x -a ）（x -b ）

除f(x)的余式。(10分)

(2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分))

（3）设f(x)= f 1(x) f 2(x)，次（f 1(x)）>0，次（f 2(x)）>0，且(f 1(x) f 2(x))=1。 证明：若次（g(x)）<次(f(x))，且f 2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得

u(x) f 1(x)+v(x) f 2(x)= g(x)

成立，且满足次(u(x))<次(f 2(x))，次(v(x))<次(f 1(x))。(15分) 18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x -1)f(x+1) -（x+2)f(x)≡0。

19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x 5+3x 4+x 3+x 2+3x+1 g(x)=x 4+2x 3

+x+2