【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修5第三章3.3-3.3.2第2课时简单线性规划的应用

第三章 不等式

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 简单线性规划的应用

A 级 基础巩固

一、选择题

1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )

A ．z ＝6x ＋4y

B ．z ＝5x ＋4y

C ．z ＝x ＋y

D ．z ＝4x ＋5y

解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ，即目标函数z ＝6x ＋4y .

答案：A

2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，

2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N

z ＝20x ＋40y

B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥10，

2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N

z ＝20x ＋40y

C.⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，

z ＝20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，

2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N

z ＝40x ＋20y

解析：由题意可知选A. 答案：A

3．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x

的取值范围是(

)

A ．[－1，0]

B ．(－∞，0]

C ．[－1，＋∞)

D ．[－1，1)

解析：作出可行域，如图所示，y －1

x 的几何意义是点(x ，y )与点

(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k 1最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，所以k l <1.综上，k ∈[－1，1)．

答案：D

4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )

A ．50，0

B ．30，20

C ．20，30

D ．0，50

解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件

⎩⎨

⎧x ＋y ≤50，

1.2x ＋0.9y ≤54，

画出可行域如图，得最优解为A (30，20)，故选B.

答案：B

5．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为( )

A ．2，4

B ．3，3

C ．4，2

D ．不确定

解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则

⎩⎪

⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，

y ≥1，

x ，y ∈N *

.

求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．

答案：B 二、填空题

6．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．

解析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么

⎩⎪⎪⎨⎪

⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，

x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0

①

目标函数z ＝2 100x ＋900y . 二元一次不等式组①等价于 ⎩⎪⎪⎨⎪

⎪⎧3x ＋y ≤30010x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.

② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域．

将z ＝2 100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z

900，平行直线y ＝－73x ，

当直线y ＝－73x ＋z

900

经过点M 时，z 取得最大值．

解方程组⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，

5x ＋3y ＝600

得M 的坐标(60，100)．

所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元． 答案：216 000

7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为

________．

解析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目

标函数z ＝x ＋y 经过点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12时取得最大值，即z max ＝1＋12＝3

2.

答案：3

2

8．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．

解析：|x |＋|y |≤2可化为

⎩⎪

⎨⎪⎧x ＋y ≤2（x ≥0，y ≥0），x －y ≤2（x ≥，y <0），－x ＋y ≤2（x <0，y ≥0），－x －y ≤2（x <0，y <0），

作出可行域，为如图所示的正方形内部(包括边界)，

容易得到整点个数为13个．