中考数学压轴题分类练习 动点等腰三角形专题

动点等腰三角形专题

1．已知函数

() ()

12

3

x

x

y

x

x

⎧

->

⎪⎪

=⎨

⎪<

⎪⎩

的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：

①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；

②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；

③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP；

④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（26，6

-）．

其中正确的结论个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C．

2．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．

【答案】x=0或x=424或42

x

<<．

3．如图1，已知二次函数2

y ax bx c

=++（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数

图象最低点M的纵坐标为

3

8

-，直线l的解析式为y=x．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l 沿x 轴向右平移，得直线l ′，l ′与线段OA 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，把△BCE 沿直线l ′折叠，当点E 恰好落在抛物线上点E ′时（图2），求直线l ′的解析式；

（3）在（2）的条件下，l ′与y 轴交于点N ，把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△B ′ON ′，P 为l ′上的动点，当△PB ′N ′为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．

【答案】（1）22833y x x =-；（2）y =x ﹣3；（3）P 坐标为（0，﹣3）或（323332+-，323332--）或（323332++，323332

-+）． 4.如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴相交于点A （0，3），与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x =1．

（1）求此抛物线的解析式以及点B 的坐标．

（2）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动．过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形．

②当t ＞0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．

【答案】（1）2

23y x x =-++，B 点坐标为（3，0）；（2）①；②．

5.如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知A （3，0），且M （1，

83-）是抛物线上另一点． （1）求a 、b 的值；

（2）连结AC ，设点P 是y 轴上任一点，若以P 、A 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标；

（3）若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O 、A 重合），过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于H 点．设ON =t ，△ONH 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．

【答案】（1）234

3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

；（2）P 点的坐标1（0，2）或（0，132-）或（0，54）或（0，132--）；（3）2211(01)3311(13)3

3t t t S t t t ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩． 6.如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C （23，0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连结BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．

（1）填空：点B 的坐标为 ；

（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；

（3）①求证：DE DB =33

； ②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．

【答案】（1）（23，2）；（2）AD 的值为2或23；（3）①证明见解析；②2323433

y x x =-+，当x =3时，y 有最小值3．

7.如图，已知抛物线a ax ax y 9322--=与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．

（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；

（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，AN

AM 11+均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a =1

3

-，A （﹣3，0），抛物线的对称轴为x =3；（2）点P 的坐标为（3，2）或（3，0）或（3，﹣4）；（3）32

． 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2323333y x x =

--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．

（1）求直线AE 的解析式；

（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；