中考数学压轴题分类练习 动点等腰三角形专题
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动点等腰三角形专题
1．已知函数12030xxyxx的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两
点，连接OA、OB．下列结论：
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；
②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP；
④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（26，6）．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C．
2．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P、
M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x
的值是 ．
【答案】x=0或x=424 或442x ．
3．如图1，已知二次函数2yaxbxc（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数
图象最低点M的纵坐标为3，直线l的解析式为y=x．
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（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作
CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l
′的解析式；
（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，
当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）22833yxx；（2）y=x﹣3；（3）P坐标为（0，﹣3）或（323332，323332）或
（323332，323332）．
4.如图，已知抛物线2yxbxc与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单
位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点
Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t
秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）223yxx，B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
3
5.如图，抛物线22yaxbx与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，83）是抛物
线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设
ON=t，△ONH的面积为S，求S与t
之间的函数关系式．
【答案】（1）2343ab ；（2）P点的坐标1（0，2）或（0，132）或（0，54）或（0，132）；（3）
2
2
11
(01)3311(13)33tttSttt
．
6.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（23，0），
点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形
BDEF
．
（1）填空：点B的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：DEDB=33；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
4
【答案】（1）（23，2）；（2）AD的值为2或23；（3）①证明见解析；②2323433yxx，当x=3时，
y
有最小值3．
7.如图，已知抛物线aaxaxy9322与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交
y
轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，ANAM11均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a=13，A（﹣3，0），抛物线的对称轴为x=3；（2）点P的坐标为（3，2）或（3，0）或
（3，﹣4）；（3）32．
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2323333yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y
轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的
中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
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（3）点G是线段CE的中点，将抛物线2323333yxx沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，
y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3333yx；（2）3；（3）Q的坐标为（3，42213）或′（3，42213）或（3，23）
或（3，235）．
9.已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，
l2与c1和c
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共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
【答案】（1）223yxx；（2）214；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n＜3；（4）（﹣5，0）或（3﹣42，0）
或（3+42，0）或（﹣1，0）．
满分突破中考数学压轴题之专题练习(一)—解答压轴题方法与技巧
满分突破中考压轴题之专题练习（一）1.等腰△ ABC中，CA=CB点D为边AB上一点，沿CD折叠△ CAD得到△ CFD边CF交边（2）连接AF交CD的延长线于点M，连接ME交线段DF于点N，若EF=4EC AB=22,求MN的长.【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质.菁优网版权所有【解答】(1) 证明：如图1,•/ CA=CB •••/ A=Z ABC,•/ CD=CE CDE=/ CED,'Z A=Z ABC在厶ACE与厶BCD 中，，ZAEC二ZBDC t AC=C&•△ACE^A BCD (AAS)•AE=BD, AD=EB•/ AD=DF, • DF=EBI F二EB在厶DCF与厶ECB中 , “ CF二CBLCD=CE•••△DCF^A ECB ( SSS ,/ DCE=/ ECB / DFE=/ EBC,•/ FDE=Z BCE•••/ DEC=ZFEB•/ DCE=/ EBF,•△DEF^A CEBAB 于点E, CD=CE 连接BF.• FD=FB•△DE3A FEB, •/ FDB=/ FBD,(2) 解：•••沿CD 折叠△ CAD 得到△ CFD,••• CA=CF / CAD=Z CFD,•••/ CAD=Z CBE•••/ DEF=Z CEB又•••/ CED=/ BEF•••/ CFD=/ CBE, • △ DEF ^A CEB • △ CED^A BEF,•/ CD=CE• BE=BF , △ EBF 为等腰三角形，•/ CF=CBBCF 为等腰三角形， 则/ BCF=Z EBF,• / DCE=/ BCF, CEBCD 和/ BCD 的平分线,由角平分线定理，可得 CB _ EB CE+EF CD^ED ? CE =ED ?•/ EF=4EC•「_5・・ =5 ,ED•/ AB=AD+ED+EB=22,• 5ED+ED+5ED=22 ,解得ED=2,• •匸■ W TT•- 4CW=5ED 2 , EC=",由余弦定理，可得 ED 2=C D 2+C E ?- 2CD X CEcos / DCE cos / DCE=；.5如图2,过点M 作AE 的平行线分别交 FD EF 于点G 、H ,• M 为AF 边的中点，•••点G 、H 是FD EF 的中点，•/ EF=4EC• EH=2EC• MD=2CD , MH=3ED , •/ GH=- ED, 2• / DCE=/ EBF郢2•/△MNG s^ END,，讥=,MN= ME,ED EN EN 2 7在厶MCE中，由余弦定理，可得ME2=MC2+EC? - 2MC X EC X cos/ DCEME2=10EC - 3.6EC=6.4E(C ,• ME=4 二MN」2 .如图，Rt A ABC中，M为斜边AB上一点，且MB=MC=AC=8cm,平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移，运动到经过点MB、MC、AC于点D、E、P,以DE为边向下作等边厶DEF,设厶DEF与厶MBC重叠部分的面积为S( cm2),直线I的运动时间为t (秒).(1) 求边BC的长度；(2) 求S与t的函数关系式；(3) 在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.(4) 在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.【考点】几何变换综合题.菁优网版权所有【解答】解：(1)设/ B=a,•/ MB=MC,M时停止•直线I分别交线段A•/ MC=MA,•••/ A=Z AMC=a ,•••/ B+Z A=90 ,•- a+2 a =90；•a =30°•Z B=30°；■/ cotB= I -；AC•BC=AC X cotB=8 ；厂;;(2)由题意，若点F恰好落在BC上,• MF=4 ( 4 - t) =4；--1=3.当0v t w3时，如图，• BD=2t；DM=8 - 2t ；•/ l // BC,•時」，•L1 :J-•: :,•DE= : (8 - 2t).•点D到EF的距离为FJ= DE=3 (4 - t),2•/ l // BC,•：V i；l】• ---DE"FJ•/ FN=FJ- JN=3 (4 - t)- t=12 - 4t,• "= 一( 3-t)S=S弟形DHG (HG+DE)X FN=-当3 v t w 4时，重叠部分就是厶DEF,S=S年匚詔=3二t2- 24和48 =.即：S= 3 2 砺t+4 结血(3<t<4)(3) 当 O v t w 3 时，/ FC 禺 90°••• Fd CP,•••△ PCF 不可能为等腰三角形当3 v t w 4时，若△ PCF 为等腰三角形，•只能FC=FP•-=3( 4 - t ), 2• t (7)•••存在这样的时刻t=— 时，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形为等腰三角形,7 (4 )若相切，理由：•••/ B=30° ,• BD=2t , DM=8 - 2t ,•/ l // BC,…時」，•li :: ■'•-，• DE=二(8 - 2t ).• 2t=3 (4 - t ),解得t=—. 5•••存在这样的时刻t=l —时，使得以点D 为圆心、BD 为半径的圆与直线 EF 相切.^t Z +8V3t(O<t<3) DE=3 (4 - t )3.在Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=BC=2点P 为BC 边上的一个动点 (不与B 、C 重合).点 第7页(共25页)• AP=AM=AN ,Z 1 = / 2,7 3=/4,•••/ CAB=/ 2+/ 3=45°,MAN=90(1) 当点P 为线段BC 的中点时，求/ M 的正切值；(2) 当点P 在线段BC 上运动时(不与 B 、C 重合)，连接AM 、AN ，求证:① 厶AMN 为等腰直角三角形；② 厶 AEF ^A BAM .【考点】相似形综合题.菁优网版权所有【解答】(1 )解：连接NB ,如图1 ,•••在 Rt A ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC•••△ ACB 为等腰直角三角形，•••/ A=Z CBA=45 ,•••点P 关于直线AB 的对称点为N ,关于直线AC 的对称点为M ,• AB 垂直 PN, BN=BP,•••/ NBA=Z PBA=45 ,•••/ PBN=90 ,•••点P 为BC 的中点，BC=2,• MC=CP=PB=NB=1• tan / M= m =X 1厂二(2)证明：①连接AP,如图2,•••点P 关于直线AC AB 的对称点分别为M 、N , P 关于直线AC 、AB 的对称点分别为 M 、N ，连接MN 交AC 于点E,交AB 于点F .•••△AMN为等腰直角三角形；②•••△ AMN为等腰直角三角形，•••/ 5=/ 6=45°,•••/ AEF=/ 5+/ 仁45° + / 1 ,•// EAF=45•/ BAM=/ EAF+/ 仁45° + / 1,•/ AEF=/ BAM,又•••/ B=/ EAF=45•△AEF^A BAM.d4. 已知：在梯形ABCD中，AD// BC, AC=BC=10cos/ ACB=：,点E在对角线AC上，且CE=AD,5BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G,设AD=x,A AEF的面积为y.(1 )求证：/ DCA=/ EBC;(2) 如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 如果△ DFG是直角三角形，求△ AEF的面积.【考点】相似形综合题.菁优网版权所有【解答】(1)证明：T AD / BC，•/ DAC=/ ECB 在厶DCA和厶ECB中，r AD=CE，ZDAC^ZECB ,M 二BC•△DCA^A ECB( SAS，• / DCA=/ EBC(2)T AD// BC,•••△ AEF^A CEB,• .'： T !\ : 即I J…茁—:T.，: ,，解得：AF=』'',X作EH丄AF于H ,如图1所示,• EH=；AE=；(10 -x),5 51 3--y=S^ AEF= x —25(10- x)10(10-x) =3(10P)2•- 0v x w 5訂.:-5 ,• y关于x的函数解析式为: y_ " ' ||：, ' 11y=(0v x< 5 , I - 5); （3）分两种情况考虑:①当/ FDG_90时，如图2所示:A在Rt A ADC 中，AD_AC X—_8 ,即x_8 ,5• S L :…AAEF_y_ —②当/ DGF_90时，过E作EM丄BC于点M,如图3所示,由（1）得：CE_AF_x3 4在Rt A EMC 中，EM_ x , MC_ x ,5 5•BM_BC- MC_10-二x,5•••/ GCE_/ GBC, / EGC_/ CGB,•△CGE^A BGC,.CE_CG 即工_CG•g_ j ' : _ ，•••点G在线段CD上,• AF> AD ,即 _ > x,(1) (2)(3) 求厶BCQ 的面积S 与t 的函数关系式.t 为何值时，QP// AC ?t 为何值时，直线 QR 经过点P ?当点P 在AB 上运动时，以PQ 为边在AB 上方所作的正方形 PQMN 在 Rt A ABC 内部,求此时t 的取值范围.【考点】相似形综合题.菁优网版权所有【解答】解：（1 ）过C 作CD 丄AB 于D 点，如图所示:•/ AB=10, AQ=2+2t ,• QB=AB- AQ=10-( 2+2t ) =8 - 2t ,在 Rt A ABC 中，AB=10, AC=8,根据勾股定理得：BC=6,•••/ EBM=Z CBG, / BME=Z BGC=90 ,•••△ BMEs^ BGC,-■<?1!=匸''丽硕io4/53• 1 =，即 x=5, 10碍 5此时 y= ；「’=15,综上，此时△ AEF 的面积为「或15.5. 在 Rt A ABC 中，/ C=90° AB=10, AC=8,点 Q 在 AB 上，且 AQ=2,过 Q 做 QR 丄 AB,垂 足为Q , QR 交折线AC- CB 于R （如图1）,当点Q 以每秒2个单位向终点B 移动时，点P 同时从A 出发，以每秒6个单位的速度沿 AB - BC- CA 移动，设移动时间为t 秒（如图2）.•••丄AC?BC= AB?CD,即卩-X 6X X 10X CD,2 2 2 2••• CD二,5则S^BCQ F QB?CD= (8- 2t) =- 〔t+ ( 0 < t w 4);2 5 5 5(2)当PQ// AC 时，可得/ BPQ=Z C,Z BQP=Z A,• △ BPQ^A BCA, 又BQ=8- 2t, BP=6t- 10,•讥=[F 即-'■ J" -一…, i _ -,整理得：6 (8 - 2t) =10 (6t - 10),解得：t=',18则t= 1时，QP/ AC;18(3)①当Q、P 均在AB 上时，AP=6t , AQ=2+2t ,可得：AP=AQ,即6t=2+2t,解得：t=0.5s ；②当P在BC上时，P与R重合，如图所示：•••/ PQB=Z ACB=90 , / B=Z B ,•△BP2A BAC,•—,又BP=6t- 10 , AB=10 , BQ=8- 2t ,BC=6 AB BC'1= ：,即6 (6t - 10) =10 (8 - 2t),10 6解得：t=2.5s;③当P在AC上不存在QR经过点P ,综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P;(4) 当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图所示:•/ AP=6t , AQ=2+2t ,•PQ=AQ- AP=2+2t - 6t=2 - 4t ,•••四边形PQMN是正方形，•PN=PQ=2- 4t,•••/ APN=Z ACB=90 , / A=Z A ,第10页(共25页)。
模型 一文搞定初中数学8大动点问题
专题1 动点在等腰三角形中的分类讨论（基础篇）【专题说明】点的存在性问题，在中考压轴题中非常普遍。
比如因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形。
这些动点产生的几何图形问题可谓十分的普遍，难度系数究竟怎么样？又有什么规律可遵循？下面，从动点产生的等腰三角形出发，分析探究这一点的存在性问题。
既然是探究因动点产生的等腰三角形，那么等腰三角形的基础知识必须总结归纳，牢记于心。
等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一。
等腰三角形的判定：等角对等边。
而等腰三角形还有一点要特别注意：不确定性！①边的不确定性；①角的不确定性。
当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。
如果边不确定，那么一定要分类讨论！当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。
如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！因此，分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法！【精典例题】 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以①中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？【解析】：（1）①①1t =秒，①313BP CQ ==⨯=厘米，①10AB =厘米，点D 为AB 的中点，①5BD =厘米．又①8PC BC BP BC =-=，厘米，①835PC =-=厘米，①PC BD =．又①AB AC =，①B C ∠=∠，①BPD CQP △≌△．①①P Q v v ≠， ①BP CQ ≠，又①BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，①点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，①515443Q CQ v t ===厘米/秒． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒． ①点P 共运动了803803⨯=厘米． ①8022824=⨯+，①点P 、点Q 在AB 边上相遇，①经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．AQC D B P2、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【解析】：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则2AD =，当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，即32AM =时， 四边形MNQP 是矩形，32t ∴=秒时，四边形MNQP 是矩形． 3tan 6032PM AM =°=，332MNQP S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·332t =+ 2°当12t ≤≤时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·332= 3°当23t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·7332t =-+ 【点评】此题关键也是对P 、Q 两点的不同位置进行分类。
2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析
2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】 如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：22．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）A.B.C. D.3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（ ）A. B. C. D.4．下列计算的结果是a 6的为（ ） A ．a 12÷a 2B ．a 7﹣aC ．a 2•a 4D ．（﹣a 2）35．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（ ）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<7．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°9．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A→C→B 运动，点Q 从点A 出发以vcm/s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sinB ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（ ） A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．612．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M ，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M 是______．14．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______.15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC=4AM ，设BD=m ，那么∠ACD 的正切值是______（用含m 的代数式表示）16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在3x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17 ______.18．如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．三、解答题19．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.22．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4(1)求这个二次函数表达式．(2)此函数图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标及△ABC的面积．(3)该函数值y能否取到﹣6？为什么？23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2； ①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．25．解不等式组1531x x x +≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________； (Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．153 14．1215．316． 17．18．20 三、解答题19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【解析】 【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出OA OCCD CB=，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：-k0 33mk m+=⎧⎨+=⎩，解得：3k434m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34． 联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（97，127）． （3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0）， ∴CD，BC，BD∴CD 2+BC 2＝BD 2， ∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3， ∴OA OC CD CB ==． 又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°， ∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ． 如图2，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ． ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC ． 又∵△AOC ∽△DCB ， ∴△ACQ ∽DCB ，∴AC AQDC DB =AQ=， ∴AQ ＝10，∴点Q 的坐标为（9，0）．综上所述：当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P 的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q 的坐标．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是2． 【解析】 【分析】（1）根据AC 为⊙O 直径，得到∠ADC ＝∠CBA ＝90°，通过全等三角形得到CD ＝AB ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到NB ＝12MF ＝NF ，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB 是⊙O 的切线；（3）根据垂径定理得到DE ＝GE ＝6，根据四边形ABCD 是矩形，得到∠BAD ＝90°，根据余角的性质得到∠FAE ＝∠ADE ，推出△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质列比例式得到AE ＝，连接OD ，设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ADC ＝∠CBA ＝90°，在Rt △ADC 与Rt △CBA 中，AC ACAD BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CBA ， ∴CD ＝AB ， ∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠CBA ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形； （2）连接OB ，∵∠MBF ＝∠ABC ＝90°， ∴NB ＝12MF ＝NF ， ∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣）2+62＝r2，∴r，∴⊙O的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．21．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；【解析】【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，第10天时销售利润最大.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x 的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．(1)y ＝x 2+4x ﹣1；(3)函数值y 不能取到﹣6；理由见解析. 【解析】 【分析】(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c ，求得a 、c 的值即可求得；(2)令y ＝0，解方程求得A 、B 点的坐标，令x ＝0，求得y ＝﹣1，得到C 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△ABC 的面积；(3)把(1)中求得的解析式化成顶点式，求得函数y 的最小值为﹣5，故函数值y 不能取到﹣6． 【详解】解：(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c 得48544a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数表达式为y ＝x 2+4x ﹣1； (2)令y ＝0，则x 2+4x ﹣1＝0，解得x∴A(﹣20)，B(﹣0)， 令x ＝0，则y ＝﹣1， ∴C(0，﹣1)，∴△ABC 的面积：12AB•OC＝12(﹣ (3)∵y ＝x 2+4x ﹣1＝(x+2)2﹣5， ∴函数y 的最小值为﹣5， ∴函数值y 不能取到﹣6． 【点睛】本题考查了抛物线和x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】 【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．． 【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ）， 在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ）， 答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ， 得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①BD ；②AC =【解析】 【分析】（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；②由AC=AE+CE 可求解． 【详解】证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）； （2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；∴BE ＝CE ，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD∴AB ＝2BE ＝，AE ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°∴60BD 1803π︒︒⨯⨯==②∵AC ＝AE+CE∴AC +【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4， 故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1，解得：x>12， 故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x<≤，故原不等式的解集为：142x<≤，故答案为：14 2x<≤【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（ ）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元 2．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 3．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ）A.2B.3C.5D.12 4．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①5．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．58o7．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×10118．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线且交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，若AB ＝8cm ，则△DBE 的周长（ ）A ．B ．cmC ．8cmD ．cm9．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④ 10．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A. B. C. D.11．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则Rt ABC ∆的中线CD 的长为（ ）A.5B.6C.8D.1012．如果方程x 2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为（ ） A.34 B.35 C.45 D.34或35二、填空题13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。
中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]
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因动点产生的相似三角形问题例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3B Q B A =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13B Q B A=时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110∠=．①当3B Q B A=时，310B Q =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13B Q B A=时，1103B Q =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2（2011年上海市杨浦区中考模拟第24题）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x =≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F（0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当E A EF A O F P =时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当E A F P A OE F=时，2525F P =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图5例3（2010年义乌市中考第24题）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4G A F ∠=，tan 5DQ t PQD QPt∠==-，所以345t t=-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4（2010年上海市宝山区中考模拟第24题）如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45． 如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B MB A=，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''A B B C A C B D =时，55'35B D=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''A B B D A CB C=时，5'355B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△ABB ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5（2009年临沂市中考第26题）如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAO PMAM ，那么214)4)(1(21=----xx x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xx x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m mn ，所以m m S 42+-=．例6（2009年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310A HA B=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以A B A CD BE C=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以D E A EB C A C=，M N A NB C A C=，即|3|53D E x-=，1|3|253xM N-=．因此5|3|3xD E-=，圆心距5|6|6xM N-=．图2 图3 图4在⊙M中，115226Mr B D y x===，在⊙N中，1122Nr C E x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xD E-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xD E-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xD E-==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534B F =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例7（2008年杭州市中考第24题）如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB tb ，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA ttb ==．即22b t t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2O A A B O O B∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．。
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)
中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。
等腰三角形、角平分线、平行线知二推一(2013年广州中考压轴题)
△OEC内部有三个等腰三角形。
马上CA和CE割线定理：CD*CE=CB*CA
ED x 5 1, AE 5 1
所以AE*ED=4
广州数学江志兴
（2）当OC＞时，CD所在直线于圆O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
E
E
2
D
D
2
2
A 2 O 2B C
A 2 O 2B C
方法二：连OE,OD得到径弦三角形，从 OE=OD=ED=DC，多等长想圆，马上知道 △EOC为直角三角形。从EO=2，EC=4， 知道∠C=30°，从而计算出AE,AC
AEC周长 2
22 36
广州数学江志兴
（2）当OC＞2 2 时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．
①当D为CE中点时，求△ACE的周长；
②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex D
（2）②本题第一个知识链接：过等腰三角形 一腰上一点，作腰或底的平行线，都得到一 个新年等腰三角形。
时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．
Ex
a
D
Aa
a
axa
2
a
2 O 2 BC
（2）②本题第二个知识链接：等腰三角形 平行线，角平分线，三者知二推一 现在△AEC为等腰，OD平行AE，所以连接
，得OD为∠EOB的平分线！ 圆中有角平分线，就等于有弧中点，所以连 BD，必然有DB=ED=x,然后∠BDC四边形 AEDB的外角等于内对角∠A，所以这个
2013年广州中考压轴题
技巧知识点全剖析
已知AB是圆O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在圆O上运动（不 与点B重合），连接CD，且CD＝OA
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案中考数学压轴题专题动点产生的定值与最值问题中考数学压轴题——动点产生的定值与最值问题目录第1 讲角为定值的常规解法第2 讲角为定值的高级解法第3 讲边为定值的动点问题第4 讲线段的和或差为定值的动点问题第5 讲比值为定值的动点问题第6 讲乘积为定值的动点问题第7 讲面积为定值的动点问题第8 讲动点产生的几何最值问题【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理第 1 讲 角为定值的常规解法（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点 O,∠MON=90°，点 A 、B 分别在射线 OM 、 ON 上移动，AC 是△BAO 的角平分线，BD 为∠ABN 的角平分线，AC 与 BD 的反向延长线交于 点 P.试问：随着点 A 、B 位置的变化，∠APB 的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O 的直径 AB=4,点 P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 O 的切线,切点为 C ， 连接 AC.(1)若∠CPA=30°，求 PC 的长；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M ，你认为∠CMP 的大小是否发 生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练【含答案】
2021 年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练1.现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板A′B′C′的一个锐角顶点B'放在另一块三角板ABC 斜边AB 的中点处，并使三角板A′B′C′绕着点B′旋转．（1）当两块三角板相对位置如图①，即AC 与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，求证：△AB′D∽△BEB′：（2）当两块三角板相对位置如图②，即AC 边的延长线与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，△AB′D 与△BEB′还相似吗？（直接给出结论．不需证明）（3）在图②中，连结DE，试探究△AB′D 与△B′ED 是否相似，并说明理由或给出证明．（4）在图①中，若△ABC 改为角C 等于150°的等腰三角形，那么△A′B′C′只要满足∠A′B′C′＝°时，仍有△AB′D∽△BEB′．2.已知Rt△ABC 中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P 在AB 上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC 于E．F 两点（1）如图1，当＝且PE⊥AC 时，求证：＝；（2）如图2，当＝1 时（1）的结论是否仍然成立？为什么？（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF 绕点P 旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF 的周长等于2+ 时，请直接写出α的度数．3.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，动点P 从A 点出发，沿AC 向点C移动，速度为每秒2 个单位长度，同时，动点Q 从C 点出发，沿CB 向点B 移动，速度为每秒1 个单位长度，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）当t＝2.5 秒时，求△CPQ 的面积；（2）求△CPQ 的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P、Q 移动的过程中，当t 为何值时，△CPQ 是等腰三角形？4.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P 从点A 出发沿AB方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC 的长；（2）当点Q 在BC 上运动时，若△PBQ 与△ABC 相似，求时间t 的值；（3）当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，△PBQ 与△ABC 是否相似，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8），sin∠CAB＝，E 是线段AB 上的一个动点（与点A、点B 不重合），过点E 作EF∥AC 交BC 于点F，连接CE．（1）求AC 和OA 的长；（2）设AE 的长为m，△CEF 的面积为S，求S 与m 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下试说明S 是否存在最大值？若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6.如图1，等腰△ABC 中，AC＝BC，DE∥AB，AD＝DE＝EB＝5，AB＝11．一个动点P从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线AD﹣DE﹣EC 方向运动，当点P 到达点C 时，运动结束，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，以PQ 为斜边向右作等腰直角三角形PMQ，设点P 的运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t＝时，点M 落在线段BD 上；当t＝时，点P 到达点C；（2）在整个运动过程中，设△PMQ 与△ABD 重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）如图2，当点P 在线段DE 上运动时，线段PQ 与对角线BD 交于点F，作点P 关于BD 的对称点G，连接FG、GQ，得到△FGQ．是否存在这样的t，使△FGQ 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．7.如图，已知在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边AB＝2，若将△ABC 翻折，折痕EF分别交边AC、边BC 于点E 和点F（点E 不与A 点重合，点F 不与B 点重合），且点C 落在AB 边上，记作点D．过点D 作DK⊥AB，交射线AC 于点K，设AD＝x，y＝cot∠CFE，（1）求证：△DEK∽△DFB；（2）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结CD，当＝时，求x 的值．8.等边△ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B、C 不重合），连接AP，以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边AB、AC 交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM＝AN；（2）设BP＝x．①若BM＝，求x 的值；②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③如图2，当x 取何值时，∠BAD＝15°？9.已知：如图①，△ABC 中，AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E，联结CI．（1）设∠BAC＝2α．如果用α表示∠BIC 和∠E，那么∠BIC＝，∠E＝；（2）如果AB＝1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F，如果∠α＝30°，sin∠F＝，设BC＝m，试用m 的代数式表示BE．10.如图，已知△ABC 是等边三角形，AB＝4，D 是AC 边上一动点（不与A、C 点重合），EF 垂直平分BD，分别交AB、BC 于点E、F，设CD＝x，AE＝y．（1）求证：△AED∽△CDF；（2）求y 关于x 的函数解析式．并写出定义域；（3）过点D 作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1 时，求线段CD 的长．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ 时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．12.已知△ABC 中，∠ABC＝90°，点M 为BC 上一点，点E、N 在AC 上，且EB＝EM，NM＝NC，（1）求证：∠EMN＝∠BEC；（2）探究：AE、EN、CN 之间的数量关系，并给出证明；（3）如图2，过点B 作BH∥EM 交NM 的延长线于H，当＝n 时，求的值．13．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．直接写出线段AF 与BD 之间的数量关系．（2）类比猜想：如图②，当△ABC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为斜边在BC 上方作等腰直角△FDC，连接AF．请直接写出它们的数量关系．（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为底边在BC 上方作等腰△FDC，∠BC A＝∠DCF，且∠BAC＝α，连接AF．线段AF 与BD 之间的有什么数量关系？证明你发现的结论；Ⅱ．如图④，当△ABC 为任意三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点 B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作△FDC∽△ABC，且＝k，连接AF．线段AF 与BD 之间的有什么数量关系？直接写出你发现的结论．14.已知矩形ABCD 的一条边AD＝8cm，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，已知折痕与边BC 交于点O，连结AP、OP、OA．（1）如图1，若点P 恰好是CD 边的中点，①判断△ADP 与△APO 是否相似，并说明理由；②求边AB 的长；（2）如图2，若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，动点G 从点D 出发以每秒1cm 的速度沿DP 向终点P 运动，同时动点H 从点P 出发以每秒2cm 的速度沿PA 向终点A 运动，运动的时间为t（0＜t＜5），①求边AB 的长；②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH 的面积S 有最小值？若存在，求出S 的最小值；若不存在，请说明理由．15.在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 是AC 边上的中线．（1）如图1，点D 在BC 边上，＝，AD 与BE 相交于点P，则的值为；（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，BE 的延长线与AD 交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3．①求的值；②若CD＝2，则BP＝．16.如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，正方形的边长为4，EF⊥DE 交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）AE＝x，BF＝y．当x 取什么值时，y 有最大值？并求出这个最大值；（3）已知D、C、F、E 四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF＝，求此圆直径．答案1．证明：（1）由等腰直角三角形的性质可知：∠A＝∠B＝∠A′B′C′＝45°，∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣45°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣45°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．（2）相似．如图：理由：由等腰直角三角形的性质可知：∠A＝∠B＝∠A′B′C′＝45°，∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣45°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣45°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．（3）由（2）可知∴△AB′D∽△BEB′，∴，又∵BB′＝AB′，∴，又∵∠A＝∠A′B′C′＝45°．∴△AB′D∽△B′ED．（4）当∠A′B′C′＝15°时，△AB′D∽△BEB′．理由：∵∠C＝150°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝15°．∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣15°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣15°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．2．解：（1）如图1，∵PE⊥AC，∴∠AEP＝∠PEC＝90°．又∵∠EPF＝∠ACB＝90°，∴四边形PECF 为矩形，∴∠PFC＝90°，∴∠PFB＝90°，∴∠AEP＝∠PFB．∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠FPB＝∠B＝45°，△AEP∽△PFB，∴PF＝BF，＝，∴＝＝；（2）（1）的结论不成立，理由如下：连接PC，如图2．∵＝1，∴点P 是AB 的中点．又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴CP＝AP＝AB．∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°，CP⊥AB，∴∠APE+∠CPE＝90°．∵∠CPF+∠CPE＝90°，∴∠APE＝∠CPF．在△APE 和△CPF 中，，∴△APE≌△CPF，∴AE＝CF，PE＝PF．故（1）中的结论＝不成立；（3）当△CEF 的周长等于2+ 时，α的度数为75°或15°．提示：在（2）的条件下，可得AE＝CF（已证），∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝2．∵EC+CF+EF＝2+ ，∴EF＝．设CF＝x，则有CE＝2﹣x，在Rt△CEF 中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2＝（）2，整理得：3x2﹣6x+2＝0，解得：x1＝，x2＝．①若CF＝，如图3，过点P 作PH⊥BC 于H，易得PH＝HB＝CH＝1，FH＝1﹣＝，在Rt△PHF 中，tan∠FPH＝＝，∴∠FPH＝30°，∴α＝∠FPB＝30+45°＝75°；②若CF＝，如图4，过点P 作PG⊥AC 于G，同理可得：∠APE＝75°，∴α＝∠FPB＝180°﹣∠APE﹣∠EPF＝15°．3.解：（1）如图1，过点P，作PD⊥BC 于D．在Rt△ABC 中，AB＝6 米，BC＝8 米，由勾股定理得：AC＝10 米由题意得：AP＝2t，则CQ＝t，则PC＝10﹣2t∵t＝2.5 秒时，AP＝2×2.5＝5 米，QC＝2.5 米∴PD＝AB＝3 米．∴S＝QC•PD＝3.75 平方米；（2）如图1 过点Q，作QE⊥PC 于点E，∵∠C＝∠C，∠QEC＝∠ABC，∴Rt△QEC∽Rt△ABC．∴．解得：QE＝，∴S＝PC•QE＝（10﹣2t）•＝﹣t2+3t（0＜t＜5）（3）①当PC＝QC 时，PC＝10﹣2t，QC＝t，即10﹣2t＝t，解得t＝秒；②当PQ＝CQ 时，如图1，过点Q 作QE⊥AC，则CE＝＝5﹣t，CQ＝t，由（2）可知△CEQ∽△CBA，故，即，解得t＝秒；③当PC＝PQ 时，如图2，过点P 作PE⊥BC．∵PQ＝PC，PE⊥QC，∴EC＝．∴CE＝．∵PE⊥QC，∴∠PEC＝90°．∴∠PEC＝∠ABC．∵∠C＝∠C，∠PEC＝∠ABC，∴△PCE∽△ACB．∴，即＝，解得t＝秒．4.解：（1）设AC＝4x，BC＝3x，在Rt△ABC 中，AC2+BC2＝AB2，即：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6cm；（2）若△PBQ 与△ABC 相似，由已知条件得：AP＝t，BQ＝2t，∴PB＝10﹣t，①如图1，∠PQB＝∠C＝90°，∴，即，解得：t＝；②如图2，∠QPB＝∠C＝90°，∴，即，解得：t＝＞3．综上所述：当t＝时，△PBQ 与△ABC 相似；（3）如图3，当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似．理由如下：∵AP＝x，∴AQ＝14﹣2x，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴＝，即：，解得：x＝，PQ＝，∴PB＝10﹣x＝，∴＝＝≠，∴当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似．5．解：（1）∵点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8），∴OB＝2，OC＝8，在Rt△AOC 中，sin∠CAB＝＝，∴．∴AC＝10，∴．（2）依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴＝．即＝，∴EF＝，过点F 作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，∴＝，∴FG＝×＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝＝﹣m2+4m，自变量m 的取值范围是0＜m＜8．（3）S 存在最大值．∵S＝﹣m2+4m＝，且﹣＜0，∴当m＝4 时，S 有最大值，S 最大值＝8，∵m＝4，∴点E 的坐标为（﹣2，0），∴△BCE 为等腰三角形．6．解：（1）如图1 中，作DT⊥AB 于T，EN⊥AB 于N，CH⊥AB 于H，MK⊥PQ 于K，则四边形DENT 是矩形，由△DTA≌△ENB，可得DE＝NT＝PQ＝5，AT＝BN＝3，∵AD＝EB＝5，∴DT＝EN＝4，当点M 在BD 上时，∵PK＝KQ，KM∥AB，∴DM＝MB，易知KM＝PK＝KQ＝2，DP＝2，∴t＝7 秒时，点M 在BD 上，∵EN∥CH，∴△ENB∽△CHB，∴＝，∴＝，∴BC＝，EC＝，∴点P 到达点C 时间为：5+5+ ＝秒．故答案为7 秒，秒．（2）①如图2 中，作DT⊥AB 于T，当0＜t≤5 时，重叠部分是△PQM，∵sin A＝＝，∴PQ＝t，∴S＝S△PQM＝•t•t＝t2．②如图3 中，当5＜t≤7 时，重叠部分是四边形QMHK．取BD 的中点M′，作M′P′∥PM 交DE 于P′∵KQ∥DT，∴＝，∴＝，∴KQ＝，PK＝4﹣＝，∵P′M′∥PH，∴＝，∴＝，∴DH＝（t﹣5），∵DK＝，∴HK＝DH﹣DK＝（t﹣5），∴S＝S△PMQ﹣S△PKH＝4﹣××＝﹣t2+t+．③如图4 中，当7＜t≤10 时，重叠部分是△QHK．GK，M′G′分别是△QHK、△Q′H′M′的高．由△QHK∽△Q′H′M′，得到，＝，∴＝，∴GK＝，∴S＝××＝t2﹣t+．④如图5 中，10＜t≤时，重叠部分是△QKH．由△QHK∽△Q′H′M′，得＝，可得GK＝{5﹣，∴S＝•HQ•GK＝•{5﹣2＝﹣t+ ．综上所述，S＝．（3）存在．①如图6 中，当FG＝FQ 时，∵PF＝FG＝FQ＝2，∴DP＝4，∴t＝5+4＝9．②如图7 中，当GF＝GQ 时，作GK⊥PQ，DN⊥AB 于N．由△DAN∽△GFK，得＝，∴＝，∴FK＝（t﹣5），∵GF＝GQ，GK⊥FQ，∴FQ＝2FK＝，∵PF+FQ＝4，∴（t﹣5）+ （t﹣5）＝4，∴t＝．③如图8 中，当QF＝QG 时，作QK⊥GF 于K．DN⊥AB 于N．由△ADN∽△FQK，得到＝，∴＝，∴FQ＝（t﹣5），∵PF+FQ＝4，∴（t﹣5）+ （t﹣5）＝4，∴t＝，综上所述，当△FGQ 是等腰三角形时，t 的值为9s 或s 或s．7．（1）证明：如图1，由折叠可得：∠EDF＝∠C＝90°，∠DFE＝∠CFE．∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DK⊥AB，∴∠ADK＝∠BDK＝90°，∴∠AKD＝45°，∠EDF＝∠KDB＝90°，∴∠EKD＝∠FBD，∠EDK＝∠FDB，∴△DEK∽△DFB；（2）解：∵∠A＝∠AKD＝45°，∴DK＝DA＝x．∵AB＝2，∴DB＝2﹣x．∵△DFB∽△DEK，∴＝，∴y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝＝．当点F 在点B 处时，DB＝BC＝AB•sin A＝2×＝，AD＝AB﹣BD＝2﹣；当点E 在点A 处时，AD＝AC＝AB•cos A＝2×＝；∴该函数的解析式为y＝，定义域为2﹣＜x＜；（3）取线段EF 的中点O，连接OC、OD，∵∠ECF＝∠EDF＝90°，∴OC＝OD＝EF．设EF 与CD 交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH＝DH＝CD．∵＝，∴sin∠HOC＝＝，∴∠HOC＝60°①若点K 在线段AC 上，如图2，∵CO＝EF＝OF，∴∠OCF＝∠OFC＝∠HOC＝30°，∴y＝cot30°＝，∴＝，解得：x＝﹣1；②若点K 在线段AC 的延长线上，如图3，∵OC＝OF，∠FOC＝60°，∴△OFC 是等边三角形，∴∠OFC＝60°，∴y＝cot60°＝，∴＝，解得：x＝3﹣；综上所述：x 的值为﹣1 或3﹣．8．（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝∠BAC＝60°，∠ADM＝∠APN＝60°，∴∠DAM＝∠PAN．在△ADM 和△APN 中，，∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM＝AN．（2）解：①∵△ABC、△ADP 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠DAP＝∠BAC＝60°，∴∠DAM＝∠PAC，∵∠ADM＝∠B，∠DMA＝∠BMP，∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA＝180°﹣∠B﹣∠BMP，∴∠DAM＝∠BPM ，∴∠BPM＝∠NAP，∴△BPM∽△CAP，∴，∵BM＝，AC＝2，CP＝2﹣x，∴4x2﹣8x+3＝0，解得x1＝，x2＝．②∵四边形AMPN 的面积即为四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积，△ADM≌△APN，∴S△ADM＝S△APN，∴S 四边形AMPN＝S△APM+S△APN＝S△AMP+S△ADM＝S△ADP．过点P 作PS⊥AB，垂足为S，在Rt△BPS 中，∵∠B＝60°，BP＝x，∴PS＝BP sin60°＝x，BS＝BP cos60°＝x，∵AB＝2，∴AS＝AB﹣BS＝2﹣x，∴AP2＝AS2+PS2＝（x）2+（2﹣x）2＝x2﹣2x+4（0＜x＜2）；∴S＝PA2＝x2﹣x+（0＜x＜2）．③连接PG，设DE 交AP 于点O．若∠BAD＝15°，∵∠DAP＝60°．∴∠PAG＝45°．∵△APD 和△APE 都是等边三角形．∴AD＝DP＝AP＝PE＝EA．∴四边形ADPE 是菱形．∴DO 垂直平分AP．∴AG＝GP．∴∠APG＝∠PAG＝45°．∴∠PAG＝90°．设BG＝t，在Rt△BPG 中，∠B＝60°．∴BP＝2t，PG＝t．∴AG＝PG＝t．∴t+t＝2．解得t＝﹣1．∴BP＝2t＝2 ﹣2．故，当x＝2﹣2 时，∠BAD＝15°．9．解：（1）在△BCE 中有：∠E＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE，又∵AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．∴CI 是∠ACB 的平分线，∵CE 是∠ACD 的平分线，∴∠ECI 是平角∠BCD 的一半，∴∠ECI＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BCI﹣∠CBI，在△ABC 中，∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝90°﹣∠BCI﹣∠CBE＝α，即∠E＝α．在三角形BIC 中，由外角性质得到：∠BIC＝90°+α，综上所述，∠BIC＝90°+α，∠E＝α．故填：90°+α，α；（2）由题意易证得△ICE 是直角三角形，且∠E＝α．当△ABC∽△ICE 时，可得△ABC 是直角三角形，有下列三种情况：①当∠ABC＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴只能∠E＝∠BCA，可得∠BAC＝2∠BCA．∴∠BAC＝60°，∠BCA＝30°．∴AC＝2 AB．∵AB＝1，∴AC＝2．②当∠BCA＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴只能∠E＝∠ABC，可得∠BAC＝2∠ABC．∴∠BAC＝60°，∠ABC＝30°．∴AB＝2 AC．∵AB＝1，∴AC＝．③当∠BAC＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴∠E＝∠BAI＝∠CAI＝45°．∴△ABC 是等腰直角三角形．即AC＝AB．∵AB＝1，∴AC＝1．∴综上所述，当△ABC∽△ICE 时，线段AC 的长为1 或2 或．（3）∵∠E＝∠CAI，由三角形内角和可得∠AIE＝∠ACE．∴∠AIB＝∠ACF．又∵∠BAI＝∠CAI，∴∠ABI＝∠F．又∵BI 平分∠ABC，∴∠ABI＝∠F＝∠EBC．又∵∠E 是公共角，∴△EBC∽△EFI．在Rt△ICF 中，sin∠F＝，设IC＝3k，那么CF＝4k，IF＝5k．在Rt△ICE 中，∠E＝30°，设IC＝3k，那么CE＝3k，IE ＝6k．∵△EBC∽△EFI．∴＝＝．又∵BC＝m，∴BE＝m．10．解：（1）证明：如图1，∵EF 垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD．在△BEF 和△DEF 中，，∴△BEF≌△DEF（SSS），∴∠EBF＝∠EDF．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∴∠EDF＝60°，∴∠ADE+∠FDC＝180°﹣60°＝120°．又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣60°＝120°，∴∠AED＝∠FDC，∴△AED∽△CDF；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．∵CD＝x，AE＝y，∴AD＝4﹣x，ED＝EB＝4﹣y．∵△AED∽△CDF，∴＝＝，∴＝＝，∴DF＝，CF＝．∵DF+CF＝BF+CF＝BC＝4，∴+＝4，整理得：y＝（0＜x＜4）；（3）如图2，①H 在线段AE 上时，在Rt△AHD 中，∵AH＝AE﹣EH＝y﹣1，AD＝4﹣x，∠A＝60°，∴cos A＝＝＝，∴y＝3﹣x，∴＝3﹣x，整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12，∵0＜x＜4，∴x＝2，②当H 在线段BE 上时，同理可求得x＝9﹣即CD 的长为2 或9﹣．11．解：（1）如图1，∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP+∠APD＝90°，∠BPC+∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD•BC＝AP•BP；（2）结论AD•BC＝AP•BP 仍然成立．理由：如图2，∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC，∠BPD＝∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP．∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD•BC＝AP•BP；（3）如图3，过点D 作DE⊥AB 于点E．∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3．由勾股定理可得DE＝4．∵以点D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切，∴DC＝DE＝4，∴BC＝5﹣4＝1．∴∠A＝∠B，∴∠DPC＝∠A＝∠B．由（1）、（2）的经验可知AD•BC＝AP•BP，∴5×1＝t（6﹣t），解得：t1＝1，t2＝5，∴t 的值为1 秒或5秒．12．解：（1）∵EB＝EM，NM＝NC，∴∠EBM＝∠EMB，∠NMC＝∠NCM，∴∠EMB+∠NCM+∠EMN＝180°，∵∠EBM+∠NCM+∠BEC＝180°，∴∠EMN＝∠BEC；（2）如图1，作DE⊥BC，NF⊥BC 分别交BC 于D，F，作GM⊥BC，交AC 于点G，∵EB＝EM，∠ABC＝90°，∴BD＝MD，∴DE 为梯形ABMG 的中位线，∴AE＝EG，同理可得CN＝NG，∴EG+GN＝AE+CN，即EN＝AE+CN；（3）如图2，作GM⊥BC，交AC 于点G，作NF∥EM，∴＝＝n，∵AE＝EG，CN＝NG，∴＝n，即NG＝CN＝nEG，∵NF∥EM，∴＝，即＝，∴CF＝MC，∴MF＝MC﹣MC＝MC，∵BH∥EM，NF∥EM，∴BH∥NF，∴＝，∵＝n，即BM＝CM，∴＝＝．13.解：（1）∵等边△ABC，等边△DCF，∴FC＝DC，AC＝BC，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，∴∠FCA＝∠DCB，在△FCA 和△DCB 中，，∴△FCA≌△DCB，∴BD＝AF；（2）∵（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，△DCF 是等腰直角三角形，∴＝，＝，∴＝，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝45°，∴∠FCA＝∠DCB，∴△FCA∽△DCB，∴＝；（3）Ⅰ．∵△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形，△FDC 为以DC 为底边的等腰三角形，∠BCA＝∠DCF，∴△ABC∽△FDC，∴＝，∠ACF＝∠BCD，∴△BCD∽△ACF，∴＝，如图③，作AP⊥BC，＝＝2sin∠BAC＝2sin α，∴＝2sinα；Ⅱ、∵△FDC∽△ABC，∴，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，∴∠FCA＝∠DCB，∴△FCA∽△DCB，∴＝＝k．14.解：（1）①∵点P 恰好是CD 边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝AB＝AP＝2y，在Rt△ADP 中，AD2+DP2＝AP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OPA＝∠B＝90°，∴△ADP∽△PCO，∴AD：PC＝DP：CO，∴8：y＝y：CO，则AC＝＝，∴OB＝8﹣＝，∵AB＝2y＝，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°；∴∠OAP＝∠DAP＝30°，∵∠OPA＝∠D＝90°，∴△ADP∽△APO；②由①可知AB＝，（2）∵△ADP∽△PCO，△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，∴＝，即DP＝2CO，＝．AD＝2PC，∵AD＝8，∴PC＝4，在RT△ADP 中，AP2＝AD2+DP2，∵AP＝DC＝AB，∴AB2＝64+（AB﹣4）2，解得AB＝10．②∵GP＝6﹣t，PH＝2t，设△GPH 的高为h，则有h＝•2t＝．∴S 四边形ADGH＝S△ADP﹣S△GHP＝DP•DA﹣GP•h＝×8×6﹣×（6﹣t）×t＝（t﹣3）2+，∴当t＝3 时，四边形ADGH 的面积S 有最小值为．15.解：（1）如图1，作DF∥AC 交BE 于F，∴＝＝，∴＝＝＝，故答案为：；（2）①如图2，作CH∥AD 交BP 于H，∴＝，又AE＝EC，∴CH＝AP，∵CH∥AD，∴＝＝，∴＝；②∵DC：BC：AC＝1：2：3，CD＝2，∴BC＝4，AC＝6，EC＝AC＝3，由勾股定理得，BE＝5，∵CH∥AD，AE＝EC，∴HE＝EP，设HE＝EP＝x，则BH＝5﹣x，BP＝5+x，∵CH∥AD，∴＝，即＝，解得x＝1，则BP＝5+x＝6．16．（1）证明：∵∠DEF＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∠AED+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，又∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEF；（2）解：∵△ADE∽△BEF，∴＝，又AE＝x，BF＝y，AD＝4，∴＝，解得，y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2 时，y 有最大值，最大值为1；（3）解：∵D、C、F、E 四点共圆，∴∠CEF＝∠CDF，∴sin∠CEF＝sin∠CDF＝＝，又CD＝4，∴DF＝5，∵∠DCF＝90°，∴DF 为此圆直径，∴此圆直径为5．。
中考数学压轴题专题-动点综合问题
专题15动点综合问题【考点1】动点之全等三角形问题【例1】1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【变式1-1】已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E 、F 满足BE ＝OF （如图），且AE ⊥BF 时，问点E 在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E 、F 满足BE ＝CF （如图），写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将△ABC 和△EDF 按如图②的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）．（1）当t ＝2时，S △AQF ＝3S △BQC ，则a ＝；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△BQC 全等时，求a 的值；（3）如图③，在动点P 、Q 出发的同时，△ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△EFQ 全等时，求a 与t 的值．【考点2】动点之直角三角形问题【例2】如图，在四边形纸片ABCD 中，//AB CD ，60A ∠=︒，30B ∠=︒，2CD =，4BC =，点E 是AB 边上的动点，点F 是折线A D C --上的动点，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点A '落在AB 边上，连接A C '，若A BC ' 是直角三角形，则AE 的长为________．【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ.①求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值；②是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式2-2】如图，在矩形OAHC 中，8,12OC OA ==，B 为CH 中点，连接AB .动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接,,CM CN MN ，设运动时间为t （秒）(010)t <<.则t =_____时，CMN ∆为直角三角形【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，10cm AB =，6cm BC =．若点P 是直径AB 上一动点，当PBC 是等腰三角形时，AP =__________cm ．【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.（1）当1x =时，求BP 长；（2）如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=o ，求证：CEQ ∆为等腰三角形；（3）若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B （-3，0）和点C （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；（3）点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点．（1）求m b 、的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值．【考点4】动点之相似三角形问题【例4】如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，求AP的长．【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝3 4AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【变式4-2】如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足2PAO PCO S S ∆∆=，求出P 点的坐标；（3）连接BC ，点E 是x 轴一动点，点F 是抛物线上一动点，若以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．备用图【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．（1）如图1，当点与点重合时，________°；（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为()8,0（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线1y m=，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（0t>）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，AOB∆的顶点O是坐标原点，点A坐标为()1,3，A、B两点关于直线y x=对称，反比例函数()0ky xx=>图象经过点A，点P是直线y x=上一动点.（1）B点的坐标为______；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是线段OP 上一点（O 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE QF QB ++的值最小时，求出Q 点坐标.【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A 、C 、A′三点．（1）求A 、A′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．【变式6-1】（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC =α，AB b =(0)a b >>，当点A 位于时，线段AC 的长取得最大值，最大值为（用含,a b 的式子表示）；（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，2AC =，以AB 为边作等边ABD ∆，连接CD ，求线段CD 的最大值；（3）拓展：如图3，线段3AB =，点P 为线段AB 外一动点，且2AP =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时PBM ∆的面积．【变式6-2】如图，矩形ABCD 中，3,4AD AB ==，点P 是对角线AC 上一动点（不与A C 、重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，以线段,PE PB 为邻边作矩形BPEF ，过点P 作GH CD ⊥。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。