数值分析试题解析
数值分析试题 填空题(2 0 >2') 1. 3 2 2 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2 A ,X 2 1 3
位有效数字。 2. 若 f(x)=x7 — x3 + 1 ,贝 U f[2 0,21,22,2 3,24,2 5,2 6,2 7]= _J __________________________ , 012345678 f[2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ]= _________ 0 ___________ 。
3. 设，11 A|— 5 ,H X|— 3 , II AX|| _15_ 0
4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| ' (x)| <1 ，则使用
该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a, b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到_2—阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公 式的 后插公式 ：如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 n 7. 拉格朗日插值公式中f(xj的系数ai(x)的特点是： ai(x) _J _____________________ ;所
i 0
以当系数 ai(x)满足 __________ ai(x)>1 __________________ ，计算时不会放大 f(xj
的误差。 8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取」4 ________ 位有效数字。 9. 对任意初始向量X0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bxk)+g(k=0,1,…)
收敛于方程组的精确解 x*的充分必要条件是 (B)<1 ____________________ 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 ____ 5 ________ 。 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y=f (x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|v|f(xn)| _____________________ 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差 ri (i=0,1,…，n)来实现的，其中的残 差 ri = (b i-aiixi-ai2X2- •…-ainXn)/a ii ___________________________________________________ , (i =0,1,…，n)。 13. 在非线性方程f(x)=O使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且 f(x)的二阶导数不变号，则初始点 xo的选取依据为 f(xO)f ”(x0)>0 __________________ 。 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 ____________ 、迭代计算。
二、判断题(10X1') 1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX^ b 一定可以使用高斯消元法求解。(X) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( ) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 n aH aj (i 1,2,…,n)
j 1 j i
则解线性方程组AX= b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( X)
4、 样条插值一种分段插值。 ( )
5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差 及 舍 入 误 差。 ( ) 7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计 , 直到最后一步
迭代计算的舍入误差。 （ X） 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截 断 误差 = 舍 入 误 差。 （ ） 10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 （ X ）
三、计算题（5X0'） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。 x1 x2 x3 4 5x1 4x2 3x3 12 2x1 x2 x3 11
解答： （ 1 ，5， 2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行： 5x1 4x2 3x3 12 x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 11
L21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为： 5x1 4x2 3x3 12 0.2x2 0.4x3 1.6 2.6x2 0.2x3 15.8
-0.2,2.6 ）最大元在第三行，交换第二与第三行： 5x1 4X2 3x3 12
AX^ b0 2.6x2 0.2X3 15.8 0.2X2 0.4X
3
1.6
L32=-0.2/2.6=-0.076923, 方程化为: 5X1 4X2 3X
3
12
2.6X2 0.2X
3
15.8
0.38462X
3
0.38466
回代得： X1
3.00005
X2
5.99999
X3
1.00010
2、用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式 R(x)，并写 出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 Xi
0 1 2
f(Xi) 1 -1 3
f ' (Xi) 1 5
解答：
做差商表 xi F(xi F[xi,xi+ F[xi.xi+1.xi F[xi,xi+1,xi+2,x F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,
) 1] +2] i+3] xi+4]
0 1 1 -1 -2 3
1 -1 1 3 2 3 4 3 0 2 3 5 1 -2 -1 P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)
R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2) 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯一一 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代 法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。 2x! x2 x4 1 x3 5x4 6 x2 4x3 x4 8
x^i 3x2 x3 3
解答： 交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优: 2x1 X1 x2 x4 1 3x2 x3 3 x2 4x3 x4 8 X1 X3 5x4 6
雅克比迭代公式: 2x^1 x4 1
Xi 3
X2
Xi 3x2 X3
X2 4x3 X4 8
x3 5x4 6 《计算机数学基础(2)》数值分析试题 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1.已知准确值 x*与其有t位有效数字的近似值 x = 0.0 aa2…anX10s( ai 0)的绝对误差 x* —
x ()
s + 1 —t s XI0 (D) 0.5 X10
2 1 0 0 5 2 1 0 1 2 1 0 1 4 1 0 (A) (B) 0 1 2 1 1 1 4 1
0 0 1 2 0 0 1 2
5 2 1 0 4 2 1 1
1 4 2 1 1 4 1 0 (C) (D) 2 1 4 1 2 1 4 1
0 0 1 2 1 3 1 5
s — 1 —t s — t (A) 0.5 X10 (B) 0.5 X10 (C) 0.5
2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为 ()
3. 过(0 , 1),
(2 , 4) , (3 , 1)点的分段线性插值函数
P(x)=(
(A) 3x 1 2 0 x 2 (B) 3x 10 2 x 3
(C) 3x 1 2 0 x 2 (D) 3x 10 2 x 3
4.等距二点的求导公式是()
f (Xk) (A) f (xk 1)
1 ( 、 (yk yk 1) h
1 (yk yk 1) h
3 x 2 1 0x2
3x 2 10 2x3
3 x 2
1 0x2
x 4 2 x 3
f (Xk) E(yk yk 1) h
1 (yk yk 1) h
(B)
f (xk 1)
)
1 f (xQ -( yk yk 1) (C) - (D) 1 f (xk 1) —(yk 1 yk)
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析资料报告复习题要问题详解
第一章1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 ε＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2≈0.693。
2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限解：记126.1025, 80.115x x == 则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤⨯-≤⨯-所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--341180.11610 6.101025220.007057-==⨯⨯+≤⨯⨯1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤⨯+⨯=+-+-+-3、一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少。
解：()()22222222431421025400000033006422102540000251025100243644433006243624360073873833006,.....;()()()......,..().()..%.r d hV d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε=≈=⨯⨯===+=⨯⨯⨯+⨯==±====第二章：1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )，计算L 3(0.5)及N 3(-0.5)解：(1)先求332211003)()()()()(y x l y x l y x l y x l x L +++= （1分）=----+---+=------=)12)(02)(12()1)(0)(1())()(())()(()(3020103210x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(1(61-+-， （2分）=----+---+=------=)11)(01)(21()1)(0)(2())()(())()(()(3121013201x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(2(21-+ （2分）=-++-++=------=)10)(10)(20()1)(1)(2())()(())()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x x x x l )1)(1)(2(21-++-x x x （2分）=-++-++=------=)01)(11)(21()0)(1)(2())()(())()(()(2313032103x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(2(61++（2分）x x x x x x x x x x L )1)(2(31)1)(2(21)1)(1(61)(3+++-++-+=x x x 212323-+= （1分）所以 41)5.0(3=L （1分）(2)再求Newton 插值多项式 列均差表如下：)(123221)(23100)(211)(12],,,[],,[],[222232103210分分分分x x x x x x x x f x x x f x x f y x k j i j i -----所以x x x x x x x N )1)(2()1)(2(23)2(21)(3+++++-++-=x x x 212323-+= （2分） 21)5.0(3=-N（1分）2、求过下面四个点的Lagrange 插值多项式L 3(x )和Newton 插值多项式N 3(x )。
数值分析课后习题部分参考答案解析
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求2的近似值x*，使其相对误差不超过0.1%。
解：...2 =1.4 …。
设X有n位有效数字，则|e(x)|乞0.5 10 10 。
*、，0.5 101』从而，| e r (x ) \<1故，若0.5 101』乞0.1%，则满足要求。
解之得，n丄4。
x =1.414。
(P10)7.正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2。
解：设边长为a，则a 100 cm。
设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：：、2 100 e。
按测量要求，|2 100 e|_1解得，|eF0.5 10^。
Chapter 2(P47)5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1、A= 2 1 0 。
<1-10,解：设A—〔。
分别求如下线性方程组:■n■0 '0 'A。
= 0 ，A P= 1 ，AY = 04 ©先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式)Ly = 1 和 U0 =y ，得，031 3Ly = 0 和 U = 丫，得，；丫1 32 31 31 3 所以，A ，=123 32 1 -1 — ——3 3丿广1 2 1 -3)/ 、 花『1'2 5 0 -5 X 22 1 0 14 1X 316 <_3_5115丿3<8>解：平方根法："(1)1 (1)1(2)2(1) -1 (0)2 .(1)1(-1)2(0)-3」「0 0^「1 1 —1'即，L =21 0 ，U = 0-1 2 。
2 h1°0 一3」经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,■1广0、Ly = 0 和 U° = y ，得，a =0 ；厂1」(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:先求系数矩阵 A 的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式)先求系数矩阵上=2」21 二 2d = 1；t 31改进平方根法:A 的形如A = L DL T的分解，其中L = (l j )4 4为单位下三角矩阵，D =diag{d 1,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。
数值分析(课后习题答案详解).ppt
x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
数值分析试题及答案
1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2?2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3. 为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？4. 设x 的相对误差界为δ，求n x 的相对误差界.5. 设有3个近似数 a =2.31，b =1.93，c =2.24，它们都有3位有效数字，试计算p =a +bc 的误差界和相对误差界，并问p 的计算结果能有几位有效数字？6. 设x y ln =. 若20≈x ，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差小于 0.1% ?7. 设],[)(2b a C x f ∈，试证22)(81)()()()()(max M a b a x a b a f b f a f x f b x a -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-≤≤其中)(max 2x f M bx a ''=≤≤8.已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差.9.已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.10.已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并估计误差11.. .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x12.已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插值多项式.13.设x x f =)(并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ，试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差14.设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式15.给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满足11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项表达式.16. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ，使它满足(0)(0)0,P P '==(1)(1)1,P P '== (2)1P =.17.设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式18.已知实验数据如下：.19.已知数据表如下x i 1 2 3 4 5y i ωi 4 4.5 6 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合.20.表中第4行为ln ,()1i i y y x ω==，可做拟合曲线bx y ae =，试求,a b .21..1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ22.确定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度.23.用复化辛普森公式计算积分⎰=1dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才能使截断误差不超过?10215-⨯24.利用下表中给出的数据，分别用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值（要求结果保留到小数点后六位）x16768696106112x ln 00.154151 0.287682 0.405465 0.510826 0.6061360.69314725.用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6f(x) 3.12014 4.42569 6.042418.0301410.4667526.确定公式⎰+≈11100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度.27.试求高斯求积公式100110()()()f x dx A f x A f x ≈+⎰.28.确定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度29.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭30.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x31.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542631531321321x x x32.设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=220122101A ，Tb ⎪⎭⎫⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21，若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试估计由此引起的解的相对误差.33.设方程组b Ax =，其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫=⎪⎝⎭b 时，试估计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算).34.设方程组b Ax =，其中10.990.990.98A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1.991.97b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若右端有小扰动430.97100.10610b δ--⎛⎫-⨯= ⎪⨯⎝⎭，试估计由此引起的解的相对误差（要求用矩阵的2范数）. 35.证明用雅可比迭代法解线性方程组b Ax =收敛，其中302021212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .36.给定b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A证明：(1) 当121<<-a 时，A 对称正定，从而GS 法收敛. (2) 只有当2121<<-a 时，J 法收敛.37.对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ，列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式，并判断是否收敛。
(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
数值分析基础习题解答
数值分析基础习题解答习题一题目给定一个函数f(f)=f3−2f2+f−3，使用迭代法求解方程f(f)=0的近似解。
解答迭代法是一种通过不断迭代逼近方程解的方法。
它的基本思想是选择一个适当的迭代公式，通过不断迭代计算来逼近方程解。
在本题中，我们可以先通过绘制函数的图像来初步确定方程的解的区间。
从图像中可以看出，方程的解位于[−2,3]的区间内。
因此，我们可以选择f0=2作为初始值。
接下来，我们需要选择一个迭代公式。
在本题中，可以选择牛顿迭代法，其迭代公式为：$$x_{n+1} = x_n - \\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中f′(f)表示函数f(f)的导数。
首先，我们需要计算出函数f(f)的导数。
在本题中，f′(f)可以表示为：f′(f)=3f2−4f+1接下来，我们按照迭代公式计算迭代值。
首先，计算f(f0)：$$f(x_0) = 2^3 - 2 \\cdot 2^2 + 2 - 3 = 1$$然后，计算f′(f0)：$$f'(x_0) = 3 \\cdot 2^2 - 4 \\cdot 2 + 1 = 9$$接下来，按照迭代公式计算迭代值：$$x_1 = x_0 - \\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \\frac{1}{9} = 1.89$$继续迭代，计算f(f1)和f′(f1)：$$f(x_1) = 1.89^3 - 2 \\cdot 1.89^2 + 1.89 - 3 = -0.005$$ $$f'(x_1) = 3 \\cdot 1.89^2 - 4 \\cdot 1.89 + 1 = 6.485$$继续迭代，计算f2：$$x_2 = x_1 - \\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1.89 - \\frac{-0.005}{6.485} = 1.890$$不断重复上述计算，最终得到方程的近似解。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。