数值分析作业思考题汇总
数值分析思考题1
数值分析思考题11、 讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
答：（1）绝对误差（限）与有效数字：若*120....10m n x ααα=⨯（a 1≠0，m 为整数） 绝对误差：*1*102m n e x x -=-≤⨯，那么*x 就有 n 个有效数字。
因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。
（2）相对误差限与有效数字：*120....10m n x ααα=⨯（a1≠0，m 为整数）相对误差限:*1111110*1210*102m n n r m x x e x αα--+-⨯-=≤=⨯⨯，*1*102m n e x x -=-≤⨯，11*10m x α-≥⨯可见*x 至少有n 位有效数字。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？答：实际情况下真实值 x 是无法得到的，当测量值与真实值之间的误差可以忽略不计时，可用下式代替。
3、 查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
r e x x e x x *****-==答：病态性：数学问题本身性质所决定的，与算法无关，却能引起问题真解很大变化。
同:都是输入数据的微小误差导致输出数据误差的增大。
异：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学模型本身的问题，与算法无关。
4、 取，计算，下列方法中哪种最好？为什么？（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-答：)631 5.05110-≈⨯ （1）(()333332 1.41 5.83210--≈-⨯≈⨯（2）223(7(75 1.41) 2.510--≈-⨯=⨯（3331 5.07310(32 1.41)-≈≈⨯+⨯（4361 5.10410(1.411)-≈≈⨯+（5）9999700.3-≈-=方法3最好，误差最小141.≈)61。
数值分析思考题
数值分析重点考察内容第一章：基本概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题＋证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。
高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。
第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。
第一章 误差1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。
2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？3. 0.7499作34的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）11,||1121x x x x --++ （2）||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈5.采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。
（1）（2）99-（3）6(3- （46. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。
上机实验题：1、利用Taylor 展开公式计算 0!kx k x e k ∞==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分10,0,1,2,,206n n x I dx n x ==+⎰,有如下的递推关系 1111100(6)61666n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-⎰⎰ 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n-=-=（取 来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。
数值分析--扩充思考题
数值分析--扩充思考题第一章级数计算一、假定f(x)在[a,b]内的导函数有界并且可积。
记证明,且其收敛阶为1.二、假定f(x)在[a,b]上二阶可微，且在[a,b]上可积。
记，证明，且其收敛阶为2.三、设,>0，称数列{},{}为Borchardt数列，证明(i)(ii)四、取=1,=3,利用题3求的近似值。
五、假定,>0,称为算术调和平均数列。
(i) 证明(ii) 取=2,=1,求它的近似值。
六、假定>>0,又证明七、证明Aitken外推数列可写成假设数列=，则可写成八、假定=c+，记{},{}的Aitken外推数列{},{}.证明=c+.例如，若由产生e的三个近似数=2.971,=2.737, =2.723,记=0.091,=0.037,=0.023,对,,作外推。
九、若,证明由定义的新数列比更快地收敛到a.十、当0<N<2时，数列=(1-N)+1收敛于1/N.(1)当N=和=1时，计算,,,,并作相应的Aitken数列。
(2)证明比更快地收敛到1/N.第二章求根问题一、建立求=3正根的迭代格式=3/，取初值=1.7，得=3/1.7,=3,=3/1.7...等等。
试用Aitken方法作加速，并用几何观点说明原迭代格式不收敛而用Aitken加速后提高精度的原因。
二、寻找解方程x=tgx的收敛迭代格式。
三、定义(Steffenson格式)。
设迭代数列收敛于a,且，证明它的收敛阶为2。
四、证明方程只有唯一一个实根。
五、试将方程的实根隔离。
六、Leonardo于1225年研究了方程求得它的一个解x=1.368808,当时无人知道他用什么方法求解。
试设计一个迭代格式，将这个解求出来。
七、指出迭代格式收敛于的,正根(a>0,>0)的条件，说明若收敛，则它的收敛阶至少是3. 八、设f(x)=0有根a且,证明离散牛顿法，其中的收敛阶是2.九、设a是f(x)的根，，著名数学家Cauchy定义迭代如下：若已知根的第k次近似，由二次方程的最接近于的一个根作为第k+1次近似，记为。
数值分析思考题
数值分析思考题1、 一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？称 ()n n n e y x y =-为某方法在点n x 的整体截断误差，设n y 是准确的，用某种方法计算n y 时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。
可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于n y 的误差。
如果给定方法的局部截断误差为11()p n T O h ++=，其中p 为自然数，则称该方法是p 阶的或具有p 阶精度。
2、 显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？显式方法优点:方法简单快速。
缺点：精度低。
隐式方法优点：稳定性好。
缺点：精度低，计算量大。
多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。
3、 刚性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？了保证数值稳定性，步长h 需要足够小，但是为了反映解的完整性，x 区间又需要足够长，计算速度变慢。
最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。
4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶Runge-Kutta 法、四阶Adams 方法计算下列微分方程初值问题的解。
（1）3,12(1)0.4dy y x x dxx y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩；（2）'109,'1011,y y z z y z =-+⎧⎨=-⎩ 满足(1)1,(1)1,y z =⎧⎨=⎩，12x ≤≤。
解：（1）取步长为0.1，向前Euler 公式：3101=0.11.(,)()n n n n n n ny y hf x y x y x +=++-向后Euler 公式：41111110101.(,).n n n n n n n n x y x y y hf x y x +++++++=+=+改进的Euler 公式：()11333113211(,),(,)20.10.12n n n n n n n n n n nn n n n n n hy y f x y f x y h f x y y x y y x x x x x ++++++=+++⎡⎤⎣⎦⎡⎤+=+-+-⎢⎥+⎣⎦经典的四阶Runge-Kutta 法：11234226()n n hy y k k k k +=++++1(,)n n k f x y =2122(,)n n h hk f x y k =++ 3222(,)n n h hk f x y k =++43(,)n n k f x h y hk =++四阶显示Adams 方法：01112233555937924()[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n hy y f x y f x y f x y f x y +------=+-+- 01111122919524()[(,)(,)(,)(,)]n n n n n n n n n n h y y f x y f x y f x y f x y +++----=++-+（2）二元微分方程组，经典的四阶Runge-Kutta 法公式为：11234226()n n hy y k k k k +=++++ 11234226()n n hz z L L L L +=++++1(,,)n n n k f x y z =211222(,,)n n n h h h k f x y k z L =+++ 322222(,,)n n n h h hk f x y k z L =+++433(,,)n n n k f x h y hk z hL =+++1(,,)n n n L g x y z =211222(,,)n n n h h h L g x y k z L =+++ 322222(,,)n n n h h hL g x y k z L =+++433(,,)n n n L g x h y hk z hL =+++改进的欧拉即为特殊的二阶龙格-库塔，公式在此不累述，注意系数。
数值分析思考题2
数值分析思考题二1、 怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区间多少次？答： （1）已知1020()x f x e x =+-=,作210x e x =-的图像，可得在区间[0,1]之间有交点，即有且仅有一个根。
由于()102x f x e x =+-，所以()f x 在区间[0,1]上连续，且()00100210f e =+⨯-=-，()11101280f e e =+⨯-=+，即()()010f f •，又()'100x f x e =+,根据零点定理得知，在()f x 在区间[0,1]有唯一实根。
由二分法的估计式()*211102k k x x b a ε-+-≤-=，得到()ln 102ln10 4.60511 5.645ln 20.693k-+-≈-≈，因此取6k =。
1211102 4.6022f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，又()1002f f ⎛⎫• ⎪⎝⎭，()f x 在区间[0,12]有唯一实根。
1411102 1.8044f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[0,14]有唯一实根。
18111020.38088f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[0,18]有唯一实根。
116111020.3101616f e ⎛⎫=+⨯-≈- ⎪⎝⎭，又110816f f ⎛⎫⎛⎫• ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在区间[18,116]有唯一实根。
332331020.03603232f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[116,332]有唯一实根。
56455102.0146464f e ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭，故 50.07864=即为所求。
数值分析思考题
数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么(D直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。
直接法又称为精确法。
(2)迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。
迭代法是一种逐次逼近的方法，与直接法比较，具有程序简单，存储量小的优点。
2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。
迭代公式X(_I)二Bx(k)+ g(k二0,1,2, ?)收敛的充分必要条件是M k->0.假设矩阵M的谱半径p(B),可知MkTO的充分必要条件是p (B) < 1 o 迭代公式x(k I)二Bx(k)+ g(k 二0,1,2, ?) 和x(k + 1)二Bix(k + 1) + B2x(k) + g(k 二0,1,2,?),收敛。
严格对角占优线性方程组Ax二b(其中A e R m x n,b e L)的Jacobi 迭代公式x(k + 1) = Bx(k)+ g(k = 0,1,2,?),收敛。
Gauss-Seidel 迭代公式x(k + 1)二Bix(k + 1) + B2x(k) + g(k = 0,1,2,?),收敛。
3、详述你所知道的非线性方程(组)的迭代法以及收敛性结果。
(1)不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1 ,使得I 4> (x) - 0 (y) I W L|x 一y|,?x, y G [a, b],则收敛于x*。
(2)斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数e(x)在不动点X*的某邻域内具有二阶连续导数，e'(x*)二A工1且A工0,则二阶收敛，极限是X*。
(3)牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的S0R方法的最佳松弛因子与何种因素有解线性方程组的S0R方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
高精度运算可以改善问题的病态性。
用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
两个相近数相减必然会使有效数字损失。
计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。
数值分析思考题
数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。
而共同探讨问题是非常重要的。
由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。
我会在以后的时间中形成新的文档。
第一章 思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。
数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。
误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。
一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。
计算方法课中主要讨论计算误差。
这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。
例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。
下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。
有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。
由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。
有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。
若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。
而相对误差则与有效数位数基本一致。
3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。
例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。
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￥数值分析思考题11、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、取，计算，下列方法中哪种最好为什么（1）(33-，（2）(27-，（3）()313+，（4）()611，（5）99-,数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。
求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。
直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。
当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。
如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。
Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。
对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。
方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。
数值计算方法上机题目11、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。
所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。
希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
$re x xex x*****-==141.≈)61问题提出：考虑一个高次的代数多项式∏=-=---=201)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。
现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19=+xx p ε (E1-2)其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（E1-1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数u ＝roots （a ）其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程.0...1121=++++-n n n n a x a x a x a的全部根，而函数b=poly(v)的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21); ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。
?实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。
如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。
计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18x ε或其他形式，实验中又有怎样的现象出现 （3）请从理论上分析产生这一问题的根源。
注意我们可以将方程(E1-2）写成展开的形式，0...),(1920=+-=x x x p αα同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感2、实验2。
多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge ）现象问题提出：|考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间]1,1[-上函数22511)(xx f +=实验内容：考虑区间]1,1[-的一个等距划分，分点为n i nix i ,...,2,1,0,21=+-= 则拉格朗日插值多项式为∑=+=ni iin x l x x L 02)(2511)( 其中的)(x l i ，n i ,...,2,1,0=是n 次拉格朗日插值基函数。
)实验要求：（l ）选择不断增大的分点数目,...3,2=n ，画出原函数)(x f 及插值多项式函数)(x L n 在]1,1[-上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数 x x g xxx h arctan )(,1)(4=+= 重复上述的实验看其结果如何。
（3）区间],[b a 上切比雪夫点的定义为1,...,2,1,)1(2()12(cos 22+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=n k n k ab a b x k π 以121,...,,+n x x x 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。
?3、实验3。
样条插值的收敛性问题提出：一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。
对样条函数插值又如何呢理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。
通过本实验可以验证这一理论结果。
实验内容：请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。
考虑实验2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用 Matab 的函数 “sp line ”作此函数的三次样条插值。
在较新版本的Matlab 中，还提供有spline 工具箱，你可以找到极丰富的样条工具，包括B-样条。
实验要求：（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。
分析所得结果并与拉格朗目多项式插值比较。
（2）样条插值的思想最早产生于工业部门。
作为工业应用的例子，考虑如下问题：某数值计算方法（二）'1、利用Newton 方法和Muller (抛物线)方法计算下列方程2260()cos()x x f x e x -=++-=在区间13[,]上的实根，要求精度为510ε-=，并比较迭代次数。
2、用Gauss 列主元消去法求解下列方程组1234622401284101031333396421816x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、用改进的平方根（TA LDL =分解）法求解下列方程组1234540602120130266319263600255222651621x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦：实验一一、实验名称：矩阵的LU 分解.二、实验目的：用不选主元的LU 分解和列主元LU 分解求解线性方程组 Ax=b, 并比较这两种方法.三、实验内容与要求 （1）用所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元LU 分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解下面的84阶方程组将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。
^（2）写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组实验二一、实验名称：实对称正定矩阵的A 的Cholesky 分解.二、实验目的：用平方根法和改进的平方根方法求解线性方程组 Ax=b . 三、实验内容与要求用所熟悉的计算机语言将Cholesky 分解和改进的Cholesky 分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解对称正定方程组Ax=b ，其中 （1） b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵（2） , （3） 系数矩阵为40阶Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j列元素为，向量b 的第i个分量为（4） 用实验一的程序求解这两个方程组，并比较所有的计算结果，然后评价各个方法的优劣。
实验三实验名称：直接法的时间复杂性试验。
实验目的：分别用三种不同方法求解线性方程组 Ax=b ，不同工作量得出不同时间。
实验内容与要求：生成方程组b Ax =中矩阵A 和右端项b ，分别用\x A b =，()*x inv A b =和三角分解法计算，并分别记录所花费的CPU 时间，进行分析比较。
/实验要求：（1）取300=n ，随机生成A 的一条主对角线元素和二条次对角线元素，使A 为严格对角占优的三对角阵和b ；其中三条对角线元素分别用三个一维数组存储；（2）用Matlab 语言自编M 文件分别用\x A b =，()*x inv A b =和追赶法计算这三对角方程组；并分别记录所花费的CPU 时间；(3) 分析结果，得出你的结论。
数值分析思考题41、Gauss 消去法和LU 三角分解法解线性方程组的工作量相同吗工作量为多少平方根方法的工作量为多少2、求解一个线性方程的LU 分解法什么条件下可以保障成功选主元的目的是什么分别用列主元和全主元Gauss 消去法求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321321321x x x x x x x x x 。
3、用平方根方法（Cholesky 分解法）求解下列方程组，并用紧凑格式存储。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x4、已知线性方程组122.0002 1.999841.9998 2.00024x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）求系数矩阵的逆1A -和条件数()cond A ； （2）若方程组右端有微小扰动()44210,210Tb δ--=⨯-⨯，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。
数值分析思考题51、插值与拟合的相同点和不同点分别是什么 —2、写出n 次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合的一般形式。
3、详述你所知道的矩阵分解，它们的意义如何4、超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况说明它与广义逆的关系。
5、给出各种正交化方法的优劣比较。
6、用Householder 变换求解下列线性方程组的极小最小二乘解12341124412355134661457715689x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦实验一1．根据Matlab 语言特点，描述Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。