最大值与最小值的解法

最大值和最小值问题的解法

摘要：最大(小)值问题是数学中常遇到的问题,在初等数学和高等数学中有广泛的应用.本文是讨论最值问题的若干解法并总结出解这类问题的一些规律. 关键词：最大(小)值、判别式、有界性、单调性、不等式。 引言

最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中会遇到的一类问题。函数最值问题的求法较多，但总的来说，求函数最值的常用方法和函数值域的常用方法是相同的。事实上，如果在函数的值域中存在一个最大（小）数，这个数就是函数的最（小）值。下面来谈一下几种基本的方法： 一、 利用导数求函数的最值：

若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,上有最大值与最小值. 对可导函数来说,若()x f 在区间I 内的一点χ

取得最大(小)值,则在χ

仅仅有

0)(0/

=χf

(即χ0

为f 的稳定点),而且为()x f 的一个极值点,一般而言,

最大(小)值还可在区间端点或不可导点上取得.因此,求函数()x f 在区间I 上的最大(小)值的办法是:求出()x f 在I 上所有的稳定点、不可导点以及区间端点,根据题意判断函数在哪个点上可取得最大(小)值或直接比较这点的函数值以便进行判断.

例一、 求函数f ()x x x x

122

23

+-=在闭区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值。

解：函数f 在闭区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-25,41上连续，故必存在最大值与最小值。

因为f ()[](

)12

921222

2

3+-=

+-=x x x x x x x

=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

≤

≤+-≤≤-+--250),1292(041),1292(2

2x x x x x x x x

所以

=)(/χf

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≤--=+-<≤----=-+-250),2)(1(61218604

1),2)(1(61218622x x x x x x x x x

x 函数f 在x=0时不可导，由于

.0)2(,

0)1(/

/

==f

f

故x=1,x=2为f 的稳定点，

现在比较函数在稳定点、不可导点及区间端点的函数,可见x=0,x=1,x=2为f 的极

小值点。x=1为极大

值

点

。

由

于

5)2

5(,4)2(,5)1(,0)0(,32115)41(=====-f f f f f .

所以，函数f 在x=0处取得最小值。在x=1和x=

2

5

处都取得最大值5。 例二、 求函数15)(3

4

5

5++-=

x x x

x f 在区间[]2,1-上的最大值与最小值。

解：函数f 在闭区间[]2,1-上连续，故必存在最大值与最小值。

因为

)

3)(1(515205)(2

2

34/

--=+-=x x x x x

x x f

由于

)3(),

1(),

0(/

/

/

f

f

f

都是0。故3,1,0===x x x 都为f 的稳定点。而3=x

不在定义域内。所以在定义域内的稳定点为.1,0==x x 现在计算函数稳定点及区间端点的函数值。由于

.7)2(,2)1(,10)1(-==-=-f f f

所以f 在1-=x 处取得最小值-10。在1=x 处取得最大2。 二、 利用配方法和函数的单调性解决最值问题：

对于二次函数的最值问题的讨论，一般是利用配方法和根据二次函数的图象及单调性来进行讨论。

例三、已知1)(2

-+=mx x f x 在区间[]1,1-内是单调减函数，

（1） 求实数m 的取值范围；（2）求)(x f 在区间[]1,1-内的最小值；（3）

若)(x f 在[])2(,4-≠-+m m m 内的最大值为9，求m 的值。 解：容易解得（1）2-≤m ；

（2）

2-≤m 时,0)1(,0)1(<=>-=-m f m f 存在[]1,10-∈x 有0

)(0=x f 所以)(x f 的最小值为0；

（3）因为f 在区间[]1,1-上是单调减函数。所以)(x f 的最大值总在

m x +=4或m -=χ或2

m

x -

=处取到；又因为)(m f -=91<-;A 、由3

2151221)4(()4()3()42

2

2

-=++=-++=+++m m m m m m m f 得93(2)

32

=-+m ；满足条件。B 、由914

)2(2

=--=-m m

f 得

24-=m 。

此时92487915122)4(2

>-=++=+m m f m 不符合题意。所以63--=m 。 例四、已知,122

2

=+y x 那么y x z 2

52+=的最小值——

解：由

122

2

=+y x

知

)1(2

12

2

x y

-=

其中≤-11≤x 代入z 并配方得