最大值与最小值教案
高等数学教学教案 函数的极值与最大值最小值
§3. 5 函数的极值与最大值最小值授课次序22极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法:设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , 则比较f (a ), f (x 1), ⋅ ⋅ ⋅ , f (x n ), f (b )的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值.解 ⎩⎨⎧∈-+-⋃-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ⎩⎨⎧∈+-⋃-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为23=x ; 不可导点为x =1和x =2.由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ⋅CD +3k ⋅DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2-+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km).由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则y =5k ⋅CD +3k ⋅DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(2-+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.DC20km A B 100km。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
(完整word版)函数的最大值与最小值教案
§1.3 函数的最大值与最小值(第1课时)泰和中学 胡常达【教学目标】1．使学生理解函数的最大值、最小值的概念，并能正确把握最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．2．使学生初步掌握求函数最大值、最小值的方法与步骤．【教学重点】最大值、最小值概念，求函数最大值、最小值的方法。
【教学难点】闭区间[a,b]上连续函数的最值定理。
【教学方法】发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现并抽象出普遍规律，这一点与上一堂完全一样。
【授课类型】新授课【教 具】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：1．求可导函数f(x)极值的步骤：(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x ）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f ’(x)在方程根左右的符号 ①如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值②如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；2．连续函数的最大值和最小值定理如果f(x)是闭区间[a , b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间 [a , b]上有最大值和最小值。
注： 我们只考虑在闭区间[a ，b]上连续的，并且在开区间(a ，b)内可导的函数．如果将这一前提条件设为“在开区间(a ，b)上连续可导的函数”，那么，会出现什么情况呢？如图图(1)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最大值而无最小直；图(2)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最小值而无最大值；图(3)中的函数y=f(x)在(a ，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最大值也有最小值．二、讲授新课观察下图一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象问：①何处取得极大(小)值？能在x=a,x=b 处取得极大(小)值吗？②何处取得最大(小)值？最大(小)值可以怎样定义？③一般地,极值与最值有何区别？最值处是否一定取得极值？极值处是否一定取得最值？④一般地，最大(小)值可以在何处取得？1．最值的定义：可导函数f(x)在闭区间[a ，b]上的一切点(包括端点a ，b)处的函数值中的最大值(最小值)，叫做函数f(x)的最大值(最小值)．2．函数的最值与极值的区别与联系：(1)函数的最值(最大值、最小值)是整体性概念，函数的极值(极大值、极小值)是局部性概念．(2)一个函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个；而极大值、极小值可能有两个以上．(3)可导函数的极大值、极小值不一定是最大值、最小值，但在定义区间内部(端点除外)的最大值、最小值一定是极大值、极小值．如上图3－15所示，f(x1)是最小值，也是极小值．3．求f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求 f(x) 在（a , b ）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
3.3.最大值与最小值-苏教版选修1-1教案
3.3 最大值与最小值 - 苏教版选修1-1教案一、知识目标1.掌握最大值和最小值的概念和求法。
2.理解最大值和最小值的作用，以及其在实际问题中的应用。
3.能够解答与最大值和最小值相关的问题。
二、教学重点1.最大值和最小值的概念和求法。
2.通过实例理解最大值和最小值的作用和应用。
三、教学难点1.如何将最大值和最小值与实际问题相结合，理解实际问题中的最值概念。
四、教学过程1. 导入本节课将学习最大值和最小值的概念和求法，最大值和最小值在实际问题中发挥重要作用，掌握这一概念对于日常生活以及数学学习都具有重要意义。
2. 概念讲解最值是指一组数中最大值和最小值，求最值的步骤如下：1.写出这组数。
2.从中找到最大值和最小值。
3. 案例演示我们来看一个例子，求出一组数据：23， 47， 62， 14， 87 的最大值和最小值。
首先，我们写出这组数据：23， 47， 62， 14， 87然后，我们可以轻松地找到最大值和最小值：最大值是 87，最小值是 14。
4. 实践练习现在把你的年龄，身高，体重，成绩或收入及家庭成员数统计并求出最值。
5. 讲解总结本节课我们学习了最大值和最小值的概念和求法，并通过案例演示和实践练习来加深理解。
最大值和最小值在实际问题中发挥着重要的作用，希望同学们能够掌握这一概念并成功应用到实际问题中。
五、作业布置1.完成课堂练习。
2.思考如何将最大值和最小值应用到实际问题中，并在下节课时展示。
六、教学反思最大值和最小值这一知识点相对简单，学生很快能够掌握其求法和应用。
在授课过程中，需要注意多通过实例和实践练习来帮助学生更好地理解最大值和最小值的作用和应用。
在教学过程中，还可以搭配其他实际问题来拓展其应用范围，提高学生的学习兴趣和参与度。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
函数的最大值与最小值 说课稿 教案 教学设计
导数在研究函数中的应用一、教学目标：知识与技能：1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．过程与方法：通过具体函数和函数图形的分析形成最值的概念，并探究出运用导数求最值的方法；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：会求某闭区间上函数的最值．难点：理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）探索新知探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗答 f (x 1)，f (x 3)，f (x 5)是函数y ＝f (x )的极小值；f (x 2)，f (x 4)，f (x 6)是函数y ＝f (x )的极大值．思考2 观察思考1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？小结 一般地，如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a ，b )上若存在最值，则必是极值． 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤： 1．求导，确定函数在闭区间上的极值点． 2．求出函数的各个极值和端点处的函数值． 3．比较大小，确定结论． 例1 求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2,3]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．x (－∞，－2)－2 (－2，2)2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)． 因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82，f (－2)＝82；所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82；当x ＝3时，f (x )取得最大值18. (2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋32，f (43π)＝23π－32.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪训练1 求下列函数的最值：(1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈[0,3]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．∴函数f (x )在[0,3]上的最大值为4，最小值为－43.(2)∵f (x )＝3e x －e 2，∴f ′(x )＝3e x －(e 2＋2e )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.探究点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3， 所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . 当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8－4a ， 0<a ≤2，0， 2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， a ≤2，0， a >2.反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ；③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，23a 上单调递增； 在⎣⎡⎦⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫23a ＝－427a 3. 综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.探究点三 函数最值的应用思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题． 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可． 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数． 例3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c .∵对任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知f (x )<f (3)＝9＋8c ，∴9＋8c ≤c 2即c ≤－1或c ≥9， ∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0,2)，当t＝1max也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)（三）当堂达标1．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是() A．函数f(x)有最小值f(x0) B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0) D．函数f(x)不一定有最小值【答案】A【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值，又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．2．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数【答案】D3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A．e －1 B ．e C ．e2 D.103【答案】 A 【解析】 令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32【答案】 C5．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切． （1）求b a ,的值；（2）求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【解析】（1()2a f x bx x '=-．由函数()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切，得(1)0,1(1),2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩20,1,2a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）得21()ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x -'=-=，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减，所以()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1(1)2f =-．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【解析】 (1)因为曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， 所以b ＝d ＝2；因为f ′(x )＝2x ＋a ，故f ′(0)＝a ＝4；g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故g ′(0)＝2＋c ＝4，故c ＝2. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.①若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0，从而当x ∈[－2，x 1)时，F ′(x )<0， 当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0，即F (x )在[－2，＋∞)上最小值为F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0，此时f (x )≤kg (x )恒成立； ②若k ＝e 2，F ′(x )＝(e x ＋2－1)(2x ＋4)≥0在[－2，＋∞)上恒成立， 故F (x )在[－2，＋∞)上单调递增，因为F (x )min ＝F (－2)＝0，所以f (x )≤kg (x )恒成立；③若k >e 2，则F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)<0， 从而当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上所述k 的取值范围为[1，e 2] 五、小结。
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班级：高二（ ）班 姓名：____________
教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．
教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．函数极值的定义是什么？
2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤．
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值．
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．
图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值．
函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．
一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：
（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x
x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的；
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；
（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．
三、数学运用
例1 求函数f (x )＝x 2－4x ＋3在区间内的最大值和最小值．
例2 求函数f (x )＝12
x ＋sin x 在区间上的最值．
例3．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .
(1)求函数f (x )在上的最大值和最小值；
(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图像在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．
2.求下列函数的最大值与最小值：
（1）];3,1[,23)(-∈+=x x x f （2）];3,1[,3)(2-∈-=x x x x f
（3）];3,31
[,1
)(∈+=x x x x f
（4）].2,0[,sin 21)(π∈+=x x x x f
3.求函数]2,0[,3∈-=x x x y 的值域.
4.求函数,(0,1]x y e x x =-∈的值域.
班级：高二（ ）班 姓名：____________
1.求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：
（1）]2,0[,21∈+-=x x x y ； （2）]2
,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y
2.求下列函数的值域：
（1）]3,1[,1
1∈++=x x x y ； （2）]3,2[,5323-∈+-=x x x y ；
（3）]2,0[,sin π∈+=x x x y ； （4）22ln y x x =-
3．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.
(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．。