小学奥数之几何五大模型

五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图

；

反之，如果

，则可知直线

平行于

。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在

中，

分别是

上的点(如图1)或

在

的延长线上，

在

上(如图2)，则

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①

或者

②

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①

②

；

③梯形

的对应份数为

。

四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型沙漏模型

①

；

②

。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABG

S△AGC

S△BGE

S△EGC

BE

EC

S△BGA

S△BGC

S△AGF

S△FGC

AF

FC

S△AGC

S△BCG

S△ADG

S△DGB

AD

DB

典型例题精讲

例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

例1图

例2 如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是

__________。

例2图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？

举一反三图

【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？

拓展图

例3 如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA 边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是

__________。

例3图

例4 如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是

__________。

例4图

例5 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。

例5图

例6 如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。

例6图

【铺垫】图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

铺垫图

例7 如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH＝5cm，HF＝3cm，求AG。

例7图

例8 如右图，三角形ABC中，BD∶D C＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。

例8图

例9 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

例9图

例10 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE＝2BE，CF ＝2DF，连接BF，DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形

PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1：S2＝______。

例10图