培优专题：二次根式
(完整版)二次根式培优练习题
二次根式培优练习题一．选择题〔共14 小题〕1．使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是〔〕A． x≥ 3B． x＞3 且 x≠4 C． x≥ 3 且 x≠4 D．x＞32．假设=3﹣a，那么 a 与 3 的大小关系是〔〕A． a＜ 3B． a≤3C．a＞3D．a≥33．若是等式〔 x+1〕0=1 和=2﹣3x 同时成立，那么需要的条件是〔〕A． x≠﹣ 1 B． x＜且 x≠﹣ 1 C．x≤或 x≠1 D．x≤且 x≠﹣ 14．假设 ab＜0，那么代数式可化简为〔〕A． a B．a C．﹣ a D．﹣ a5． xy＜0，那么化简后为〔〕A．B．C．D．6．若是实数 a、b 满足，那么点〔 a， b〕在〔〕A．第一象限B．第二象限 C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上7．化简二次根式，结果正确的选项是〔〕A．B．C．D．8．假设 a+=0 成立，那么 a 的取值范围是〔〕A．a≥0B．a＞0C．a≤0D．a＜ 09．若是 ab＞ 0， a+b＜0，那么下面各式：①=，②× =1，③÷=﹣b，其中正确的选项是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③10．以下各式中正确的选项是〔〕A．B．=±3 C．〔﹣〕2=4 D．3﹣ =2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有〔〕A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个12．假设是一个实数，那么满足这个条件的 a 的值有〔〕A．0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个13．当 a＜0 时，化简的结果是〔〕A．B．C．D．14．以下计算正确的选项是〔〕 A ．第1页〔共 4页〕B．C．D．二．填空题〔共13 小题〕15．二次根式与的和是一个二次根式，那么正整数 a 的最小值为；其和为．16． a、b 满足=a﹣b+1，那么 ab 的值为．17． | a﹣2007|+=a，那么 a﹣ 20072的值是．18．若是的值是一个整数，且是大于 1 的数，那么满足条件的最小的整数a=．19． mn=5， m +n =．20． a＜0，那么 |﹣ 2a| 可化简为．21．计算：的结果为．22．假设最简二次根式与﹣是同类二次根式，那么x=．．假设，那么x=；假设22，那么x=；假设〔 x﹣1〕2，．23x =〔﹣ 3〕=16 x=24．化简 a的最后结果为．25．观察解析，研究出规律，尔后填空：，2，，2，，，，〔第n 个数〕．26．把根号外的因式移到根号内：=﹣27．假设 a是的小数局部，那么 a〔a+6〕=．三．解答题〔共7 小题〕28．阅读以下解题过程：====﹣2；===．请答复以下问题：〔1〕观察上面的解题过程，请直接写出式子=；〔2〕观察上面的解题过程，请直接写出式子=；〔3〕利用上面所供应的解法，央求+++++的值．第2页〔共 4页〕29．一个三角形的三边长分别为、、〔1〕求它的周长〔要求结果化简〕；〔2〕请你给一个合适的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．30．如图，实数 a、b 在数轴上的地址，化简：．31．先阅读以下的解答过程，尔后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b 使 a+b=m，ab=n，这样〔〕2+〔〕2=m，? =，那么便有== ±〔 a＞ b〕比方：化简解：第一把化为，这里 m=7， n=12；由于 4+3=7，4×3=12，即〔〕2+〔〕2=7，? =，∴===2+由上述例题的方法化简：〔1〕；〔2〕；〔3〕．．x=2﹣，求代数式〔2+〔2+〕x+的值．327+4 〕x33．实数 a、b 在数轴上的地址以以下图，请化简：| a| ﹣﹣．34．观察以下各式：；；，请你猜想：〔1〕=，=．〔2〕计算〔请写出推导过程〕：〔3〕请你将猜想到的规律用含有自然数n〔n≥1〕的代数式表达出来．第3页〔共 4页〕参照答案一．选择题〔共14 小题〕1．C；2．B；3．D；4．C；5．B；6．C；7．D；8．C；9．B；10．A；11．B；12．B；13．A；14．D；二．填空题〔共13 小题〕15．6；﹣；16．±；17．2021；18．1；19．±2；20．﹣3a；21．1；22．0；23．±5；± 3；5 或﹣ 3；24．﹣2；25．2；；26．；27．2；三．解答题〔共7 小题〕28．﹣；﹣；29．；30．；31．；32．；33．；34．5；6；；第4页〔共 4页〕。
中考专题复习 二次根式的性质(培优学案设计)
中考专题复习 二次根式的性质（培优学案设计） 1 / 5 二次根式的性质（培优训练） 知识解读： 1.确定式子中被开方数字母取值范围的思路 （1）如果二次根式的被开方数是整式，只要满足被开方数是非负数。 （2）如果被开方数是分式，首先要确保分式有意义，即分式的分母不为0；其次要保证分式的值不小于0，即分子等于0或分子、分母同号。 根据以上要求，可列出关于字母的不等式组，根据不等式组的解集确定字母的取值范围。 2.二次根式的性质 性质1：式子既表示二次根式、又表示非负数的算术平方根，所以具有双重非负性： 性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 性质3：。 培优学案 典例示范： 一、确定式子中被开方数字母取值范围的思路 例1 求下列式子有意义时，x的取值范围。
【跟踪训练1】 求下列式子有意义时，x的取值范围 中考专题复习 二次根式的性质（培优学案设计） 2 / 5 二、的双重非负性 例2 已知，求x，y的值。 【跟踪训练2】 若，则的值为（ ） A.0 B.2 C.-1 D.1
三、利用求值。 例3 已知x是实数，则的值是（ ）
A. B. C. D.无法确定 【跟踪训练3】 已知为实数，求代数式的值。
四、运用公式化简 例4 计算：
【跟踪训练4】 计算：
五、运用公式化简 中考专题复习 二次根式的性质（培优学案设计）
3 / 5 例5： 若时，试化简 【跟踪训练5】 若化简的结果是一个常数，则x的取值范围是 。
六、在实数范围内因式分解 例6 在实数范围内分解下列因式：
【跟踪训练】 在实数范围内因式分解
拓展延伸 例7 代数式的最小值是 。 【跟踪训练7】 已知实数满足，那么的值是（ ） A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 竞赛链接： 例8 已知将化简得（ ） A.3-3x B.3+3x C.5+x D.5-x 中考专题复习 二次根式的性质（培优学案设计） 4 / 5 【跟踪训练8】 若，则化简得（ ） A.1 B.-1 C. D.
人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题16.3二次根式的加减专项提升训练(原卷版+解析)
专题16.3二次根式的加减专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023秋•敦煌市期中）下列二次根式能与√3合并的是（）A．√24B．√18C．√12D．√82．(2023秋•安溪县期中）下列计算正确的是（）A．√7+√3=√10B．√8÷√2=4C．3√7−√7=3D．√7⋅√3=√213．(2023秋•闵行区期中）下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5√5B．2√7×3√7=6√7C．√32÷√2=4D．2+√5=2−√54．(2023秋•辉县市校级月考）下列二次根式化简后，与√3被开方数相同的二次根式是（）A．√24B．√8C．√12D．√0.35．(2023秋•琼山区校级月考）已知x=√5−1时，则代数式x2+2x+3的值（）A．1B．4C．7D．36．(2023秋•兰山区校级月考）若（a2+√5−2）2＝20，则a2的值为（）A．2+√5B．2−√5C．2+√5或2﹣3√5D．2﹣3√57．(2023秋•沈丘县校级月考）若最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则m的值为（）A．2020B．﹣2020C．2024D．﹣20248．(2023秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和√2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x+√2的值为（）A．1−√2B．1+√2C．√2−1D．29．(2023秋•万州区月考）观察下面分母有理化的过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−12−1=√2−1，从计算过程中体会方法，(√2+1√3+√2+√4+√3+⋯⋯+√2022+√2021)×(√2022+1)的值是（ ） A ．√2022−1B ．√2022+1C ．2021D ．202210．(2023秋•福田区期中）观察下列二次根式的化简 S 1=√1+112+122=1+11−12， S 2=√1+112+122+√1+122+132=（1+11−12）+（1+12−13）， S 3=√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142=（1+11−12）+（1+12−13）+（1+13−14），则S 20222022=（ ） A ．20222021B ．20242023C ．12022D ．12024二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．(2023秋•思明区校级期中）计算：（1）√13×√12= ；（2）√8−√2= ．12．(2023秋•三水区期中）计算：(√7+√5)(√7−√5)= ． 13．(2023秋•闵行区期中）不等式−√6x ﹣1＞0的解集是 ．14．(2023秋•浦东新区期中）如果最简根式√6a +5与√8+3a 是同类二次根式，那么a ＝ ． 15．(2023秋•仁寿县校级月考）计算：（√2−√3）2021•（√2+√3）2022＝ ．16．(2023秋•新蔡县校级月考）如图，在长方形中放入面积分别为32和18的正方形m 和正方形n ，则图中阴影部分的周长为 ．17．(2023秋•浦东新区校级月考）已知√x √x =√5，那么√x +√x的值为 ． 18．(2023秋•嘉定区月考）当x =2+√2017时，代数式x 2﹣4x +4的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(2023秋•禅城区校级期中）计算： （1）√8÷√12+√2×√32； （2）√18(√3−2√2)−√12+√27√3．20．(2023秋•青岛期中）计算．（1）√27+√3√3； （2）√12+2√48；（3）（3√2+√5）（3√2−√5）； （4）√24−3√16+√6． 21．(2023秋•李沧区期中）计算： （1）√27+√3√3−3； （2）√12+2√48；（3）(3√2+√5)(3√2−√5)； （4）√24−3√16+√6．22．(2023秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+√2)2= ；(1−√5)2= ． （2）把4+2√3写成（a +b ）2的形式为 ． （3）已知a =√7−1，求代数式a 2+2a +3的值．23．(2023秋•锦江区校级期中）我们已经知道(√13+3)(√13−3)=4，因此将√13−3“√13+3”，分母就变成了4．已知a =12+√3，b =12−√3． （1）请仿照上面方法化简a ，b ； （2）求代数式2a 2﹣5ab +2b 2的值．24．(2023秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似√b a 的形式，我们把形如√b a 的式子称为根分式，例如√32，√x−1x都是根分式．（1）下列式子中①aa 2+1，②√3√x+1，③√a 2+32， 是根分式（填写序号即可）；（2）写出根分式√x−1x−2中x 的取值范围 ； （3）已知两个根分式M =√x 2−6x+7x−2，N =√2x−1x−2．①若M 2﹣N 2＝1，求x 的值；②若M 2+N 2是一个整数，且x 为整数，请直接写出x 的值： ．专题16.3二次根式的加减专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023秋•敦煌市期中）下列二次根式能与√3合并的是（）A．√24B．√18C．√12D．√8【分析】先将各个选项的二次根式化简，再判断是否与√3是同类二次根式，是则能合并．【解答】解：A、√24=2√6和√3不是同类二次根式，故不能合并，该选项不符合题意；B、√18=3√2和√3不是同类二次根式，故不能合并，该选项不符合题意；C、√12=2√3和√3是同类二次根式，故能合并，该选项符合题意；D、√8=2√2和√3不是同类二次根式，故不能合并，该选项不符合题意；故选：C．2．(2023秋•安溪县期中）下列计算正确的是（）A．√7+√3=√10B．√8÷√2=4C．3√7−√7=3D．√7⋅√3=√21【分析】根据二次根式相关运算的法则逐项判断．【解答】解：√7与√3表示同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；√8÷√2=√8÷2=2，故B错误，不符合题意；3√7−√7=2√7，故C错误，不符合题意；√7×√3=√21，故D正确，符合题意；故选：D．3．(2023秋•闵行区期中）下列计算正确的是（）A．2√3+3√2=5√5B．2√7×3√7=6√7C．√32÷√2=4D．2+√5=2−√5【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可．【解答】解：A．2√3与3√2不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；B．2√7×3√7=2×3×(√7)2=6×7＝42，故本选项不合题意；C．√32÷√2=√16=4，故本选项符合题意；D．2+√5=√5−2(2+√5)(√5−1)=√5−2，故本选项不合题意．故选：C．4．(2023秋•辉县市校级月考）下列二次根式化简后，与√3被开方数相同的二次根式是（）A．√24B．√8C．√12D．√0.3【分析】将各选项二次根式分别化简，再根据同类二次根式的概念求解可得．【解答】解：A．√24=2√6与√3是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；B．√8=2√2与√3被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；C．√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确，符合题意；D．√0.3=√3010与√3不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意；故选：C．5．(2023秋•琼山区校级月考）已知x=√5−1时，则代数式x2+2x+3的值（）A．1B．4C．7D．3【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：∵x=√5−1时，∴x+1=√5，∴（x+1）2＝5，∴x2+2x+1＝5，∴x2+2x+3＝7，故选：C．6．(2023秋•兰山区校级月考）若（a2+√5−2）2＝20，则a2的值为（）A．2+√5B．2−√5C．2+√5或2﹣3√5D．2﹣3√5【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【解答】解：∵（a2+√5−2）2＝20，∴a2+√5−2＝±2√5，则a2+√5−2＝2√5或a2+√5−2＝﹣2√5，则a2=√5+2或a2＝﹣3√5+2（负数不合题意，舍去）．故a2的值为：√5+2．故选：A．7．(2023秋•沈丘县校级月考）若最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则m的值为（）A．2020B．﹣2020C．2024D．﹣2024【分析】最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则√m+2022与√2的被开方数相同，即m+2022＝2．【解答】解：∵最简二次根式√m+2022与√2可以合并，则√m+2022与√2是同类二次根式，∴m +2022＝2． 解得m ＝﹣2020． 故选：B ．8．(2023秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和√2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点表示的数为x ，则x +√2的值为（ ）A ．1−√2B ．1+√2C ．√2−1D ．2【分析】直接根据已知得出x 的值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：由题意可得：AB ＝CA =√2−1， 则C 点坐标为：x ＝1﹣（√2−1）＝2−√2， 故x +√2=2−√2+√2=2． 故选：D ．9．(2023秋•万州区月考）观察下面分母有理化的过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−12−1=√2−1，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：(1√2+11√3+√21√4+√3⋯⋯+1√2022+√2021)×(√2022+1)的值是（ ）A ．√2022−1B ．√2022+1C ．2021D ．2022【分析】先分母有理化，然后合并后利用平方差公式．【解答】解：原式＝（√2−1+√3−√2+√4−√3+•+√2022−√2021）×（√2022+1） ＝（√2022−1）×（√2022+1） ＝2022﹣1 ＝2021． 故选：C ．10．(2023秋•福田区期中）观察下列二次根式的化简 S 1=√1+112+122=1+11−12， S 2=√1+112+122+√1+122+132=（1+11−12）+（1+12−13）， S 3=√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142=（1+11−12）+（1+12−13）+（1+13−14），则S 20222022=（ ）A ．20222021B ．20242023C ．12022D ．12024【分析】根据题意可归纳出S n 的表达式，从而求出S 2017的值． 【解答】解：由题意可知：S 1＝1+11−12=2−12， S 2＝（1+11−12）+（1+12−13）＝1+1+11−13=3−13， S 3＝（1+11−12）+（1+12−13）+（1+13−14）＝1+1+1+11−14=4−14， 由此可知：S n ＝（n +1）−1n+1=n(n+2)n+1， ∴S n n=n+2n+1=， ∴S 20222022=20242023．故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．(2023秋•思明区校级期中）计算： （1）√13×√12= 2 ； （2）√8−√2= √2 ．【分析】（1）根据二次根式的乘法进行计算即可求解．（2）根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的减法进行计算即可求解． 【解答】解：（1）√13×√12=√13×12=√4=2．故答案为：2；（2）√8−√2=2√2−√2=√2． 故答案为：√2．12．(2023秋•三水区期中）计算：(√7+√5)(√7−√5)= 2 ． 【分析】根据二次根式的乘法运算以及平方差公式即可求出答案． 【解答】解：原式＝7﹣5 ＝2． 故答案为：2．13．(2023秋•闵行区期中）不等式−√6x ﹣1＞0的解集是 x ＜−√66．【分析】移项，系数化成1即可． 【解答】解：移项，得−√6x ＞1， 系数化成1，得x ＜−√66． 故答案为：x ＜−√66．14．(2023秋•浦东新区期中）如果最简根式√6a+5与√8+3a是同类二次根式，那么a＝1．【分析】根据同类二次根式的概念解答即可．【解答】解：∵最简根式√6a+5与√8+3a是同类二次根式，∴6a+5＝8+3a，∴a＝1．故答案为：1．15．(2023秋•仁寿县校级月考）计算：（√2−√3）2021•（√2+√3）2022＝−√2−√3．【分析】先根据积的乘方进行变形，再算乘方，最后求出答案即可．【解答】解：原式＝[（√2−√3）×（√2+√3）]2021×（√2+√3）＝（﹣1）2021×（√2+√3）＝﹣1×（√2+√3）=−√2−√3，故答案为：−√2−√3．16．(2023秋•新蔡县校级月考）如图，在长方形中放入面积分别为32和18的正方形m和正方形n，则图中阴影部分的周长为8√2．【分析】先根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长，再根据图形求得阴影部分的长与宽，最后根据矩形的周长公式求得结果．【解答】解：根据题意得，2×(√32−√18+√18)＝2×4√2＝8√2，故答案为：8√2．17．(2023秋•浦东新区校级月考）已知√x−√x =√5，那么√x√x的值为3．【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可．【解答】解：∵√x 1√x=√5，∴√x+1√x=√(√x1√x)2=√(√x1√x)2+4=√(√5)2+4 =√5+4 ＝3． 故答案为：3．18．(2023秋•嘉定区月考）当x =2+√2017时，代数式x 2﹣4x +4的值是 2017 ． 【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：∵x ＝2+√2017， ∴x ﹣2=√2017， ∴（x ﹣2）2＝2017， ∴x 2﹣4x +4＝2017， 故答案为：2017．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(2023秋•禅城区校级期中）计算： （1）√8÷√12+√2×√32； （2）√18(√3−2√2)−√12+√27√3．【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再计算得出答案． 【解答】解：（1）原式=√8×2+√64 ＝4+8 ＝12；（2）原式＝3√2（√3−2√2）√3+3√3√3＝3√6−12﹣5 ＝3√6−17．20．(2023秋•青岛期中）计算． （1）√27+√3√3； （2）√12+2√48；（3）（3√2+√5）（3√2−√5）； （4）√24−3√16+√6．【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接化简二次根式，再合并得出答案； （3）直接利用平方差公式化简，进而得出答案； （4）直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【解答】解：（1）原式=3√3+√3√3=4； （2）原式＝2√3+2×4√3 ＝2√3+8√3 ＝10√3；（3）原式（3√2）2﹣（√5）2 ＝18﹣5 ＝13；（4）原式＝2√6−3×√66+√6 ＝2√6−√62+√6=5√62．21．(2023秋•李沧区期中）计算： （1）√27+√3√3−3； （2）√12+2√48；（3）(3√2+√5)(3√2−√5)； （4）√24−3√16+√6．【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式，再合并同类二次根式，进而得出答案； （3）直接利用平方差公式计算得出答案； （4）直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【解答】解：（1）原式=√3+√3√33 ＝4﹣3 ＝1；（2）原式＝2√3+2×4√3 ＝10√3；（3）原式＝（3√2）2﹣（√5）2＝18﹣5＝13；（4）原式＝2√6−3×√66+√6＝2√6−√62+√6=5√62．22．(2023秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+√2)2=11+6√2；(1−√5)2= 6﹣2√5．（2）把4+2√3写成（a+b）2的形式为（1+√3）2．（3）已知a=√7−1，求代数式a2+2a+3的值．【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；（2）用完全平方公式可得答案；（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．【解答】解：（1）（3+√2）2＝9+6√2+2＝11+6√2，（1−√5）2＝1﹣2√5+5＝6﹣2√5，故答案为：11+6√2，6﹣2√5；（2）4+2√3=1+2√3+（√3）2＝（1+√3）2，故答案为：（1+√3）2；（3）∵a=√7−1，∴a+1=√7，∴a2+2a+1＝7，∴a2+2a+3＝9．23．(2023秋•锦江区校级期中）我们已经知道(√13+3)(√13−3)=4，因此将√13−3分子、分母同时乘“√13+3”，分母就变成了4．已知a=2+√3，b=2−√3．（1）请仿照上面方法化简a，b；（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．【分析】（1）仿照材料分母有理化即可；（2）求出a+b＝4，ab＝1，把2a2﹣5ab+2b2变形为2（a+b）2﹣9ab，再整体代入即可．【解答】解：（1）a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，b=12−√3=2+√3(2−√3)(2+√3)=2+√3；（2）由（1）知a＝2−√3，b＝2+√3，∴a +b ＝4，ab ＝1，∴2a 2﹣5ab +2b 2＝2（a +b ）2﹣9ab＝2×42﹣9×1＝2×16﹣9＝32﹣9＝23．24．(2023秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似√b a 的形式，我们把形如√b a 的式子称为根分式，例如√32，√x−1x都是根分式． （1）下列式子中①a a 2+1，②√3√x+1，③√a 2+32， ③ 是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式√x−1x−2中x 的取值范围 x ≥1且x ≠2 ； （3）已知两个根分式M =√x 2−6x+7x−2，N =√2x−1x−2．①若M 2﹣N 2＝1，求x 的值；②若M 2+N 2是一个整数，且x 为整数，请直接写出x 的值： 3或1 ．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①a a 2+1不是根分式， ②√3√x+1不是根分式， ③√a 2+32是根分式，故答案为：③；（2）由题意得：x ﹣1≥0，x ﹣2≠0，解得：x ≥1，x ≠2，故x 的取值范围是：x ≥1且x ≠2；故答案为：x ≥1且x ≠2；（3）当M =√x 2−6x+7x−2，N =√2x−1x−2时，①M 2﹣N 2＝1，（√x 2−6x+7x−2）2﹣（√2x−1x−2）2＝1， x 2−6x+7(x−2)2−2x−1(x−2)2=1， x 2−8x+8(x−2)2=1，解得：x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的解； ②M 2+N 2＝（√x 2−6x+7x−2）2+（√2x−1x−2）2 =x 2−6x+7(x−2)2+2x−1(x−2)2 =x 2−4x+6(x−2)2=(x−2)2+2(x−2)2 ＝1+2(x−2)2，∵M 2+N 2是一个整数，且x 为整数， ∴2(x−2)2是一个整数，∴x ﹣2＝±1，解得：x ＝3或1，经检验，x ＝3或1符合题意， 故答案为：3或1．。
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二次根式培优练习题一．选择题（共14 小题）1．使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是（）A． x≥ 3 B． x＞3 且 x≠4 C． x≥ 3 且 x≠4 D．x＞32．若=3﹣a，则 a 与 3 的大小关系是（）A． a＜ 3B． a≤3 C．a＞3 D．a≥33．如果等式（ x+1）0=1 和=2﹣3x 同时成立，那么需要的条件是（）A． x≠﹣ 1 B． x＜且 x≠﹣ 1 C．x≤或 x≠1 D．x≤且 x≠﹣ 14．若 ab＜0，则代数式可化简为（）A． a B．a C．﹣ a D．﹣ a5．已知 xy＜0，则化简后为（）A．B．C．D．6．如果实数 a、b 满足，那么点（ a， b）在（）A．第一象限B．第二象限 C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上7．化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D．8．若 a+ =0 成立，则 a 的取值范围是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≤0 D．a＜ 0 9．如果 ab＞ 0， a+b＜0，那么下面各式：①= ，②× =1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．下列各式中正确的是（）A．B．=±3 C．（﹣）2=4 D．3 ﹣ =2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A． 2 个 B．3 个 C．4 个 D． 5 个12．若是一个实数，则满足这个条件的 a 的值有（）A． 0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个13．当 a＜0 时，化简的结果是（）A．B．C．D．14 ．下列计算正确的是（） A ．B．C．D．二．填空（共13 小）15．二次根式与的和是一个二次根式，正整数 a 的最小；其和．16．已知 a、b 足=a b+1， ab 的．17．已知 | a 2007|+ =a， a 20072的是．18．如果的是一个整数，且是大于 1 的数，那么足条件的最小的整数a= ．19．已知 mn=5， m +n = ．20．已知 a＜0，那么 | 2a| 可化．21．算：的果．22．若最二次根式与是同二次根式， x= ．．若，x= ；若 2 2， x= ；若（ x 1）2 ，．23 x =（ 3）=16 x=24．化 a 的最后果．25．察分析，探求出律，然后填空：，2，，2 ，，，⋯，（第n 个数）．26．把根号外的因式移到根号内：=27．若 a 是的小数部分， a（a+6）= ．三．解答（共7 小）28．下列解程：= = = = 2；===．回答下列：（1）察上面的解程，直接写出式子=；（2）察上面的解程，直接写出式子=；（3）利用上面所提供的解法，求++++⋯+的．29．一个三角形的三分、、（1）求它的周（要求果化）；（2）你一个适当的x ，使它的周整数，并求出此三角形周的．30．如，数 a、b 在数上的位置，化：．31．先下列的解答程，然后作答：形如的化，只要我找到两个数a、b 使 a+b=m，ab=n，（）2+（）2=m，? = ，那么便有= = ±（ a＞ b）例如：化解：首先把化，里 m=7， n=12；由于 4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，? =，∴===2+由上述例的方法化：（1）；（2）；（3）．．已知x=2 ，求代数式（2+（2+ ）x+ 的．32 7+4 ）x33．数 a、b 在数上的位置如所示，化：| a| ．34．察下列各式：；；⋯，你猜想：（1）=，=．（2）算（写出推程）：（3）你将猜想到的律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．参考答案一．选择题（共14 小题）1．C；2．B；3．D；4．C；5．B；6．C；7．D；8．C；9．B；10．A；11．B；12．B；13．A；14．D；二．填空题（共13 小题）15．6；﹣；16．±；17．2008；18．1；19．±2；20．﹣3a；21．1；22．0；23．±5；± 3；5 或﹣ 3； 24．﹣ 2；25．2；；26．；27．2；三．解答题（共7 小题）28．﹣；﹣；29．；30．；31．；32．；33．；34．5；6；；。
专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（ ） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2． 故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为 ．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为 ．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10． 故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝ ． 【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9， 即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0， 则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。
完整版二次根式培优专题讲座
2 .代数式2x3 . 4x 13的最小值是（ ）（A ）0 （ B ） 3 （ C ） 3.5 （ D ）13 .若m 适合关系式.3x 5y 2 m 2x 3y m 、x 199 y . 199 x y ，求 m 的值.6.已知：yE 贡〒扌，求弟；2 2的值.第16章二次根式培优专题1.化简所得的结果为（拓展）计算 一、二次根式的非负性 1.若|2004 a Ja 2005 a ,则 a 20042= ______________________ :111I “ 22 32 I 1 32 4212003212200426.化简：\ 13 2 5 2 7 2 35二、二次根式的化简技巧2.化简；612 -24 .4 .已知x 、y 为实数，且y x 9 . 9 y 4，求x . y 的值.3.化简:.23 6 6 4 23 <25 .已知y ■ x 88 x 18，求代数式一x —y — J x <y2xy x 、y y . x的值.4.化简：2 T 2 3 .2 .2 35.化简：23 610 4 3 2 2（二）分母有理化1 11 •计算：3 V3 5（3 3』517.5 5.7149.47 47\ 49的值.4.化简:,3 5 .5 ..73 2 5 、75.化简:3 .3 .62 「2「62.分母有理化:2 62 .3 56.化简:V2暑.10 . 14 .15 .217.化简:、6 4 3 3 218 . 12 2 .6（三）因式分解（约分）1 .化简:V2 V5 A/32、30 6 2 4.3&化简：—5 " 3V35 3/5 3/7 72.化简:,6显,6 .3 2 1三、二次根式的应用（一）无理数的分割1.设a,为3 5 3 5的小数部分，b为 6 3 3 . 6 3 3的3.化简:6 43 3 2；6 、3 .3 2小数部分，则- 1—的值为（）b a(A) 6 2 11 (B) - (C) —14 2(D) 2•3^2 .设，5 1的整数部分为x，小数部分为y，试求x2 3丄xy y2的值.45 1 23 .设.19 8 3的整数部分为a ,小数部分为b，试求a b -的值b(二)最值问题1. 设a、b、c均为不小于3的实数，贝a 2 .. b 1 |2 . c 1 |的最小值是_______ .2 .代数式点2 4 J(12 x)29的最小值是______________ .3 .若x，y为正实数，且x y 4那么x2 1 y2 4的最小值是4. 实数a，b满足a2 2a 1 .36 12a a210 |b 3| |b 2|，则a b的最大值为________________ .(三)性质的应用1 .设m、x、y均为正整数，且2. 设x 2 2 2 ，y(A) x y (B) x y (C)3 .已知-15 x219 x27. 是否存在正整数x、y(x y)，使其满足、、x ... y 1476 ?若存在, 请求出x、y的值；若不存在，请说明理由.(四)因式分解(1) x44 (2) 4x252(3) 16x49为___________ .4 .若，x . 2x 1 x . 2x 1 2成立，则( )1 1 3(A) x - (B) - x 1 (C) x 1 (D) x -2 2 25.已知3 1.732 , . 30 5.477，求2.7 的值.6.已知x，y都为正整数，且x . y 1998，求x y的值.I'm 28 x y，则x y m2 2 2 ，则( )x y (D) 不能确定2 ，贝U 15 x219 x2的值(五)有二次根式的代数式化简1.已知2“)Jy(6』x 5“)，求一x——的值.2x xy 3y4.比较、.2012 . 20石与.2013 2012 的大小.5. 比较t 1- -与；3的大小.V2 V3 V56.比较- 2012 1与2012 1的大小.V2013 1 V2013 1（六）比较数的大小1.设a>b>c>d>0且，: ab cd, y ac bd, z3 -57.比较'、8 ，5与的大小.8 .比较门一2与‘一3的大小. va 3 va 4"匸订，求2；:y 3y的值2.比较与..5 ；3的大小.3 .已知：: 8 ■-7 y8 7，求:： y 2 ：y的值.<8 J7 v x V y3.比较m . n 与m 2013 ■. n 2013 的大小.4 .已知a1,求12 ,3 2a a2a 1.a22a 12a的值.a------------------- 22 b a的值.5 .已知为实数■- ad 、、bc .则x、y、z的大小关系.。
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第1页（共4页）二次根式培优练习题一•选择题（共14小题）1 •使代数式有意义的自变量x 的取值范围是（）x-4A . x > 3 B. x >3 且 X M 4 C. x > 3 且 X M 4 D . x >32•若.■ .... .=3-a ,则a 与3的大小关系是（ ）A . a v 3 B. a W 3C . a >3D . a 》33.如果等式（x+1） °=1和寸⑶€=2- 3x 同时成立，那么需要的条件是（）A . X M - 1 B. x v 二且 X M - 1 C. x W 二或 X M 1D . x <3 3 4.若ab v 0，则代数式 仁呪可化简为（ ）A . a . • B. a* C .- a. 1 ‘ D .- a 1 ‘5.已知xy v 0,则—•化简后为（）A .丁 B .6 .如果实数a 、b 满足需％3=-曲麻，那么点（a , b ） A .第一象限B .第二象限C.第二象限或坐标轴上7.化简二次根式；一，结果正确的是（ ）A . ■8.若 a+ 「=0 成立，贝U a 的取值范围是（ ）A . a >0 B . a >0 C. a w 0 D . a v 09.如果ab >0，a+b v 0,那么下面各式：①命书，②濡=1,③*‘丸十濡=-b ，其 中正确的是（）A .①② B •②③C .①③D .①②③10.下列各式中正确的是（ ）A .寸（_¥）2二但 的=± 3 C .（-占）2=4 D . 迈-五=2 11.在二次根式 '中与小是同类二次根式的有（）X M - 1-一 丁 C .D .在（ ）D .第四象限或坐标轴上 B. - :. C. 、D .■'A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 若.，「「是一个实数，则满足这个条件的a的值有（）A . 0个B. 1个C. 3个D.无数个13 .当a v0 时，化简一，一的结果是（）A . —■. B . 一•、 C.亍 .D .—.14 .下列计算正确的是（）A . : 二7(3)7(3)(1) 观察上面的解题过程，请直接写出式子 (2) 观察上面的解题过程，请直接写出式子利用上面所提供的解法，请求血十1十忑+忑+五“用十忑换+••+ —I — 7100 W99 的值.B•也丿以二如'b C + 5生田"5=13D4/252 -24Mt25+24） （25-24）-V49-7二•填空题（共13小题）15.二次根式讥十与.二-：••的和是一个二次根式，贝U 正整数 a 的最小值为 _________ ;其和 为^16 •已知 a 、b 满足7（2-a ） 2=&+3?且｛二巧+1 =a - b+1,则 ab 的值为 ______ . 17.已知 | a-2007|+ . .- __________ i ：-=a ,则 a - 20072 的值是 .18. ________________________________________________________________________ 如果・」泊勺值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数 a= _____________ . 19•已知 mn=5, m ：+n J= ________ . 20.已知 av0,那么 | .： - 2a| 可化简为 _____ .21 .计算：：_的结果为 _________________ .V322 .若最简二次根式2血尹1与-莎药是同类二次根式，则x ______________ .23 .若厂-f.，则 x= ________ ;若 x 2= （- 3） 2，则 x= _____ ；若（x - 1） 2=16，x= ______ . 24 .化简a的最后结果为 _______ .25 .观察分析，探求出规律，然后填空： 二，2, ■■，2. ■：， I ， _____ ，…， _______ （第 n 个数）.26 .把根号外的因式移到根号内：• I - J =-“*：'[-；p 27 .若a 是.丨的小数部分，则a （a+6） = ______ . 三.解答题（共7小题） 28 .阅读下列解题过程:鮎爲=〔暑誥黑巳=勝爲 ?砸卫卫-2低十界_ （晶+妬〕（讥i ）2-（亦）2请回答下列问题:29•—个三角形的三边长分别为 厝、知莎、*桧(1) 求它的周长(要求结果化简)；(2) 请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.30.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简:31 •先阅读下列的解答过程，然后作答: 形如.厂丄■，的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样(.J 2+ ( b) 2=m，，那么便有Vb) + Vb (a> b)例如：化简占+4翻解：首先把.I I :;化为J • ： . I ：，这里m=7，n=12;由于4+3=7, 4X 3=12,即（.）2+ （■；）2=7, ? = ■:,••• .II：-2+.:'；由上述例题的方法化简：(1) 1 ；• 一「；(2) .. H；(3 )『'-.；.32. 已知x=2-二，求代数式(7+4. ；) x2+ (2+ :；) x+ -；的值.33. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：| a| -:-：：.请你猜想:(3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n (n》1)的代数式表达出来第4页（共4页）参考答案一•选择题（共14小题）1. C;2. B;3. D;4. C;5. B;6. C;7. D;8. C;9. B; 10. A; 11. B; 12. B; 13. A;14. D;二.填空题（共13小题）15. 6；^^E；16.±j-; 17. 2008; 18. 1; 19.土述;20.- 3a; 21.丄；22. 0; 23.±5;± 3; 5 或-3; 24.- 2^23; 25. 2^5;炼；26. 27. 2;三.解答题（共7小题）28. 一二_二-1 ; 29.; 30. ; 31. ; 32.; 33. ; 34.77第3页(共4页)。
二次根式拓展专题培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习： 1、化简（1）aa1- （2）22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1，则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：121312+1431⨯+，⨯=⨯⨯+5463333+⨯+，猜测⨯⨯⨯=12++，1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习：1、设n,k为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+，求不超过S的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．1分母有理化解决问题：①的有理化因式是，12得②计算：③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值．5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
二次根式专题(培优训练)
-------------精选文档----------------- 可编辑 二次根式专题 一、二次根式a的双重非负性：（1）被开方数0a；（2）a≥0 典型题练习： 1.当m 时，5－3m是二次根式；若12x有意义，则x的取值范围是 ； 使11x有意义，x应满足的条件是 ； 2.若552014yxx，则x+y= . 3.0|1|42baba，则2014)(ba= .
4.m12为整数，则m的最小值为 .
二、最简二次根式和同类二次根式 最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不能含有分母。 同类二次根式必须满足的条件：被开方数相同。 典型练习： 1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是 . ⑴3和18；⑵3和13；⑶12和27；
⑷2ab和2ab（a＞0，b＞0）； ⑸xy和yx（xy≠0）； 2.已知最简二次根式322babba和是同类二次根式，则a=______，b=_______.
3.若最简二次根式1x与x2能合并成一个二次根式，则x_______.
三、二次根式的化简运算 1．2(0.25) ， 2(0.25) ， 2122 ， 2(10) ， -------------精选文档----------------- 可编辑 410 ， 410 ， 83= ， xx652= ，
2．计算下列各题： （1）182712 （2 ）1312248233
（3）xxxx3)1246( （4）21418122；
3．化简2)41（的值是（ ） A．21 B．21 C．41 D．41 4．2(3)的值是（ ）
A. ±3 B. 3 C. -3 D. -9 5．若12)21(
2aa，则a的取值范围是（ ）
A、21a B、21a C、21a D、21a
【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)
二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
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二次根式培优 一、 知识得拓广延伸 1、 挖掘二次根式中得隐含条件
一般地,我们把形如 aa()0得式子叫做二次根式,其中0,0aa。 根据二次根式得定义,我们知道:被开方数a得取值范围就是 0a ,由此我们判断下列式子有意义得条件:
20
11(1)11;(2);227(2.5)(3)132;(4);(5)312xxxxxxxxxxx
2、 2a得化简 教科书中给出:一般地,根据算术平方根得意义可知:2(0)aaa,在此我们可将其拓展为:aaaaaa200||()() (1)、根据二次根式得这个性质进行化简: ①数轴上表示数a得点在原点得左边,化简22aa=
②化简求值:22112aaa;其中a=15 ③已知,132m,化简2224169mmmmm ④2(3)______x; ⑤若为a,b,c三角形得三边,则22()()________abcabc; ⑥计算:22(417)(175)___________、 （2）、根据二次根式得定义与性质求字母得值或取值范围。
①若2121mmm,求m得取值范围。 ②若22(2)(62)4xxx,则x得取值范围就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ③若2147abb,求222aabb得值; ④25523,2xxxy已知:y=求的值。 二.二次根式a得双重非负性质:①被开方数a就是非负数,即0a ②二次根式a就是非负数,即0a 例1、 要使1213xx有意义,则x应满足( ). A.21≤x≤3 B.x≤3且x≠21 C.21＜x＜3 D.21＜x≤3 例2(1)化简xx11 ＝_______. (2)若11xx=(x＋y)2,则x－y得值为( ) (A)－1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a、b为实数,且满足│a－2│+2b=0,则b－a得值为( ) A.2 B.0 C.－2 D.以上都不就是 (2)已知yx,就是实数,且2)1(yx与42yx互为相反数,求实数xy得倒数。 三,如何把根号外得式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外得式子移入根号内得知识,这样式子得化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式得意义来判断根号外得式子得符号。如果根号外得式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新得被开方数,根号前得符号不会发生改变;如果根号外得式子为负值,那么要先将根号前得符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新得被开方数。eEOt3sU。UvYDtdG。
(1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外得式子移入根号内:
①1aa, ②1(1)1aa (2)、利用此方法可比较两个无理数得大小。
(1)3543与 (2)232-3—与32 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数得整数部分与小数部分,应先判断已知实数得取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。88q6eXf。oBg3Rem。
例:(1)、已知61得整数部分为a,小数部分为b,试求ab—b2得值。
(2)若x、y分别为 811得整数部分与小数部分,求2xy—y2得值。 (3)已知451得整数部分为a,小数部分为b,求a2+b2得值。 (4)若17________aabab，是的小数部分，则。 53+2aab（）、若的整数部分为a，小数部分为b，求的值。 2、巧变已知,求多项式得值。 32135125xxxx（1）、若，求的值。 22211+y2323xyxzxyxzyz（2）、若，y-z=，求的值。
31_________20121m５４（3）、若，则m－２ｍ－2011m的值为。
3、用归纳法化简求值 1111+++21+232+2343+34109910化简...+
五.其她 例11、观察分析下列数据,寻找规律:0,3,,32,3,6 ……那么第10个数据应就是 。 例12、(1)已知n就是一个正整数,n135就是整数,则n得最小值就是( )。 A.3 B.5 C.15 D.25 (2).已知n12就是正整数,则实数n得最大值为( ) A.12 B.11 C.8 D.3 26.有这样一类题目:将2ab化简,如果您能找到两个数m、n,使22mna并且mnb,
则将2ab变成2222mnmnmn开方,从而使得2ab化简。 例如:化简322E6ZfTeK。6jjI9yw。
22
2
2
32212221222123221212 仿照上例化简下列各式:(6分) (1)423 (2)526 (二)勾股定理提高题 一、选择题 1、直角三角形得斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它得斜边长( ) A、4 cm B、8 cm C、10 cm D、12 cm 2、如图①小方格都就是边长为1得正方形,则四边形ABCD得面积就是 ( )ZpvV3m9。OrgtE3x。
A、 25 B、 12、5 C、 9 D、 8、5 3、△ABC就是某市在拆除违章建筑后得一块三角形空地、已知∠C=90°,AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a元计算,那么共需要资金( )、7rqZIGb。FmL8BEz。
A、50a元 B、600a元 C、1200a元 D、1500a元 4、如图②就是一株美丽得勾股树,其中所有得四边形都就是正方形,所有得三角形都就是直角三角形.若正方形A、B、C、D得边长分别就是3、5、2、3,则最大正方形E得面积就是( ) A、13 B、26 C、47 D、94GThk0f8。AB5b7LG。
IBohpyx。Omp6cLW。 5、已知一个Rt△得两边长分别为3与4,则第三边长得平方就是( )
A、25 B、14 C、7 D、7或25 6、等腰三角形得腰长为10,底长为12,则其底边上得高为( ) A、13 B、8 C、25 D、64IQMK0pJ。jbKVCrn。
7、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y得长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形得斜边为边长得正方形得面积为( ) DJfhEVR。V7SRx3i。
A、5 B、25 C、7 D、15 8、△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC得周长就是( ) A、42 B、32 C、42或32 D、37或33 9、如图③,长方体得长为15,宽为10,高为20,点B离点C得距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体得表面从点A爬到点B,需要爬行得最短距离就是( )WS4yV5i。rOmQ1EI。
A、521 B、25 C、105+5 D、35
10、如图④,AB⊥CD于B,△ABD与△BCE都就是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC得长为( )、lXP8ep5。e9lc5pu。
A、12 B、7 C、5 D、13 二、填空题 1、在RtABC中,C=900,A,B,C所对应得边分别就是a,b,c、 (1)若a=3cm,b=4cm,则c= ;(2)若a=8cm,c=17cm,则b= ;9vtTdS7。4zoCHue。
E A B C D 图④ DCBA图① 图② 图③ 5 20 15 10
C
A B 图⑧ C A B
S1 S
2
(3)若b=24cm,c=25cm,则a= ;(4)若a:b=3:4,c=10cm,则a= ,b= 、zCgIQ8L。UqXs0ag。
2、在RtABC中,A=900,a=13cm,b=5cm,则第三边c= 、 3、已知直角三角形得两边长为5,12,则第三边得长为 、 4、在RtABC中,斜边AB=2,则AB2+AC2+BC2=______、 5、直角三角形得三边长为连续偶数,则其周长为 、 6、直角三角形得两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上得高为 cm、 7、如果梯子得底端离建筑物9m,那么15m长得梯子可以到达建筑得高度就是 m、 8、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,AB=10,则AC=_______,BC=________、lBPWUPV。kar4HLW。
9、在RtABC中,C=90°,周长为60,斜边与一条直角边得比为13:5,则这个三角形得斜边长就是 、3yWezAX。xW0SRqG。
10、已知ABC中,AB=AC=10,BD就是AC边上得高,DC=2,则BD= 、 11、在ABC中,AB=17,AC=10,BC边上得高AD=8,则边BC得长为 、 12、直角三角形有一条直角边长为11,另外两边长就是两个连续得正整数,那么它得周长就是 、AImBsSS。QoaP8R8。
13、直角三角形有一条直角边长为11,另外两边得长也就是正整数,那么它得周长就是 、 14、校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树得顶端飞到另一棵树得顶端,小鸟至少要飞___________米、t0uMOK0。Gv9KQVh。
15、已知直角三角形两边x、y得长满足｜x2－4｜＋652yy＝0,则第三边长为 、
16、如图⑤,直线l过正方形ABCD得顶点B,点A,C到直线l得距离分别就是1与2,则正方形得边长就是 、m9FE5nQ。BkNYjN4。
图⑤ 图⑦ 17、若正方形得面积为18cm²,则正方形对角线长为 cm。 18、如图⑦,长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在F处,BF交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE得长为 、tnrFNGt。1Cp0aFA。
19、若三角形得三边满足::5:12:13abc,则这个三角形中最大得角为 ;
20、如图⑧,已知在RtABC△中,RtACB,4AB,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为1S,2S,则1S+2S得值等于 .