九年级数学下册 2.5.3 切线长定理课件 (新版)湘教版
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第2章 2.5.3 切线长定理 课件 2024-2025学年湘教版九年级数学下册
2．切线是一条与圆相切的直线，不能度量．( √)
3．切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度
量．( √ )
【小题快练】
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= ( B )
· ×
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,∴OF⊥BC,∴OF=
= =4.8.
【一题多变】
1.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不与M
和C重合,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形
CDFP的周长.
【解析】见全解全析
2.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为 5,AD=2.
求BC的长.
【解析】见全解全析
【技法点拨】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
重点2
利用切线长定理求角度
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
P(4,2)是☉O外一点,连接AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C,求BC的长.
【解析】见全解全析
＝90°，即PB⊥OB，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，可以得到
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
4．归纳总结：
(1)切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作
3．切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度
量．( √ )
【小题快练】
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= ( B )
· ×
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,∴OF⊥BC,∴OF=
= =4.8.
【一题多变】
1.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不与M
和C重合,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形
CDFP的周长.
【解析】见全解全析
2.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为 5,AD=2.
求BC的长.
【解析】见全解全析
【技法点拨】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
重点2
利用切线长定理求角度
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
P(4,2)是☉O外一点,连接AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C,求BC的长.
【解析】见全解全析
＝90°，即PB⊥OB，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，可以得到
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
4．归纳总结：
(1)切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作
最新【湘教版】九年级下册数学：2.5.3-切线长定理ppt教学课件
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：连接OE， ∵⊙O与AB相切于E，∴∠AEO=90°， ∵AO=5，OE=3，
AE AO2 OE2 4,
∵AB=10，∴BE=6， ∵BG与⊙O相切于G， ∴BG=BE=6， 故选C．
当堂练习
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、
B为切点，直线OP交☉O于点D、
6.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把 直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放 置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 ___6__3___cm.
7.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、
PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
最新湘教版
精品数学课件
学练优九年级数学下（XJ） 教学课件
第2章 圆
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.3 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解和掌握切线长定理；(重点) 2.初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)
导入新课
复习引入 问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一 点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外 一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣 赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
相等.这一点和圆心的连线
B
平分这两条切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
典例精析 例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA 和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD.
2.5.3-切线长定理
B
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 又∴ PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
第10页，共18页。
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A
典例赏析 、B为切点，直线OP交于⊙O于点D
、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
第6页，共18页。
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A PA = PB
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、 角相等提 供了新的方法
C E
D
F
A
·O
B
C E
D
A
·O
B
第15页，共18页。
课堂小结
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
。
E
O CD
P
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等
A
，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须 掌握并能灵活应用。
第8页，共18页。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
。
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 又∴ PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
第10页，共18页。
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A
典例赏析 、B为切点，直线OP交于⊙O于点D
、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
第6页，共18页。
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A PA = PB
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、 角相等提 供了新的方法
C E
D
F
A
·O
B
C E
D
A
·O
B
第15页，共18页。
课堂小结
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
。
E
O CD
P
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等
A
，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须 掌握并能灵活应用。
第8页，共18页。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
。
湘教版九年级数学下册《2.5.3切线长定理》公开课精品课件
拓展结论
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.可以得到结论：
OP垂直平分AB. B
OM
P
A
方法归纳 切线长问题辅助线添加方法
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
例2 如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、 AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5， 且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）
A P
O B
A O.
B
直径所对的圆周 P 角是直角.
讲授新课
一 切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的
A
切线，这点和切点之间的
线段的长叫作切线长．
O
P
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．
二 切线长定理
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
合作探究
在透明纸上画出下图，设PA， PB是圆O的两条切线，A，B是 切点，沿直线OP对折图形，PA 与PB，∠APO与∠BPO分别有
什么关系？
A
O
P
2022年湘教版数学九下《切线长定理》立体课件(公开课版)
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC.
2
同理可得∠COE= 1 ∠COB.
P
2
∠DOE=∠DOC+∠COE=
1 2
（∠AOC+
∠COB）=70°.
简单地说，
两点之间线段最短。
走进生活
你能举出利用“两点之间线段最短”的例子吗？
勤于巩固2
村庄A
两点之间线段最短
大桥P
河流
村庄B
如图，村庄A, B之间有一条河流，要在河 流上建造一座大桥P, 为了使村庄A, B之间 的距离最短，请问：这座大桥P应建造在 哪里。为什么？请画出图形。
问题征答
下列说法正确的是( D )
A
O
P
B
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点 C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是 ___2_0____度．
5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B, ∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则
∠ACB= 65 °或115 °.
A
P O
B 第3题
⑴ △PDE的周长是
；
DA
⑵ ∠DOE= ____ .
P
C
O
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE. E
B
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
2.5.3 切线长定理-2024-2025学年九年级数学课件(湘教版)
E
OCD
P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形；
B
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= 20 °,PB= 4 .
内容
过圆外一点所画的圆的两条切 线长相等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角.
作用
提供了证线段和 角相等的新方法
辅助线
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点；
③ 连接圆心和圆外一点.
B
切线长定理:
A
过圆外一点引所画的圆的
两条切线，它们的切线长相等.
这一点和圆心的连线平分这两
O
P
条切线的夹角.
数学语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
B PA = PB
∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA 和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD.
O.
请你说说其作法的是否正确为什么？
P
作法是正确的：连结OA、OB 由OP是直径所对的圆周角∠OAP与 ∠. OBP都直角，由切线判定定理可知PA、 PB是圆O的切线。
B
过圆外一点P可
作做圆的切线， 且可作2条。
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切
A
线，这点和切点之间的线段
O.
的长叫作切线长．如PA、PB
∵⊙O与AB相切于E，
【最新】湘教版九年级数学下册第二章《切线长定理》公开课课件
一、解答题(共 60 分) 7．(15 分)如图，直尺，三角尺都和圆 O 相切，AB ＝8 cm，求⊙O 的直径．
解：⊙O 的直径是 16 3 cm
8．(15 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点 D，过点 A 作⊙O 的切线 AP，AP 与 OD 的 延长线交于点 P，连接 PC，BC. (1)猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系， 并证明你的结论； 1 解：(1)OD∥BC，OD＝ BC，∵AB 是⊙O 的直 2 (2)求证：PC 是⊙O 的切线．
9．(15 分)如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P(4，2) 是⊙O 外一点， 连接 AP， 直线 PB 与⊙O 相切于点 B， 交 x 轴于点 C. (1)证明 PA 是⊙O 的切线； (2)求点 B 的坐标； (3)求直线 AB 的解析式．
3．(5 分)如图所示，已知⊙O 与角尺∠ACB 的两 边都相切，切点分别为 A，B，∠ACB＝90°，那么四 边形 ACBO 是__正方形__．
4．(5 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝6， BC＝8， 以其三边为直径向三角形外作三个半圆， 矩形 EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于 AB 或 BC， 则矩形 EFGH 的周长是__48__．
切线长定理
1．(5 分)如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是 切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个端点，若∠P＝40°， 则∠ACB 的度数是( B ) A．80° B．110° C．130° D．140°
2．(5 分)如图，⊙O 的半径为 3，P 是 CB 延长线 上一点，PO＝5，PA 切⊙O 于 A 点，则 PA＝__4__．