解直角三角形的应用
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形的应用——坡度问题课件
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形 函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
作业
1.书P92-93第5、8题
2.练习册67、68页
5、(1)若h=2cm，l=5cm，则i= 1:2.5 (2)若i=1:1.5，h=2m，则 l = 3m
例1. 如图，拦水坝的横断面为梯 形ABCD（图中i=1:3是指坡面的 铅直高度DE与水平宽度CE的比）， 根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝底宽BC和斜坡CD的长 （精确到0.1m）
为 30 。
练习
1.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通 过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000 米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡, 试问:它能不能通过这座小山？
B
565米
A
1000米
C
练习
2.如图,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的 水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24度,求 斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?（精 确到0.1米）
BE CF 6 i 1: 3
DF 6 3
∵梯形ABCD是等腰梯A形
B
4
C
i 1: 3
6
α
EF
D
BC EF 4, AE DF 6 3
AD AE EF DF 6 3 4 6 3 12 3 4
• （2） tan i 1 : 3
30
答：路基下底宽AD为 12 3 4 米，坡角
B
24°
初中数学_解直角三角形及其应用中考复习教学设计学情分析教材分析课后反思
解直角三角形及其应用教学设计【导学目标】1、理解锐角三角函数的概念，并准确记忆30°，45°，60°角的三角函数值。
2、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
【导学过程】 一、知识梳理1、锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且∠C=90°，∠A 的正弦sinA=c a=∠斜边的对边A ；∠A 的余弦cosA==）（）（________； ∠A 的正切tanA==）（）（________. 2、特殊的三角函数值：α sinα cosα tanα 300 450 600(1)含30°角的直角三角形中三边之比_________________. (2)含45°角的直角三角形中三边之比___________________. 3、解直角三角形应用中的有关概念： ⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角铅直水平线视线⑵坡度坡角：如图，斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。
【设计目的】：1.做好知识铺垫，为夯实基础。
2. 抓好关键概念学习。
3. 培养数形结合思想二、典例分析考点一 锐角三角函数的概念典例1、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠＝（ ） 对应训练1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tanα等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1252．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ） A ．23B ．32C ．21313D ．31313【设计目的】：利用坐标、网格渗透数形结合思想，培养添加辅助线的意识。
考点二 特殊角的三角函数值 典例2、 0033sin 602cos 458-+对应训练AB O1．计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）A ．43B ．4C ．53 D ．52．在△ABC 中，若|sinA-12|+（cosB-12）2=0，则∠C 的度数是（ ）A ．30°B．45°C．60°D．90°【设计目的】：抓好三角函数计算，将三角函数值与角度有机结合。
华东师大版数学九年级上册2解直角三角形在生活中的应用课件(共27张)
B
东
数学建模
拓展三：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
解：
北 M
A●
120
E
240 30°
B
东
数学建模
拓展三：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
解：
北
A●
150
E
240
B
东
数学建模
拓展四：为了不让学生上课受噪声影响，你有什么好的建议？
北 M
A●
120
E
240 30°
B
东
北 M
A●
行驶 讨论
30°
B
东
数学建模 当前，全国新农村正如火如荼地进行，某村计划在建设区B的 北偏东30°方向修一条公路。小明所在的教室A在该建设区B的正北方向240m处。 如果拖拉机行驶 时，150m的范围内为受其噪音影响区域，问拖拉机经过该路时， 教室A是否受到噪音的影响？为什么？
解：
北 M
解直角三角形 在生活中的应用
知识经验
1、方位角
2、仰角 俯角
北
北偏东40 °
3、坡角 坡比
h
40°
铅 垂
） ）仰俯角角
水平线
线
东
a L
抢答：根据图中所给的条件，分别求出图中的x .
生活情景
铅 垂 线
我们构造出了 一个直角三角形
水平线
方法建构
线长可以 量
A
求 高 度
仰角可以测
Ba
C
分析裁定
A
A
A
60米
甲 30° B
解：在Rt△ABC中， ∠B = 30°AB=60米
sin B h1 AB
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。
在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。
下面列举一些常见的直角三角形应用题型。
1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。
这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。
例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。
解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。
2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。
由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。
例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。
解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。
3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。
我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。
例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。
解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。
利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。
4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。
我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。
例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。
解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。
以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得：$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度，因此应该为正数。
但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。
这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得：$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此，这个高楼的高度约为28.87米。
3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到：$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得：$w = 20\times tan(45) = 20$因此，河宽为20米。
4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。
又根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得：$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得：$y = 6\sqrt{3}$因此，田地的面积为6x² = 1080平方米。
解直角三角形应用评课稿
解直角三角形应用评课稿
一、解直角三角形应用（一）
优点：
1、解直角三角形的应用是在学生掌握了直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系后，对锐角三角函数的应用，教师根据学情，将解直角三角形及其应用结合在一起学习，通过创设富有情趣、学生熟知的教学活动情境（比萨斜塔），使学生在熟悉的事物、情境中学习，理解数学，感受数学与现实生活的联系，激发学生学习的热情；
2、在整个课堂中，教师教态亲切和蔼，尊重关怀学生，课堂气氛和谐、民主，体现了和谐的师生关系；
3、在教学过程中，教师注重以生为本，在对例1进行示范讲解后，请学生自主完成例2，并请一名学生进行板书，而后教师通过点评板书及展示学生学案使学生进一步掌握解直角三角形的方法，同时注意引导学生在解题之前先画图，以助解题；
4、教师在教学过程中非常注意细节，对书写要求严谨，例如：6×1不能写成6·1专门在黑板上写出来，提醒学生；
5、教师教案中除了点明教学重点、教学难点外，还专门指出了教学疑点，对学生在学习过程中可能遇到的问题有充分的预知，体现了教师对于学情的熟悉；
6、及时进行小结，总结清楚，条理清晰；
不足之处：
1、将解直角三角形及其应用放在一起，容量较大；
2、由于内容较多，导致课堂节奏较快，比如例1的解题过程只是通过PPT展示，作为学生解题的模仿对象，如果能够将例1 的解题过程板书在黑板上会更好一些；
3、关于解直角三角形用到的知识背景可以让学生写在学案上，以便做题时参考一下；
1 / 1。
九年级数学上册24.4第三课时解直角三角形的应用教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
数学
新课标（HS） 九年级上册
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24.4 解直角三角形
第3课时 解直角三角形应用（二）
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第3课时 解直角三角形应用（二）
新知梳理
► 知识点 坡角与坡度（坡比）
概念：如图 24－4－40，通常把坡面的铅垂高度 h 和水平
长度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝hl .坡度通
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[归纳总结] 解坡度问题的一般规律：(1)正确理解坡度 与坡角的关系：tanα＝i＝hl ；
(2)水渠、堤坝的横断面一般是梯形，解这类问题通常将 梯形分割成直角三角形和矩形；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，此类题 目的条件多，线条多，解法多，应抓住关键条件，看“有用” 线段，选择比较简便的解法．
米，坝顶宽BC＝6米，依据条件求： (1)斜坡AB坡角α(准确到1′)； (2)坝底宽AD和斜坡AB长(准确到0.1米)．
图24－4－41
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[解析] 梯形问题，首先应作辅助线结构直角三角形，再利 用条件解直角三角形．
解：分别过 B、C 两点作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F， 则四边形 BCFE 为矩形，∴BE＝CF，BC＝EF.
(1)在 Rt△BAE 中，i1＝1∶3，即 tanα＝ABEE＝13， ∴α≈18°26′.
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第3课时 解直角三角形应用（二）
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)， AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝AE＋BC＋FD＝69＋6＋57.5 ＝132.5(米)．
中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用
专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。
解直角三角形(复习课)课件
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
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解直角三角形的应用 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 一．仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.
例:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?
铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 操场里有一个旗杆，小明站在离旗杆底部10米的D处，仰视旗杆顶端A,仰角为34°,俯视旗杆底端B,俯角为18°,求旗杆的高度(精确到0.1米). sin180=0.31 cos180=0.95 tan180=0.32 sin340=0.56 cos340=0.83 tan340=0.67
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC 如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚方向，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
答案： 过点A作AD⊥BC于D,设AD=x ∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚， ∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= ６0˚， 在Rt△ADC中， CD=AD/tan∠ACD= x/tan60˚, 在Rt△ADB中， BD=AD/tan30˚= x/tan30˚, ∵ BD-CD=BC,BC=24∴ x/tan30˚- x/tan60˚=24∴ x=12 >20 3答：货轮无触礁危险。 由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域 （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C, Rt△ABC中， ∠B = 30°, ∴AC= AB= x 240 = 120 ∵AC = 120 < 150 ∴A城受到沙尘暴影响 解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，由题意得：∴CE = AE2 – AC2 = 90 ∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180 ∴A城受到沙尘暴影响的时间为180÷12 = 15小时 【典型例题】 例1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
解：在中，RtABHBHAHtan45 在中，RtACHCHAHtan30 AHAHtantan45301000 AH5003500300 不会穿过 例2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。
解：（1）在A处放置测倾器，测得点H的仰角为α
在B处放置测倾器，测得点H的仰角为β
（）在中，2RtHAIAIHIDIHIAIDImtantan HImtantantantan
HGHIIGmntantantantan
例3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测
A B H C 得A的俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。
例4. 在ABC中，CA901，tan，那么cotB等于（ ） ABCD....32133
分析：在RtABC中，已知tanA，求cotB可利用互余角的三角函数关系求解，应选C。 例5 已知为锐角，下列结论： 11sincos <2>如果45，那么sincos
<3>如果cos12，那么60 <4>(sin)sin112 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。 解：由于为锐角知<1>不成立
当4590时，有sincos，即<2>正确；当cos12时，60，即<3>成立
又01sin，即(sin)sin112正确。即<4>成立，故应选C。 例6. （1）计算：sincoscottantan3060456030 （2）计算：22459044211(cossin)()() 分析：（1）可利用特殊角的三角函数值代入直接计算； （2）利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化，可
解：在中，RtABCBCABtan45 在中，RtABGBGABtan60 ABABtantan60458
AB443
AC4246 求得（1）1；（2）4 例7 如图1，在ABC中，AD是BC边上的高，tancosBDAC。 （1）求证：AC＝BD
（2）若sinCBC121312，，求AD的长。
图1 分析：由于AD是BC边上的高，则有RtADB 和RtADC，这样可以充分利用锐角三角函数的 概念使问题求解。
解：（1）在RtABD中，有tanBADBD， RtADC中，有cosDACADAC tancosBDACADBDADACACBD，故
（2）由sinCADAC1213；可设ADxACBDx1213， 由勾股定理求得DCx5， BCBDDCx121812 即x23 AD12238
例8. 如图2，已知ABC中CRt，ACmBAC，，求ABC的面积（用的三角函数及m表示）
图2 分析：要求ABC的面积，由图只需求出BC。
解：由tanBACBCAC BCACBACACmBACBCmSACBCmmmABCtantantantan
，
12121
22
例9. 如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B，取ABDBD145500，米，D55。要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ） A. 50055sin米 B. 50055cos米 C. 50055tan米 D. 50055cot米
图3 分析：在RtBED中可用三角函数求得DE长。 解：A、C、E成一直线
ABDDBED1455590，，
在RtBED中，coscosDDEBDDEBDD， BD500米，D55
DE50055cos米，故应选B。
例10. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到01.）（如图4） 图4 参考数据： sin..cos..sin..cos..sin..cos..sin..cos..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322，，，， 分析：（1）由图可知ABO是直角三角形，于是由勾股定理可求。 （2）利用三角函数的概念即求。 解：设需要t小时才能追上。
则ABtOBt2426，
（1）在RtAOB中，OBOAAB222，()()261024222tt 则t1（负值舍去）故需要1小时才能追上。 （2）在RtAOB中
sin.AOBABOBtt242609231 AOB674.
即巡逻艇沿北偏东674.方向追赶。 例11. 如图5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。