1.2.3空间几何体的直观图
1.2.3 空间几何体的直观图
新知探究
题型探究
感悟提升
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并 在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等
于正视图的高．
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被 挡部分为虚线，如图(2)所示． [规律方法] 画立体图形的直观图关键是正确画其底面的直 观图，然后再确定不在底面上点的位置．
的周长为________．
解析 答案 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP 10 ＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
新知探究
题型探究
感悟提升
4．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图
形的面积为________． 解析 由直观图可知其对应的平面图形 AOB中 ∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，
的线段说法错误的是 A．原来相交的仍相交 C．原来平行的仍平行 解析 ( B．原来垂直的仍垂直 D．原来共点的仍共点 )．
根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．
答案
B
新知探究
题型探究
感悟提升
2．(2013· 聊城高一检测)如图所示为一个
平面图形的直观图，则它的实际形状
四边形ABCD为 A．平行四边形 C．菱形 ( B．梯形 D．矩形 )．
所以 S＝a· 2 2a＝2 2a2.
答案
B
新知探究
题型探究
感悟提升Biblioteka 【活学活用 2】 (2012· 温州高一检测 )一梯形的直 观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形 OA′B′C′的面积为 2，则原梯形的面积为 ( A． 2 C． 2 2 B. 2 D． 4 )．
1.2.3空间几何体的直观图(2)
探 三视图与直视图的关系 究
可以由三视图得到直观图。
a
c
b
c 侧视图
正视图
b a
俯视图
可以由直观图得到三视图。
正 视 图 俯 视 图
侧 视 图
三视图从细节上刻画了空间几何体的结 构，根据三视图，我们可以得到一个精确的 空间几何体，由于三视图的这个特点，使它 在生产活动中得到广泛应用（零件图纸、建 筑图纸等都是三视图）。
球体
例二 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方 体的直观图。
z
y
yபைடு நூலகம்
C1
D1
A1
3
D
Q
B1 C N B
x
A
M P
o
x
4
基本步骤：
（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使 ∠ xoy=45°，∠ xoz=90°。
Z
y
O
x
（2）画底面。以O为中心，在x轴上取线段MN， 使MN=4cm;在y轴上取线段PQ，是PQ=3/2cm.分 别过M和N作y轴的平行线，过P河Q作x轴的平行 线，设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是长方形的地面ABCD。 Z
2. 画底面
3. 画侧棱 4. 成图
确定线段长度
1. 如图为水平放置的正方形ABCO，它在直 角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在 用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶 点B‘到x’轴的距离为（ 2 ）。
y
A B （2,2）
2
O
C
x
2. 已知一四边形ABCD的水平放置的直观 图是一个边长为2的正方形，请画出这个图 形的真实图形. y
直观图是对空间几何体的整体刻画， 人们可以根据直观图的结构想象。
1.2.3空间几何体的直观图
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
练习:画水平放置的圆的直观图.
y
C E G
y′
C'
E'
A
O
B
x
A'
O′
D'
B'
x′
F'
D FH
例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图
D’ C’ B’
A’
C
A
B
1 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
D
C
A
y
M
D
P
B
O
Q
C
N
B
A
x
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
C
A
D
A
B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出 它的直观图 Z · y
O
y
x
· O
· O · O
侧视图
1 MN= MN .以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF. y
F
M
E
A
y
F M E
N
A
B
O
D
C
x
B
O
D
C
x
N
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
2、空间几何体的直观图的画法
1.2.3空间几何体的直观图
cm;在
轴上取线段PQ,使PQ= 1.5 cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
Q
M
D
O
C
A
N
B
x
PHale Waihona Puke 3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.
y
F
E E
A
O
A
B
C
D
x
x
B
O C
D
x
例2：用斜二测画法画长,宽,高分别是 4cm,3cm,2cm的长方体的直观图
2cm 3cm
4cm
1 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使xOy=45 ,
xOz 90 .
Z
y
O
x
2 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
C
A
B
O
x
N
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
x Oy=45 或135
，它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画
就可得到长方体的直观图.
D
C
B
C
A
D
A
B
例3：已知几何体的三视图，用斜二测画法画出 它的直观图 Z · y
1.2.3 空间几何体的直观图
变式练习： 变式练习
已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图 ( 3 2 a 8 C. 6 2 a 8 D. ) 6 2 a 16
△A′B′C′的面积为 A. 3 2 a 4 B.
解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．
3 1 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a， 4 2 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′，则 C′D′＝ 6 6 2 1 1 ∴S△A ′B′C′＝ A′B′· C′D′＝ ×a× a＝ a . 2 2 8 16 答案：D 2 6 O′C′＝ a. 2 8
注意！！！ 注意！！！
由直观图还原为平面图形时，注意平行 轴的线段 轴的线段， 由直观图还原为平面图形时，注意平行y′轴的线段， 要变为2倍长度．如例 要变为 倍长度．如例2. 倍长度
反思感悟：善于总结，养成习惯 对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 S′＝ 迁移发散 3．如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的 直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形 是 A．正方形 C．菱形 B．矩形 D．一般的平行四边形 ( ) 2 S，能进行相关问题的计算． 4
解析：将直观图还原得▱OABC，则 ∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2(cm)， OD＝2O′D′＝4 2(cm)， C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)， OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋(4 2)2＝6(cm)，
OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原图形为菱形． 答案：C
将直观图还原为平面图 把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维， 把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆 用斜二测画法规则可还原为原来的图形． 用斜二测画法规则可还原为原来的图形．
1.2.3 空间几何体的直观图
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(12分)画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面) 的直观图．
【思路点拨】 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
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【 规 范 解 答 】 画 法 ： (1) 画 轴 ． 画 x′ 轴 、 y′ 轴 、 z′ 轴 ， 使
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解：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在 的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所 示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.
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(2)如图①所示，过 D 点作 DE⊥x 轴，垂足为 E.如图② 所示，在 x′轴上取 A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝32 3 cm；过 E′作 E′D′∥y′轴，使 E′D′＝12ED＝34cm，再 过点 D′作 D′C′∥x′轴，且使 D′C′＝CD＝2 cm.
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2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 画 法 ： (1) 画 轴 ： 画 O′x′ 轴 、 O′y′ 轴 、 O′z′ 轴 ， ∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图．
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【题后总结】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′ 轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平 行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此 确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
1.2.3空间几何体的直观图
教师姓名胡柱石、汤玉龙 年级 高一 科目 数学 课题 1.2.3空间几何体的直观图学习目标 1、掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图2、采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点学法指导1、认真阅读教材 P 16——P 19 的内容2、对照学习目标，完成导学案，适当总结。
一、新课导学：阅读教材P 16——P 18页探究上面的内容，完成：1.直观图：用来表示空间图形的平面图形（通常是在 平行投影下画出的），叫做空间图形的直观图。
2.斜二测法：斜二测画法是一种画直观图的方法，是一种特殊的平行投影画法， 其步骤为：(1)（画轴规则)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴(立体图形增画z 轴),两轴相交于点O ,画直观图形时，把它们画成对应的x '轴y '轴（或z '轴），两轴相交于点O '且使 45='''∠y O x 或 135（ 90='''∠z O x ），它们确定的平面表示水平面（或竖直平面）.(2)（平行规则）已知图形中平行于x 轴或y 轴（z 轴）的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴（z '轴）的线段.(3)（长度规则）已知图形中平行于x 轴（或z 轴）的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y 轴的线段长度变为 .记忆口诀：横长竖长不变，纵长减半，平行关系不变.3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：画轴（使图形上的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称）——画线——取长度.4.画立体图形的直观图的步骤：画轴——画底面——画侧棱（或高）——连线成图.5.三视图与直观图的联系与区别：(1)联系：三视图与直观图都是用 图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征的.（2）区别： 图从细节上刻画了空间几何体的结构，由它可以得到一个精确的几何体（如建筑制图）. 图是对空间几何体的整体刻划，可视性高，立体感强，由此可以想象实际物体的形状.二、学习新知探究点一、用斜二测画法画平面图形的直观图例1：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图小结：归纳平面多边形直观图的基本步骤.（1）：（2）：（3）：探究点二、简单几何体的直观图画法：例1：用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm 的长方体的直观图探究点三、已知几何体的三视图，画直观图例题：教材P18页三、达标检测：1．画出一个边长为5cm 的等边三角形的直观图。
1.2.3 空间几何体的直观图
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
●课堂精讲
1、已知 是正三角形，且它的边长为 ，那么 的平面直观图 的面积为（）
A. B. C. D.
2、如图， 为水平放置的 的直观图，其中 ，则
的面积为_________.
●课后反馈
1、若在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）
A.平行但不相等B.平行且相等
C.相等但不平行D.既不平行也不相等
2、如图甲为水平放置的等腰三角形 ，则乙图所示的四个图中，可能是 的直观图的
是（）
A.①②B.②③C.②④D.③④
3、如图，图①是图②所示几何体的________视图.
4、利用斜二测画法画直观图时，下列说法：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得到的直观图可能不同
3、下列说法正确的是（ ）
A.互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
4、如图，是一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
5、如图是水平放置的三角形 在平面直角坐标系中的直观图，其中 是 的中点，在原三
A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点
2、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）
A.原图形中平行于 轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度不变
B.原图形中平行于 轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度变为原来的
C.画与平面之间角坐标系 对应的坐标系 时，∠ 必须是45º
2015年湖南师大附中高一数学必修二全套课件：1.2-3空间几何体的直观图【湘教版】
思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图，关键是确定直观图中各顶点的位 置，我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作？ y
D C
y′
D′ C′
A
B x
A′
B′
x′
思考4:你能用上述方法画水平放置的正 六边形的直观图吗？
y F M
A E
y′ F′ M
E′ D′ x′ x D A′
o
B N C
o′ N
B′
C′ F′
E′ 平面图形的直 观图的方法叫做斜二测画法，你能概括 出斜二测画法的基本步骤和规则吗？ （1）建坐标系，定水平面； （2）与坐标轴平行的线段保持平行； （3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
D′
B′
C′
C
A′
D
y B′ Q
o
A
P
B
A
B
思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥？
z C C
S
y B
A
B
A
o
M
x
S
C
A B
思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 几个步骤进行？ 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
思考5:已知一个几何体的三视图如下， 这个几何体的结构特征如何？试用斜二 测画法画出它的直观图.
1.2
空间几何体的三视图和直观图
第三课时
空间几何体的直观图
知识背景
正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛运 用。 但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般 采用斜投影或中心投影。
1.2.3空间几何体的直观图
正视图侧视图俯视图长方体下面是一个几何体的三视图，想象它的空间结构，给出它的名字.导入新课观察我们已经学习了三视图的画法，那这个图又是怎么画出来的呢？它和三视图比较各有什么特点？这节课将会解答这些问题。
1.2.3空间几何体的直观图教学目标知识与能力•掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图. •采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
过程与方法•学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
情感态度与价值观•提高空间想象力与直观感受。
•体会对比在学习中的作用。
•感受几何作图在生产活动中的应用。
教学重难点•用斜二测画法画空间几何值的直观图。
重点难点•用斜二测画法画空间几何值的直观图。
下图是相应几何体的直观图。
圆台 棱柱 棱台 圆锥棱锥 圆柱 球体空间几何体的直观图通常是在平行投影下画的空间图形。
要画空间几何体的直视图，首先要学会水平放置的平面图形的画法。
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，常用它来画空间几何体的直观图.我们先学习用斜二测画法来画水平放置的平面图形的直观图。
画水平放置边长为2cm 的正六角形的直观图。
例一(1)在六边形ABCDEF 中，取AD 坐在的直线为x 轴，对称轴MN 坐在直线为y 轴，两轴交与点O.画对应的x ‘轴和y ’轴，两轴交与点O'，使∠ x'o'y'=45°。
x yO A B C DEF M N x 'y ''O(2)以O '为中心，在x '上取A ' D ' =AD ，在y '轴上取M ' N ' =1/2MN.以点N '为中心，画B ' C '平行于x '轴，并且等于BC ：再以M '为中心，画E ' F '平行于x '轴，并且等于EF 。
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[A 基础达标]
1．(2016·合肥检测)下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )
A．用斜二测画法画出的空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与原几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
答案：B
2．(2016·威海检测)如图所示的图形的直观图所表示的平面图形是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案：D
3．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直
观图中，∠A′等于( )
A．45° B．135°
C．90° D．45°或135°
解析：选D.因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测
画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D.
4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的
距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离
为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直
观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.
5. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底
长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.12＋22 B．1＋22
C．1＋2 D．2＋2
解析：选D.因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC.
因为∠A′B′C′＝45°，所以∠ABC＝90°.
所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，
即S梯形ABCD＝2＋2.
6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为________．
解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′
为平行四边形，且AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．
答案：正方形
7. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则
原四边形OPQR的周长为________．
解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四
边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案：10
8．如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标
为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：在直观图中四边形A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边
形，所以顶点B′到x′轴的距离为22.
答案：22
9．如图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：由几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为2的圆锥．画法：
(1)画轴：如图①所示，画x，y，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆锥的底面：在平面xOy上画底面半径为1的圆的水平放置的直观图．
(3)画圆锥的顶点：在Oz轴上截取OP＝2.
(4)成图：连接PA，PB，擦去辅助线和字母，得圆锥的直观图，如图②所示．
10. 如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等
腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．
解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图
仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，
O′D′＝12OD，梯形的高D′E′＝24，于是梯形A′B′C′D′的面积为12×(1＋2)×24＝328.
法二：梯形ABCD的面积S＝12(DC＋AB)×OD
＝12(1＋2)×1＝32.
所以梯形ABCD直观图的面积为
S′＝24S＝24×32＝328.
[B 能力提升]
1．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′
＝2，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
解析：选C.设y′轴与B′C′交于点D′，则O′D′＝22.在原图形中，OD＝42，CD＝2，
且OD⊥CD，
所以OC＝（42）2＋22＝6＝OA，所以原图形是菱形．
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )
答案：C
3．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正
三角形，那么原△ABC的面积为________．
解析：法一：过C′作C′M′∥y′轴，且交x′轴于M′.
过C′作C′D′⊥x′轴，且交x′轴于D′，则C′D′＝32a.
所以∠C′M′D′＝45°，所以C′M′＝62a.
所以原三角形的高CM＝6a，底边长为a，其面积为S＝12×a×6a＝62a2.
法二：因为S△A′B′C′＝12×a×32a＝34a2.
由S直观图＝24S原图得，
S△ABC＝42S△A′B′C′＝42×34a2＝62a2.
答案：62a2
4．(选做题)一个圆锥的底面直径是1.6 cm，在它的内部有一个底面直径为0.7 cm，高
为1 cm的内接圆柱．
(1)画出它们的直观图；
(2)求圆锥的母线长．
解：(1)①画轴．取x轴、y轴、z轴，记坐标原点为O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°
(如图①所示)．
②画底面．以O为中心，按x轴、y轴画一个直径等于1.6 cm的圆的直观图．
③画内接圆柱．以O为中心，按x轴、y轴画一个直径等于0.7 cm的圆的直观图，然
后在z轴上取线段OO′＝1 cm，过点O′作平行于x轴的x′轴，平行于y轴的y′轴，再以O′
为中心，利用x′轴、y′轴画一个直径为0.7 cm的圆的直观图．再画圆柱的两条母线，使它们
与这两个椭圆相切．
④成图．画圆锥的两条母线，再加以整理，就得到所要画的直观图(如图②所示)．
(2)设圆锥的高为h，
则h－1h＝0.71.6，
解之得h＝169.
所以圆锥的母线长为
l＝R2＋h2＝0.82＋1692
＝448145.