医用高数精选习题(含答案)

医用高数精选习题(含答案)高等数学第1-3章一、求下列各极限1.求极限$\lim\limits_{2x\to1}\tan\dfrac{3(x-1)}{x}$；2.求极限$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x^2-1}$；3.求极限$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\sin x$；4.求极限$\lim\limits_{2x\to(\pi-2x)}\dfrac{\cosx}{\ln(1+x^2)}$；5.当$x\to0$时，$\ln(1+x)-(ax^2+bx)$是$x^2$的高阶无穷小，求$a$，$b$的值；6.求极限$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\tan x-\sqrt{\cos2x}}{x^3}$；7.求极限$\lim\limits_{x\to0}(\sin x+\cos x)$；8.求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$。

二、求下列各函数的导数或微分1、求函数$y=\cos x\cdot\ln\tan x$的导数；2、设$y=x\arcsin\dfrac{1}{\tan^2x}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；3、求$y=f(2(1-x)e^x)$的导数，其中$f(u)$可导；4、设$y=\ln\dfrac{\sqrt{a^2+2x}-a}{2x-a-\ln(x+x^2-a^2)}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；5、设$y=\dfrac{2}{x^2+2}$，求$\mathrm{d}y$；6、设方程$xy-e^x+e=0$确定了$y$是$x$的隐函数，求$y''$；7、设$y=\ln(1+e^x)+\dfrac{x}{\sin x}$，求$\mathrm{d}y$；8、设$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+2\Delta x)-f(x)}{\Delta x^2}=\dfrac{1}{2}$，$(x\neq0)$，求$\mathrm{d}f(2x)$。

三、应用题1.讨论函数$y=2x-3x^2$的（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点；2.求函数$f(x)=\sin x+\cos x$在$[0,2\pi]$上的极值；3.求函数$f(x)=x+\dfrac{1-\ln x^2}{\sqrt{x}}$$(x>0)$的极值；4.在某化学反应中，反应速度$v(x)$与反应物的浓度$x$的关系为$v(x)=kx(x-x_0)$，其中$x_0$是反应开始时反应物的浓度，$k$是反应速率常数，问反应物的浓度$x$为何值时，反应速度$v(x)$达到最大值？四、选择题1．设$f(x)=x$，则$f(2+\Delta x)-f(2)$$=$（）A．$2\Delta x$；B．$2$；C．$\Delta x$；D．$\Delta x^2$。

2．设$y=f(x)$的定义域为$[-1,1]$，则$y=f(x+a)+f(x-a)$$(|\!a\!|\leq1)$的定义域是（）A．$[a-1,a+1]$；B．$[-a-1,-a+1]$；C．$[1-a,a-1]$；D．$[a-1,1-a]$。

3．若函数$f(x)$在某点$x$极限存在，则（）A．$f(x)$在$x$的函数值必存在且等于极限值；B．$f(x)$在$x$的函数值必存在，但不一定等于极限值；C．$f(x)$在$x$的函数值可以不存在；D．如果$f(x)$存在的话必等于极限值。

4．若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，则（）A．$\lim\limits_{x\to x_0}f(x+2)=A$；B．$\lim\limits_{x\to x_0+2}f(x)=A$；C．$\lim\limits_{x\to x_0-2}f(x)=A$；D．$\lim\limits_{x\to x_0}f(x-2)=A$。

A。

当 $g(x)$ 为任意函数时，有 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=$B。

仅当 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$ 时，才有$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=0$C。

当 $g(x)$ 为有界函数时，有 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=0$D。

仅当 $g(x)$ 为常数时，才能使 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)$ 成立5.设 $y=f(x)$，且 $f(0)=0$，则 $f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}$6.设函数 $f(x)=\dfrac{x-1}{x-1}$，则 $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=-1$7.无穷小量是一个很小很小的数8.当 $x\to\infty$，与无穷小量 $e^{2x}-1$ 等价的无穷小量是 $x$9.若函数 $y=f(x)$ 满足 $f'(x)=\dfrac{1}{2}$，则当 $\Delta x\to 0$ 时，$\Delta y$ 与 $\Delta x$ 同阶10.$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3\sin x}{\sin 3x}=1$11.如果 $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{3\sin mx}{2x}=\dfrac{4}{9}$，则 $m=\dfrac{9}{4}$12.若函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-2x}$ 在 $x=0$ 处连续，则$k=1$13.设 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{ax^2+2x}{x-1}=2$，则$a=2$14.若使函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{\sin x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=1$15.在 $x=1$ 处，函数 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 连续16.设 $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的可去间断点17.设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(-h)-f(x_0)}{h}=-f'(x_0)$18.设 $f(e^x)=2x$，则 $f'(x)=2e^x$19.设 $y=f(u)$，$u=e^x$，则$\dfrac{d^2y}{dx^2}=e^{2x}f''(u)+e^xf'(u)$2.选项中给出的是一些数学公式，需要在编辑时添加适当的符号和排版格式，才能使文章有意义。

因此，需要对每个选项进行编辑，添加符号和排版格式，使其成为一个完整的数学公式。

同时，需要删除明显有问题的段落，以确保文章的连贯性。

2.1.选项 A：$$\frac{d}{dx}e^{2x}f''(u)$$2.2.选项 B：$$u^2f''(u)+uf'(u)$$2.3.选项 C：$$e^xf''(u)$$2.4.选项 D：$$uf''(u)+uf(u)$$2.5.对于问题 20，根据题目，$$f(x) = \ln(1+x^2)$$ 因此，$$f''(x) = \frac{2x^2-2}{(1+x^2)^2}$$ 所以，$$f''(-1) = -\frac{1}{2}$$ 因此，答案为 A。

2.6.对于问题 21，根据题目，$$\arctan\frac{y}{x} =\ln(x^2+y^2)$$ 因此，$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{y}{x} =\frac{x(x^2+y^2)-y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$$ 所以，答案为 A。

2.7.对于问题 22，根据题目，$$y = x\ln x$$ 因此，$$dy = (\ln x + 1)dx$$ 所以，答案为 C。

2.8.对于问题 23，根据题目，$$y = x\ln x$$ 因此，$$y(10) = 10\ln 10$$ 所以，答案为 D。

2.9.对于问题 24，根据题目，$$f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$ 因此，$$f'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1$$ 所以，答案为 B。

2.10.对于问题 25，根据题目，如果函数在某点可导，则必连续。

因此，如果函数在某点不连续，则不可导。

因此，答案为 C。

2.11.对于问题26，根据题目，由于函数在$[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，因此根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$$ 所以，答案为 A。

2.12.对于问题 27，根据题目，曲线为 $y=e^x+5$，因此斜率为$e^x$。

因为题目中给出的斜率为$e^2$，因此$x=2$。

因此，点的坐标为 $(2,e^2+5)$。

所以，答案为 A。

2.13.对于问题 28，根据题目，$$f(x) = x^4-2x^2+5$$ 因此，$$f'(x) = 4x^3-4x$$ 解方程 $f'(x)=0$，得到 $x=0,\pm 1$。

因此，极值点为 $x=-2,-1,0,1,2$。

分别计算得到 $f(-2)=13,f(-1)=4,f(0)=5,f(1)=4,f(2)=13$。

因此，最大值为 $13$，最小值为$4$。

所以，答案为 D。

2.14.对于问题 29，根据题目，选项 A 是正确的。

因为函数在闭区间上连续，因此一定存在最大值和最小值。

所以，答案为 A。

2.15.对于问题 30，根据题目，设拐点为 $(x_0,y_0)$，则有：$$y_0 = ax_0^3-bx_0+c$$$$0 = 3ax_0^2-2b$$ 由于 $a$ 是非零值，因此$x_0$ 可以任意取值。

因此，选项B 是正确的。

所以，答案为 B。

2.16.对于问题 31，根据题目，$$f'(x) = \frac{1}{\pi}\cosx$$ 因此，$$f''(x) = -\frac{1}{\pi}\sin x$$ 在点 $x=x$ 处，$f'(x)=0$，$f''(x)<0$，因此 $x=x$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点。