医用高等数学(第三版)习题解答
高等数学c教材第三版答案
高等数学c教材第三版答案第一章：函数与极限1. 函数的概念及性质1.1 函数的定义1.2 函数的图像和函数的性质1.3 函数的分类2. 极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 函数的连续性3. 无穷级数3.1 无穷级数的概念3.2 收敛级数与发散级数3.3 常见级数的性质第二章：导数与微分1. 导数与导数的计算1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义2. 高阶导数与微分2.1 高阶导数的概念2.2 高阶导数的计算2.3 微分的定义与性质3. 函数的应用3.1 驻点、极值与拐点3.2 泰勒展开3.3 曲线的图形与绘制第三章：积分与不定积分1. 积分与不定积分的概念1.1 积分的定义1.2 不定积分的定义和性质1.3 常用初等函数的不定积分2. 定积分与反常积分2.1 定积分的定义和性质2.2 反常积分的概念和收敛性2.3 常见函数的定积分计算3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理的两个部分3.2 平均值定理与洛必达法则3.3 曲线的长度与曲面的面积第四章：微分方程1. 微分方程与基本概念1.1 微分方程的基本概念1.2 微分方程的解与解的存在唯一性1.3 一阶线性微分方程2. 高阶线性常微分方程2.1 高阶线性常微分方程的基本理论 2.2 常系数齐次线性微分方程2.3 变系数线性常微分方程3. 常微分方程的应用3.1 物理问题中的微分方程3.2 生物问题中的微分方程3.3 工程问题中的微分方程总结：本文按照《高等数学C教材第三版》的章节划分，分别对每一章节的知识点进行了论述。
通过对函数与极限、导数与微分、积分与不定积分以及微分方程等内容的讲解，希望读者能够全面理解高等数学C 教材第三版所涉及的知识，并为学习提供参考答案。
高等数学是大学数学的一门重要课程，掌握好这门课的知识对于理工科等相关专业的学生来说至关重要。
希望本文所提供的答案能够帮助读者更好地理解和学习高等数学C教材第三版的内容。
医用高等数学知到章节答案智慧树2023年南方医科大学
医用高等数学知到章节测试答案智慧树2023年最新南方医科大学第一章测试1.的反函数是：（）。
参考答案:2.关于函数的定义域，下面说法错误的是：（）。
参考答案:如果含有三角函数,反三角函数时,其自然定义域为R3.关于三角函数，下面说法错误的是：（）。
参考答案:反正切函数:4.复合函数可分解为：（）。
参考答案:5.已知,则（）。
参考答案:6.是什么函数？（）参考答案:分段函数7.下面极限错误的是（）。
参考答案:8.的极限是（）。
参考答案:不存在9.（）。
参考答案:110.关于函数，下面说法正确的是（）。
参考答案:其他三项都对11.f和g是同一极限过程的两个无穷小下面说法正确的是（）。
参考答案:A,B,C都对12.（）。
参考答案:13.参考答案:14.（）。
参考答案:115.处连续，则（）。
参考答案:16.的连续性，下面说法正确的是（）。
参考答案:是无穷间断点17.（）。
参考答案:118.方程区间有几个根？（）参考答案:至少有1个根19.（）。
参考答案:20.（）。
参考答案:第二章测试1.的导数是（）。
参考答案:2.，在处（）。
参考答案:连续3.，且（）。
参考答案:4.（）。
参考答案:5.（）。
参考答案:6.=（）。
参考答案:-207.（）。
参考答案:88.（）。
参考答案:0，-19.，若函数在=1处可导，a和b的值分别为（）。
参考答案:2，-110.（）。
参考答案:11.函数的单调递减区间为（）。
参考答案:12.函数的所有极值点为（）。
参考答案:（1，4）13.函数在[2, 5]上的最小值和最大值分别为（）。
参考答案:5，2514.曲线的所有拐点为（）。
参考答案:（0，1）、（）15.（）。
参考答案:16.（）。
参考答案:17.（）。
参考答案:118.（）。
参考答案:e19.（）。
参考答案:120.（）。
参考答案:1第三章测试1.如果，则的一个原函数为（）.参考答案:;2.如果，则的一个原函数为（）.参考答案:;3.如果是在区间I上的一个原函数，则= （）.参考答案:;4.如果，则（）.参考答案:;5.如果，则（）参考答案:;6.不定积分（）.参考答案:.7.不定积分（）.参考答案:;8.下列凑微分正确的是（）.参考答案:.9.不定积分（）.参考答案:;10.不定积分（）.参考答案:;11.不定积分（）.参考答案:;12.不定积分（）.参考答案:;13.如果是的一个原函数，则（）.参考答案:;14.不定积分（）.参考答案:;15.不定积分（）.参考答案:16.不定积分（）.参考答案:;17.不定积分（）.参考答案:;18.不定积分（）.参考答案:;19.不定积分（）.参考答案:;20.不定积分（）.参考答案:;第四章测试1.设函数f (x)连续，，则（）。
医用高等数学教材答案
医用高等数学教材答案[注意：以下为虚构内容，并非真实的医用高等数学教材答案]第一章：微积分基础1. 解答：a) 设医学函数f(x)表示患者血压变化情况。
根据观察数据，当时间t 以分钟为单位递增时，血压p以毫米汞柱为单位递减。
则可用函数f(x) = -0.1x + 180来描述患者血压的变化规律，其中x为时间，f(x)为血压值。
b) 患者血压在15分钟内的平均变化率为：平均变化率 = (p2 - p1) / (t2 - t1)假设15分钟内血压从 p1 = 180mmHg 下降到 p2 = 160mmHg，则平均变化率为：平均变化率 = (160 - 180) / (15 - 0) = -4mmHg/min因此，患者血压在15分钟内的平均变化率为-4mmHg/min。
2. 解答：a) 医学函数f(x)描述了人体内一种物质的浓度变化规律。
根据观察数据，当时间t以小时为单位递增时，物质浓度c以毫升为单位递增。
则可用函数f(x) = 0.2x + 3来描述物质浓度的变化规律，其中x为时间，f(x)为物质浓度。
b) 物质浓度在4小时内的平均变化率为：平均变化率 = (c2 - c1) / (t2 - t1)假设4小时内物质浓度从 c1 = 3ml 下降到 c2 = 5ml，则平均变化率为：平均变化率 = (5 - 3) / (4 - 0) = 0.5ml/h因此，物质浓度在4小时内的平均变化率为0.5ml/h。
第二章：概率与统计1. 解答：a) 使用二项分布模型可以描述医学试验中的二元结果。
设试验成功的概率为p，失败的概率为q = 1-p。
则试验重复n次，成功k次的概率可由二项分布公式计算：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数。
b) 假设一种药物在治疗特定疾病时的成功率为80%（p=0.8），现在进行了100次治疗试验。
则治疗成功50次的概率为：P(X=50) = C(100,50) * 0.8^50 * 0.2^50 ≈ 0.079因此，治疗成功50次的概率约为0.079。
医用高等数学完整答案
医用高等数学完整答案第一部分：导数及其应用导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在医用高等数学中，导数的应用非常广泛，例如在药物动力学、生物力学等领域。
1. 导数的定义：导数可以理解为函数在某一点的变化率。
对于一个函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) f(a)] / h其中，h 表示自变量 x 的微小变化量。
2. 导数的几何意义：导数还可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
切线是函数图像在该点附近最接近的直线，斜率则表示切线与x 轴的夹角。
3. 导数的计算：导数的计算方法有很多种，包括求导法则、微分法则、链式法则等。
下面列举一些常用的求导法则：常数函数的导数为 0。
幂函数的导数为幂指数乘以幂函数的导数。
指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数。
对数函数的导数为底数的对数除以对数函数。
三角函数的导数可以根据三角函数的和差公式进行计算。
4. 导数的应用：导数在医用高等数学中的应用非常广泛，例如：药物动力学：通过求导可以计算药物在体内的浓度变化率，从而预测药物的疗效和副作用。
生物力学：通过求导可以计算生物体的运动速度和加速度，从而分析生物体的运动状态。
生理学：通过求导可以计算生理参数的变化率，从而分析生理过程的变化规律。
导数是医用高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，并在药物动力学、生物力学等领域有着广泛的应用。
第二部分：微积分的应用微积分是高等数学的另一个重要分支，它包括微分和积分两部分。
在医用高等数学中，微积分的应用同样非常重要，它可以帮助我们理解和分析医学问题。
1. 微分的应用：微分是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化情况。
在医学中，微分可以用来研究药物在体内的浓度变化、生物体的生长速度等。
例如，我们可以通过微分方程来描述药物在体内的代谢过程，从而预测药物的疗效和副作用。
2. 积分的应用：积分是微积分的另一个重要部分，它描述了函数在某个区间上的累积效果。
医学高等数学习题解答(1,2,3,6)
第一章函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h(x)=f(x)+f(x), 则h(x)= f(x)+f(x)= h(x)。
故为偶函数。
2. 错。
y=2ln x的定义域(0,+), y=ln x2的定义域(,0)∪(0,+)。
定义域不同。
3. 错。
故无界。
4. 错。
在x0点极限存在不一定连续。
5. 错。
逐渐增大。
6. 正确。
设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。
7. 正确。
反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1.2. y=x (C)3. (A)4. (B)5.(B)6. (D)7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是10。
(A)8. 设,则，连续，由介质定理可知。
(D)三、填空题题解1.2. 是奇函数，关于原点对称。
3. ,。
4. ,可以写成。
5. 设，，6. 有界，，故极限为0。
7.8. ,而，得c=6, 从而b=6, a=7。
9.10.11. 设u=ex1，12. 由处连续定义，，得：a=1。
四、解答题题解1. 求定义域(1) , 定义域为和x=0(2) 定义域为(3) 设圆柱底半径为r，高为h，则v=r2h, ，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+)。
(4) 经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为[0,+)。
2. ，，。
3. ,。
4. 证明：。
5. 令x+1=t, 则x=t1。
，所以：。
6. 求函数的极限(1) 原式=。
(2) 原式==。
(3) 原式==。
(4) 原式=。
(5) 原式==。
（P289常见三角公式提示）(6) 原式=，令，则，令，则，，原式=。
(7) 原式=== e3。
(8) 原式=== e2。
(9) 原式==。
(10) 令，则，原式=(填空题11)。
高等数学课后习题解答 上海交通大学出版社 第三版 习题8解答
第八章 多元函数的定义1．求下列函数的定义域，并作图表示：（1）arcsin 3xz =+ （2）()2ln 48;z y x =-+（3）z x = （4）z =（5）)0;z R r =>>（6）z =解答： 本题图略（1）30,03,0,0;x x y y -≤≤≤≤⎧⎧⎨⎨≤≥⎩⎩ （2）()242y x >-；（3）,0x y <+∞≤<+∞；（4）x ≥且0y ≥；（5）2222r x y R <+≤； （6） 1.xy >所属章节：第八章第一节 难度：一级2．试用不等式表示由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域（含边界）。
解答：201,x x y ≤≤≤≤ 所属章节：第八章第一节 难度：一级3．设(),,x f x y xy y=+求1,32f ⎛⎫⎪⎝⎭及()1,1.f - 解答：()15,3,1,1 2.23f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所属章节：第八章第一节 难度：一级4．设()22,tan ,xf x y x y xy y=+-求(),.f tx ty解答：()()2,,.f tx ty t f x y = 所属章节：第八章第一节 难度：一级5．设22,,x f x y x y y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求(),.f x y解答： 令11uv u x y x v xv u y y v ⎧=+⎧=⎪⎪⎪+⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪+⎩，代入原式得 222(1)(,)()()111uv u u v f u v v v v -=-=+++，即2(1)(,)1x y f x y y -=+注：如果题目是“设22,,y f x y x x y ⎛⎫=⎪⎭-+ ⎝求(),.f x y ”则答案为令11u u x y x v yuv v y x v ⎧=+=⎧⎪⎪⎪+⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪+⎩ ，代入原式得 222(1)(,)()()111u uv u v f u v v v v -=-=+++，即2(1)(,)1x y f x y y -=+。
医学高等数学习题解答(1,2,3,6)培训资料
医学高等数学习题解答(1,2,3,6)第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。
故为偶函数。
2. 错。
y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。
定义域不同。
3. 错。
+∞=→201limxx 。
故无界。
4. 错。
在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。
01lim =-+∞→xx 逐渐增大。
6. 正确。
设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。
反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B )6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。
(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。
(D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
医用高等数学答案
12kπ(k=±1,±2,…)为第Ⅱ类间断点.1.4 习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.求下列函数的定义域(1)y=(x+2)(x-1).解 由(x+2)(x-1)≥0定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)y=arccos(x-3).解 由-1≤(x-3)≤1定义域为[2,4].(3)y=lg x-1 x+2.解 由x-1x+2>0定义域为(-∞,-2)∪(1,+∞).(4)y=ln(2+x) x(x-4).解 由ln(2+x)≥0(2+x)≥1x≥-1;又x≠0,x≠4从而定义域为[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞).(5)y=12-x2+arcsin12x-1.解 由(2-x2)>0-2<x<2; 又由-1≤12x-1≤10≤x≤2;故定义域为[0,2).(6)y=x sin x.解 由sin x≠0定义域为(kπ,(k+1)π)(k=0,±1,±2,…).2.设f(x)=1+x2,x<0,12,x=0,-x,x>0.求f(0),f12,f lg12.解 f(0)=12,f12=-12,f lg12=f(-lg2)=1+(-lg2)2=1+(lg2)2.3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域(1)y=f x+13+f x-13.解 由0≤x+13≤10≤x-13≤1-13≤x≤2313≤x≤43定义域为13,23.(2)y=f(sin x).解 由0≤sin x≤1定义域为[2kπ,(2k+1)π](k=0,±1,±2,…).(3)y=f(ln x+1).解 由0≤ln x+1≤11e≤x≤1定义域为1e,1.(4)y=f(x2).解 由0≤x2≤1-1≤x≤1定义域为[-1,1].4.写出y关于x的复合函数(1)y=lg u, u=t an(x+1).解 y=lg[tan(x+1)].(2)y=u3, u=x2+1.解 y=(x2+1)32.(3)y=u+sin u, u=1-v, v=x3.解 y=1-x3+sin(1-x3).(4)y=e u, u=v2, v=sin w, w=1 x.解 y=exp sin21x.5.指出下列各函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成(1)y=e arc tan(2x+1).解 y=e u, u=arct an v, v=2x+1.(2)y=sin3(x+2).解 y=u32, u=sin v, v=x+2.(3)y=tan 1+x 1-x.解 y=tan u, u=v, v=1+x 1-x.(4)y=cosln3x2+1.解 y=cos u, u=v3, v=12ln w, w=x2+1.6.已知f(e x+1)=e2x+e x+1,求f(x)的表达式.解 f(e x+1)=e2x+e x+1=(e x+1)2-(e x+1)+1f(x)= x2-x+1.7.已知f tan x+1tan x=tan2x+1t an2x+3,x≠kπ2(k=0,±1,±2,…),求f(x)的表达式.解 f t an x+1tan x=tan2x+1tan2x+3=tan x+1tan x2+1f(x)=x2+1.8.求下列函数的极限(1)limn→∞(n+1-n)=limn→∞1n+1+n=0;(2)limn→∞n sin nn+1=limn→∞1n+1/nsin n;因为对于任意的自然数n,有0≤1n+1/nsin n≤1n+1/n,注意到lim n→∞0=limn→∞1n+1/n=0,由夹逼法则得lim n→∞1n+1/nsin n=0,即lim n→∞1n+1/nsin n=0,故lim n→∞n sin nn+1=0. (3)limn→∞1n2+2n2+…+n-1n2=limn→∞1n2·12(n-1)n=limn→∞121-1n=12. 9.求下列函数的极限(1)limx→-1x3-1x-1=limx→-1(x2+x+1)=1;(2)limx→1x2-12x2-x-1=limx→1(x+1)(x-1)(2x+1)(x-1)=limx→1x+12x+1=23;(3)limx→∞x2-13x2-x-1=limx→∞1-1x23-1x-1x2=13;(4)因为limx→1x2-5x+42x-1=0,所以limx→12x-1x2-5x+4=∞;(5)limx→3x+13-2x+1x2-9=limx→33(3-x)(x2-9)(x+13+2x+1)=limx→3-3(x+3)(x+13+2x+1)=-116;(6)limx→+∞x2+1-1x=limx→+∞xx2+1+1=limx→+∞11+1x2+1x=1;(7)limx→111-x-21-x2=limx→1x-11-x2=limx→1-11+x=-12;(8)limx→01-cos xx sin x=limx→02sin2x2x·2sinx2cosx2=limx→0sinx2x cosx2=limx→0sinx22·x2·cosx2=12;(9)limx→1(1-x)tanπ2x=limt→0t tanπ2(1-t)=limt→0t cotπ2t=limt→02π·π2tsinπ2tcosπ2t=2π;(10)limx→0tan x-sin xx3=limx→0sin xx·1cos x·1-cos xx2=limx→0sin xx·12cos x·sinx2x22=12;(11)limx→1x21-x=limt→0(1-t)2t=limt→0(1-t)1-t2=limt→0(1-t)1-t2=e2;(12)limx→0(1-3x)1x=limx→0(1-3x)1-3x-3=limx→0(1-3x)1-3x-3=e-3;(13)limx→∞x-11+xx-1=limx→∞1-21+xx-1=limx→∞1-21+xx+11-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-21-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-2limx→∞1-21+x-2=e-2;(14)limx→0x+ln(1+x)3x-ln(1+x)=limx→01+1xln(1+x)3-1xln(1+x)=limx→01+ln(1+x)1x3-ln(1+x)1x=1+13-1=1;(15)limx→-1ln(2+x)31+2x+1=limx→-1[(1+2x)23-(1+2x)13+1]ln(2+x)1+2x+1=32limx→-1ln(2+x)1+x=32limt→0ln(1+t)t=32limt→0ln(1+t)1t =32ln limt→0(1+t)1t=32;(16)limx→∞2x+32x+1x+1=limx→∞1+22x+1x+1=limx→∞1+1x+12x+1=limx→∞1+1x+12x+121+1x+1212=limx→∞1+1x+12x+12limx→∞1+1x+1212=e.10.已知limx→1x2+bx+61-x=5,试确定b的值.解 由于分母极限为0,故只有分子的极限也为0时整个分式才可能有极限0型极限,其结果是个非0有限数值时,说明分子分母为同阶无穷小量,即limx→1(x2+bx+6)=0b=-7. 11.已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)存在,试确定a的值,并求出极限值.解 limx→+∞(2x-a x2-x+1)=limx→+∞4x2-a x2+x-12x+ax2-x+1=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1存在.所以分子分母为同次式(分母本质上是一次式),即4-a= 0a=4.lim x→+∞(2x-4x2-x+1)=limx→+∞x-12x+4x2-x+1=limx→+∞1-1x2+4-1x+1x2=14. 12.当x→0时,将下列函数与x进行比较,哪些是高阶无穷小?哪些是低阶无穷小?哪些是同阶无穷小?哪些是等价无穷小?(1)tan3x.解 limx→0t an3xx=limx→0sin xx·tan2xcos x=limx→0sin xx·limx→0tan2xcos x=0当x→0时,tan3x是x的高阶无穷小;(2)1+x2-1.解 limx→01+x2-1x=limx→0x1+x2+1=0当x→0时,1+x2-1是x的高阶无穷小;(3)csc x-cot x.解 limx→0csc x-cot xx=limx→01-cos xx sin x=limx→0sin2x2x sinx2cosx2=limx→012sinx2x2cosx2=12当x→0时,csc x-cot x是x的同阶无穷小;(4)x+x2sin 1 x.解 limx→0x+x2sin1xx=limx→01+x sin1x=1当x→0时,x+x3sin 1x是x的等价无穷小;(5)cos π2(1-x).解 limx→0cosπ2(1-x)x=limx→0sinπ2xx=π2limx→0sinπ2xπ2x=π2当x→0时,cos π2(1-x)是x的同阶无穷小;(6)1+tan x -1-sin x .解lim x →01+tan x -1-sin x x=lim x →0tan x +sin x x (1+tan x +1-sin x)=limx →0sin xx 1+1cos x(1+tan x +1-sin x)=1当x →0时,1+t an x -1-sin x 是x 的等价无穷小.13．已知当x →0时,(1+ax 2-1)与sin 2x 是等价无穷小,求a 的值.解 limx →01+ax 2-1sin 2x =lim x →0ax 2(1+ax 2+1)sin 2x=a2=1a =2.14．设 f (x)=e x ,x <0,a +ln (1+x),x ≥0. 在(-∞,+∞)内连续,求a 的值.解 lim x →0-f (x)=lim x →0-e x=1,lim x →0+f (x)=lim x →0+[a +ln (1+x)]=a a =1.15．讨论函数f (x)=e 1x,x <0,0,x =0,x sin1x,x >0. 在点x =0处的连续性.解 因为lim x →0-f (x)=lim x →0-e 1x=0,lim x →0+f (x)=lim x →0+x sin 1x =lim x →0f (x)=0=f (0),所以f (x)在点x =0处连续.16．讨论函数f (x)=1,x =0,x sin 1x,x ≠0. 在点x =0处的连续性.解 因为lim x →0f (x)=lim x →0x sin1x=0≠f (0)=1,所以f (x)在点x =0处不连续.17．设f (x)=2,x =0,ln (1+a x)x,x ≠0. 在点x =0处连续,求a 的值.解 因为lim x →0f (x)=lim x →0ln (1+a x)x=a lim x →0ln (1+ax)1a x=a =f (0)=2,所以a =2.18．确定下列函数的间断点与连续区间:(1)y =x ln x．解 间断点为x =1;连续区间为(0,1)∪(1,+∞).(2)y =x -2x 2-5x +6.解 y =x -2(x -2)(x -3),间断点为x =2,x =3;连续区间为(-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞).(3)f (x)=1-x 2,x ≥0,sin |x |x ,x <0.解 lim x →0-f (x)=limx →0-sin |x |x =-1,lim x →0+f (x)=lim x →0+(1-x 2)=1lim x →0-f (x)≠lim x →0+f (x).因此,间断点为x =0;连续区间为(-∞,0)∪(0,+∞).(4)f (x)=limn →+∞11+xn (x ≥0).解 f(x)=1,0≤x<1,12,x=1,0,x>1,间断点为x=1;连续区间为[0,1)∪(1,+∞).1．5 自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)对1～6个月的婴儿,由月龄估计体重的经验公式为y= f(t)=3+0．6t(t表示月龄,y表示体重),则在这个实际问题中f(t)的定义域是.A.(-∞,+∞);B.(0,+∞);C.[1,6];D.以上都不是.(2)函数f(x)=3-x+arccos x-23+1的定义域是.A.(-1,3);B.[-1,3);C.(-1,3];D.[-1,3].(3)设f(x)=x+1x,则下式成立的是.A.f(x)=f 1x;B.f(x)=1f(x);C.f(x)=f1f(x);D.f(x)=1f1x.(4)函数y=a x8+8是由复合而成.A.y=a u,u=v12,v=x8+8;B.y=a u,u=x8+8;C.y=au12,u=x8+8;D.y=a12u,u=x8+8.列表讨论如下:t (0,t 1)t 1(t 1,t 2)t 2(t 2,+∞)C ′(t)+0--C ″(t)--0+C(t)↗凸极大值↘凸拐点↘凹 C(t)的最大值:C max=C(t 1)=A σ1σ2σ1σ2σ1-σ2;C(t)的拐点值:C(t 2)=A(σ1+σ2)σ21σ2σ12σ2σ1-σ2.请读者描绘出函数图像.2.4 习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.若一质点作直线运动,已知路程s 与时间t 的关系是s =3t 2+2t +1.试计算从t =2到t =2+Δt 之间的平均速度,并计算当Δt =0．1,Δt =0．01时的平均速度,再计算t =2时的瞬时速度.解 平均速度 珔v =Δs Δt =s(2+Δt)-s(2)Δt=3Δt +14.当Δt =0．1时,珔v =14．3;当Δt =0．01时,珔v =14．03;因此,t =2时的瞬时速度v ′(2)=lim Δt →0珔v =lim Δt →0(3Δt +14)=14. 2.按导数定义计算下列函数在指定点的导数.(1)f (x)=sin2x,x =0.解 f ′(0)=lim Δx →0f (0+Δx)-f (0)Δx =lim Δx →0sin2ΔxΔx=2.(2)f (x)=11+x,在x(x ≠-1)点.解 f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→011+(x+Δx)-11+xΔx=limΔx→0-1(1+x+Δx)(1+x)=-1(1+x)2.(3)f(x)=x+1,在x=0点.解 f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0Δx+1-1Δx=limΔx→0 1Δx+1+1=2.(4)f(x)=2x-x2,在x点.解 f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0(2-2x-Δx)=2-2x.3.设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限(1)limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.解 设x=x0+Δx,则原式=limx→x0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).(2)limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx.解 原式=12limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12f′(x0).(3)limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx.解 原式=lim-Δx→0f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=f′(x0).(4)limn→∞n f x0+1n-f(x0).解 原式=lim1 n →0f x0+1n-f(x0)1n=f′(x0).(5)limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h.解 原式=limh→0f(x0+h)-f(x0)-[f(x0-h)-f(x0)]h=2f′(x0).(6)limt→0f(x0+αt)-f(x0+βt)t.解 原式=limt→0α·f(x0+αt)αt-β·f(x0+βt)βt=(α-β)f′(x0).4.讨论下列函数在x=0点是否可导.(1)f(x)=x32sin1x,x>0 0,x≤0.解 f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx,而f′-(0)=limΔx→0-f(Δx)Δx=limx→0-0=0,f′+(0)=limΔx→0+f(Δx)Δx=limx→0+(Δx)32sin1ΔxΔx=0.所以,f(x)在x=0点可导且f′(0)=0.(2)f(x)=x1+e1x,x≠0, 0,x=0.解 f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=limΔx→011+e1Δx.而f′-(0)=limΔx→0-11+e1Δx=1, f′+(0)=limΔx→0+11+e1Δx=0.所以f(x)在x=0点不可导.5.确定a,b的值,使f(x)=x2,x≤1,ax+b,x>1在x=1点处可导.解 要使f(x)在x=1处连续,必须有limx→1+f(x)=limx→1-f(x)=f(1).而lim x→1-f(x)=limx→1-x2=1, lim x→1+f(x)=limx→1+(ax+b)=a+b,f(1)=1,从而a+b=1.f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1+Δx)-1Δx,f′-(1)=limΔx→0-f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0-(1+Δx)2-1Δx=2,f′+(1)=limΔx→0+f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0+a(1+Δx)+b-1Δx=a.要使f(x)在x=1处可导,应有f′-(1)=f′+(1),即a=2,又a+b= 1,从而得b=-1.＊6.若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限lim n→∞f x0+1nf(x0)n.解 limn→∞f x0+1nf(x0)n=limn→∞exp n lnf x0+1nf(x0)=limn→∞expln f x0+1n-ln f(x0)1n=exp limn→∞ln f x0+1n-ln f(x0)1n=expdln f(x)d x x=x0=exp1f(x)·f(x)′x=x=exp1f(x0)·f′(x0)7.设曲线y=2x-x3.(1)求(1,1)点处曲线的切线方程及法线方程;(2)在(x0,y0)点处,曲线的切线通过点(0,-2),求(x0,y0)点及该点处曲线的切线方程和法线方程.解 y′=2-3x2.(1)在(1,1)点处曲线的切线斜率为k切=y′(1)=-1,因此切线方程:y-1=-1·(x-1), 即y=-x+2.法线方程:y-1=1·(x-1), 即y=x.(2)在(x0,y0)点处曲线的切线斜率为k切=y′(x0)=2-3(x0)2,切线方程为y-y0=[2-3(x0)2](x-x0),由于曲线过点(0,-2),有x0=-1,y0=-1.在(-1,-1)点, k切=-1,因此切线方程:y+1=-1·(x+1), 即y=-x-2.法线方程:y+1=1·(x+1), 即y=x.8.求下列函数的导数.(1)y=2x2+x22.解 y′=(2x-2)′+12x2′=-4x-3+x.(2)y=3x+3x+1 x.解 y′=3·x12′+x13′+(x-1)′=32x-12+13x-23-x-2.(3)y=x(2x-1)(3x+2).解 y′=(x)′(2x-1)(3x+2)+x(2x-1)′(3x+2) +x(2x-1)(3x+2)′=(2x-1)(3x+2) +2x(3x+2)+3x(2x-1).(4)y=x sin x+cos x.解 y′=(x)′sin x+x(sin x)′=sin x+x cos x.(5)y=x3+1x2-x-2.解 y′=(x3+1)′(x2-x-2)-(x3+1)(x2-x-2)′(x2-x-2)2=3x2(x2-x-2)-(x3+1)(2x-1)(x2-x-2)2.(6)y=1-ln x 1+ln x.解 y′=(1-ln x)′(1+ln x)-(1-ln x)(1+ln x)′(1+ln x)2=-2x(1+ln x)2.(7)y=x arctan x+sin x x.解 y′=(x)′arctan x+x(arctan x)′+sin xx′=12xarctan x+x1+x2+x cos x-sin xx2.(8)y=x tan x+x4x+xcos x.解 y′=tan x+x sec2x+4x-x4x ln442x+cos x+x sin xcos2x.(9)y=(2x2+3)3.解 y′=3(2x2+3)2·(2x2+3)′=12x(2x2+3)2.(10)y=ln(cot x).解 y′=1cot x·(cot x)′=1cot x·(-csc2x)=-1sin x cos x.(11)y=e sin x+arccos1-x2.解 y′=(e sin x)′+(arccos1-x2)′=e sin x cos x-11-(1-x2)2·-2x21-x2=e sin x cos x+x|x|1-x2.(12)y=x a2-x2+a2arcsin x a.解 y′=(x a2-x2)′+a2arcsin x a=a2-x2+x-2x2a2-x2+a211-xa2·1a=2a2-x2.(13)y= x+x+x.解 y′=12x+x+x(x+x+x)′=12x+x+x 1+12x+x(x+x)′=12x+x+x 1+12x+x1+12x.(14)y=sin(ln x)+ln(cos x).解 y′=cos(ln x)·1x+1cos x(-sin x)=1xcos(ln x)-tan x.(15)y=log2(x2-sin x).解 y′=1(x2-sin x)ln2(x2-sin x)′=2x-cos x(x2-sin x)ln2.(16)y=14ln1+x1-x+12arctan x+sinπ5.解 y′=14ln1+x1-x′+12(arctan x)′+sinπ5′=14·1-x1+x·1+x1-x′+12·11+x2=14·1-x1+x·2(1-x)2+12·11+x2=11-x4.(17)y=x ln x.解 利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x1 y ·y′=2ln x·1x,故 y′=2x l n x-1ln x.(18)y=x sin x.解 利用对数求导法,有ln y=sin x·ln x,1 y ·y′=cos x·ln x+sin x·1x,故 y′=x sin x cos x ln x+sin xx.(19)y=(sin x)co s x.解 利用对数求导法,有ln y=cos x·lnsin x,1 y ·y′=-sin x·lnsin x+cos x·cos xsin x,y′=(sin x)co s x(cos x cot x-sin x lnsin x). (20)y=(2x)x.解 利用对数求导法,有ln y=x·ln2x,1 y ·y′=12xln x+x·22x,故y′=(2x)x ln(2x)+22x.(21)y=x2x+(2x)x.解 y=e2x l n x+e x ln(2x).利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x,y′=e2x ln x·(2x ln x)′+e x ln(2x)(x ln2x)′=2x2x(ln x+1)+(2x)x(ln2x+1). (22)y=3x(x3+1)(x-1)2.解 利用对数求导法,有ln y=13[ln x+ln(x3+1)-2ln(x-1)],1 y ·y′=131x+3x2x3+1-2x-1,y′=133x(x3+1)(x-1)21x+3x2x3+1-2x-1. (23)y=(x-2)3x-55x+1.解 利用对数求导法,有ln y=3ln(x-2)+12ln(x-5)-15ln(x+1),1 y ·y′=31x-2+121x-5-151x+1,y′=(x-2)3x-53x+13x-2+12(x-5)-13(x+1). (24)y= (x sin x)1-e x.解 利用对数求导法,有ln y=12ln x+lnsin x+12ln(1-e x),1 y ·y′=121x+cos xsin x+12·-e x1-e x,y′=14(x sin x)1-e x2x+2cot x-ex1-e x. 9.求由下列方程确定的隐函数y=f(x)的导数(1)y=1+x e y.解 等式两边关于x求导,有y′=e y+x e y y′y′=e y1-x e y. (2)y=tan(x+y).解 等式两边关于x求导,有y′=sec2(x+y)·(1+y′),y′=sec2(x+y)1-sec2(x+y)=sec2(x+y)-tan2x=-csc2(x+y). (3)x y=y x.解 等式两边取对数,有y ln x=x ln y 等式两边关于x求导,有y′ln x+y·1x =ln y+x·1y·y′,y′=y(x ln y-y) x(y ln x-x). (4)x y=e x+y.解 等式两边关于x求导,有y+xy′=e x+y(1+y′),y′=e x+y-yx-e x+y=xy-yx-x y=y(x-1)x(1-y). 10.试证明曲线x+y=a上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a.解 对曲线方程两边关于x求导,得1 2x +12y·y′=0, y′=-yx. 曲线上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=- y0x0·(x-x0).令x=0,得曲线在y轴上的截距:y0+x0y0;令y=0,得曲线在x轴上的截距:x0+x0y0;曲线在两坐标轴上的截距之和为:y0+x0+2x0y0=(x0+y0)2=a. 11.求下列函数的二阶导数(1)y=x x.解 等式两边取对数,有ln y=x ln x,等式两边关于x求导,有1yy′=ln x+1, y′=x x(1+ln x),对此式关于x再求导,有y″=(x x)′(1+ln x)+x x(1+ln x)′=x x(1+ln x)2+x x-1. (2)ln x2+y2=arctan y x.解 等式两边关于x求导,有1x2+y2·12x2+y2(2x+2yy′)=11+(y/x)2y′x-yx2, x+yy′=x y′-y, y′=x+yx-y,对此式关于x再求导,得y″=(x+y)′(x-y)-(x+y)(x-y)′(x-y)2=(1+y′)(x-y)-(x+y)(1-y′)(x-y)2. 代入y′=x+yx-y, 有y″=2x2+y2(x-y)3.12.设f″(x)存在,求下列函数的二阶导数(1)y=f(x2).解 y′=f′(x2)·2x,y″=[f′(x2)]′·2x+f′(x2)·2=4x2f″(x2)+2f′(x2).(2)y=ln[f(x)].解 y′=1f(x)·f′(x),y″=1f(x)′·f′(x)+1f(x)·f″(x) =-[f′(x)]2f2(x)+f″(x)f(x).13.求下列函数的n阶导数(1)y=sin x.解 y′=cos x=sin π2+x,y″=cos π2+x=sinπ2+π2+x=sin2·π2+x,y=cos2·π2+x=sinπ2+2·π2+x=sin3·π2+x, ⁝y(n)=sin n·π2+x.(2)y=sin2x.解 y′=2sin x cos x=sin2x,y″=2cos2x=2sin π2+2x,y=22cos π2+2x=22sinπ2+π2+2x=22sin2·π2+2x, ⁝y(n)=2n-1sin(n-1)·π2+2x.14.一质点作直线运动,其运动规律为s=t,其中路程s的单位为米,时间t的单位为秒,求质点在第4秒末的速度与加速度?解 质点在时刻t的速度 v(t)=d sd t=12t,加速度a(t)=d v(t)d t=-14t3.在第4秒末的速度v(4)=12t t=4=14,在第4秒末的加速度a(4)=-14t3t=4=-132. 15.许多肿瘤的生长规律为v=v0e A a(1-e-a t).其中,v表示t时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=0)或观察时肿瘤的大小,a和A为正常数,问肿瘤t时刻的增长速度是多少?解 肿瘤的t时刻的增长速度d vd t=v0e A a(1-e-at)′=v0A e A a(1-e-a t)-a t.16.病人服药后,药物通过肾脏排泄的血药浓度c和时间t的关系为c(t)=c0(1-e-k t),c0为血药初始浓度,k为常数,求药物的排泄速率.解 药物排泄速率 v(t)=d(c(t))d t=c0k e-k t.17.设某种细菌繁殖的数量为N=1000+52t+t2,其中时间t 以小时(h)计,求t=2h,t=5h时细菌的繁殖速度.解 在t时刻细菌的繁殖速度:v(t)=d Nd t=52+2t,在t=2h的繁殖速度:v(2)=(52+2t)t=2=56个/h,在t=5h的繁殖速度:v(5)=(52+2t)t=5=62个/h.18.求下列函数的微分(1)y=x2+1-31+x2.解 d y=(x2+1-31+x)′d x=2x-2x33(1+x2)2d x.(2)y=x(1+sin2x).解 d y=[x(1+sin2x)]′d x=1+sin2x2x+x·2sin2x d x(3)y=arctane x+arctan 1 x.解 d y=arctane x+arctan 1x′d x=e x1+e2x+11+1/x2·-1x2d x=e x1+e x-11+x2d x.(4)y=sin(x e x).解 d y=[sin(x e x)]′d x=(1+x)e x cos(x e x)d x.(5)y=x2-x,在x=1处.解 d y=(x2-x)′d x=(2x-1)d x.在x=1处,d y=(2x-1)x=1d x=d x.(6)y=x+1,在x=0,Δx=0．01时.解 d y=(x+1)′d x=12x+1d x.在x=0,Δx=0．01处,d y=12x+1Δxx=0Δx=0．01=0．005.19.在下列各划线处,填入适当的函数(1)d(x)=12xd x; (2)d-1x=1x2d x;(3)d(ax+b)=a d x;(4)d 1ae a x=e a x d x;(5)d 12arctanx2=14+x2d x;(6)d(lnφ(x))=φ′(x)φ(x)d x.20.若函数f(x)可导,且f(0)=0,|f′(x)|<1,试证明x≠0时,|f(x)|<|x|.证明 由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0),ξ介于x,0之间,从而f(x)=f′(ξ)x,|f(x)|=|f′(ξ)||x|<1·|x|=|x|. ＊21.试证明,若对于任意x∈R,有f′(x)=a,则f(x)=ax+b.证明 设F(x)=f (x)-ax,则有F ′(x)=f ′(x)-(ax)′=0,F(x)=b (常数),故 f (x)=a x +b .22.利用洛必达法则求下列函数极限(1)lim x →0e x-e -x-2x x -sin x =lim x →0e x+e -x-21-cos x =limx →0e x-e-xsin x=lim x →0e x +e -x cos x=2.(2)lim x →π2lnsin x (π-2x)2=lim x →π2cot x -4(π-2x)=lim x →π2-csc 2x8=limx →π2-18sin 2x =-18.(3)lim x →+∞x e x 2x +e x =lim x →+∞e x 2+12x e x 21+e x =lim x →+∞e x 2+14x ex 2ex=lim x →+∞4+x 4e x 2=lim x →+∞=12ex 2=0.(4)lim x →π2tan x tan3x =lim x →π2sec 2x 3sec 23x =13lim x →π2cos 23x cos 2x =lim x →π2sin6xsin2x =3.(5)lim x →0x 2ln x =limx →0ln x 1x 2=lim x →01x-2·1x3=-2lim x →0x 2=0.(6)lim x →01x -1e x -1=lim x →0e x -x -1x(e x -1)=lim x →0e x -1e x -1+x ex=lim x →0e x 2e x +x e x=12.(7)lim x →π2(tan x)2cos x=lim x →π2e2co s x lnt an x=el im x →π22co s x lnt an x .因为lim x →π22cos x lntan x =lim x →π22lntan x sec x =lim x →π22·1tan x·sec 2xsec x tan x=lim x →π22cos x sin 2x =0,所以原式=e 0=1. (8)lim x →0(e x+x)1x=lim x →0eln (e x +x)x=e lim x →0ln (e x+x)x.因为 lim x →0ln (e x +x)x=lim x →0e x +1e x+x =2,所以 原式=e 2.＊(9)设函数f (x)存在二阶导数,f (0)=0,f ′(0)=1,f ″(0)=2,试求lim x →0f (x)-xx2.解 lim x →0f (x)-x x2=lim x →0f ′(x)-12x =12lim x →0f ′(x)-f ′(0)x -0=12f ″(0)=1.＊(10)设函数f (x)具有二阶连续导数,且lim x →0f(x)x=0,f ″(0)=4,求lim x →01+f (x)x1x.解 lim x →01+f (x)x1x=lim x →0exp ln 1+f (x)x x =exp limx →0ln 1+f (x)xx, limx →0ln 1+f (x)xx=lim x →01+f (x)x-1·f (x)x′1=lim x →0f ′(x)x -f (x)x 2=lim x →012f ″(x)=12×4=2,所以 limx→01+f(x)x1x=e2.23.试确定下列函数的单调区间(1)f(x)=x e-x.解 定义域为(-∞,+∞): f′(x)=e-x(1-x).令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).(2)f(x)=x1+x.解 定义域为[0,+∞); f′(x)=1-x2x(1+x)2.令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).24.求下列函数极值(1)f(x)=3x-x3.解 定义域为(-∞,+∞);f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+ x).令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-2;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=2. (2)f(x)=xln x.解 定义域为x>0,x≠1; f′(x)=ln x-1ln2x.令f′(x)=0,得驻点x=e．x∈(1,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以,x=e为f(x)的极小值,极小值f(e)=e.(3)f(x)=6xx2+1.解 定义域为(-∞,+∞);f′(x)=6-6x2(x2+1)2=6(1-x)(1+x)(x2+1)2.令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-3;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=3. (4)f(x)=(2x-1)3(x-3)2.解 定义域为(-∞,+∞);f′(x)=23(x-3)2+(2x-1)·23·(x-3)-13=10(x-2)3(x-3)13. 令f′(x)=0,得驻点x=2,不可导点x=3.x<2时,f′(x)>0, x>2时,f′(x)<0;2<x<3时,f′(x)>0, 3<x时,f′(x)>0.所以,x=2为f(x)的极大值,极大值f(2)=3.25.试问a为何值时,函数f(x)=a sin x+13sin3x,在x=π3处具有极值?它是极大值,还是极小值?并求此极值.解 f′(x)=a cos x+cos3x．因为x=π3为极值点,所以有f′π3=a cosπ3+cos3·π3=a2-1=0,即a=2,f(x)=2sin x+13sin3x, f′(x)=2cos x+cos3x,f″(x)=-2sin x-3sin3x,而f″π3=-3<0,所以x=π3为f(x)的极大值,极大值为f π3=3.26.测量某个量,由于仪器的精度和测量的技术等原因,对量A进行n次测量,其测量的数据分别为x1,x2,x3,…,x n,取数x 为量A的近似值.问x取何值时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小?解 设x与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和为y,则y=(x-x1)2+(x-x2)2+(x-x3)2+…+(x-x n)2, y′=2[nx-(x1+x2+x3+…+x n)]. 令y′=0,得x=x1+x2+x3+…+x nn (惟一驻点)．因此,当x=x1+x2+x3+…+x nn时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小.27.1～9个月婴儿体重W(g)的增长与月龄t的关系有经验公式ln W-ln(341．5-W)=k(t-1.66).问t为何值时,婴儿的体重增长率v最快?解 对经验公式两边关于t求导,得1 W ·d Wd t+1341．5-W·d Wd t=k,婴儿的体重增长率v=d Wd t=k345．1W(345．1-W).而v′=d vd t=k345．1(345．1-2W), 令v′=0,则有W=345．12,从而t=1．66时,婴儿的体重增长率v最快.28.口服一定剂量的某种药物后,其血药浓度c与时间t的关系可表示为c=40(e-0．2t-e-2．3t),问t为何值时,血药浓度最高,并求其最高浓度.解 c=40(e-0．2t-e-2．3t), c′=d cd t=40(-0．2e-0．2t+2．3e-2．3t).令c′=0,则有t=ln2322．1=1．1630(惟一驻点),所以t=1．1630时,血药浓度最高,此最高血药浓度c(1．1630)=28．9423.29.已知半径为R的圆内接矩形,问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?解 设圆内接矩形的面积为s,其长为x,宽为y= (2R)2-x2,则有s=xy=x4R2-x2,s′=d sd x=4R2-x2-x24R2-x2=4R2-2x24R2-x2,令s′=0,则有x=2R(惟一驻点),此时y=(2R)2-x2=2R.故,长x=2R,宽y=2R时矩形面积最大.30.已知某细胞繁殖的生长率为r=36t-t2,问时间t为何值时,细胞的生长率最大?最大生长率为多少?解 r=36t-t2,r′=d rd t=36-2t.令r′=0,则有t=18(惟一驻点),所以t=18时,细胞的生长率最大,此最大生长率为r(18)=324.31.在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中,Hoor－weg发现引起最小的反应(肌肉的收缩)时,电压U与电容器的电容量c有关,其经验公式为U=aR-bc,其中R是电阻(假设为定值),a,b为正常数.若电容的单位为微法(μF),电容器的电压为伏特(V),由物理知识可知,与负荷相对应的电能为E=5cU2(erg),从而有E=5c aR+bc2.试问,当电容为多少微法时,电能最小,其最小电能为多少?解 E=5c aR+bc2=5a2R2c+10aRb+5b2c,E′=d Ed c=5a2R2-5b2c2.令E′=0,则有c=ba R(惟一驻点),所以c=baR(μF)时,电能最小,此最小电能为EbaR=20abR(erg).32.判别下列曲线的凹凸性(1)y=x arctan x.解 函数定义域为(-∞,+∞).y′=arctan x+x1+x2, y″=2(1+x2)2>0,所以函数在(-∞,+∞)上为凹的.(2)y=4x-x2.解 函数定义域为(-∞,+∞),y′=4-2x, y″=-2<0.所以函数在(-∞,+∞)上为凸的.33.求下列曲线的凹凸区间与拐点(1)y=3x4-4x3+1.解 函数定义域为(-∞,+∞),y′=12x3-12x2, y″=36x2-24x=12x(3x-2).令f″(x)=0,得x=0,x=2/3.当x∈(-∞,0)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈0,23时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈23,+∞时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,0),23,+∞上为凹的,在0,23上为凸的,拐点为(0,f(0))=(0,1),23,f23=23,1127.(2)y=ln(1+x2).解 函数定义域为(-∞,+∞),y′=2x1+x2, y″=2(1-x)(1+x)(1+x2)2. 令f″(x)=0,得x=-1,x=1.当x∈(-∞,-1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(-1,1)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(1,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(-∞,-1),(1,+∞)上为凸的,在(-1,1)上为凹的,拐点为(-1,f(-1))=(-1,ln2),(1,f(1))=(1,ln2).(3)y=2x ln x.解 函数定义域为(0,+∞),y′=2ln x-2ln2x, y″=4-2ln xx ln3x.令f″(x)=0,得x=e2,f″(x)的不可导点为x=1.当x∈(0,1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(1,e2)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(e2,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(0,1),(e2,+∞)上为凸的,在(1,e2)上为凹的,拐点为(e2,f(e2))=(e2,e2).(4)y=(x-5)53+2.解 函数定义域为(-∞,+∞)．y′=53(x-5)23, y″=109·13x-5,f″(x)的不可导点为x=5.当x∈(-∞,5)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(5,+∞)时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,5)上为凸的,在(5,+∞)上为凹的,拐点为(5, f(5))=(5,2).34.已知曲线y=ax3+bx2+c x+d在(1,2)点处有水平切线,且原点为该曲线上的拐点,求a,b,c,d之值,并写出此曲线的方程.解 y′=3ax2+2bx+c,y″=6a x+2b,根据题意有y(1)=a+b+c+d=2,y(0)=d=0,y′(1)=3a+2b+c=0,y″(0)=2b=0,从而解得 a=-1,b=0,c=3,d=0.35.求下列曲线渐近线(1)y=x2x2-1.解 因为limx→±1x2x2-1=∞,所以曲线有垂直渐近线x=±1;又因为 limx→∞x2x2-1=1,所以曲线有水平渐近线y=1.(2)y=x e 1x2.解 因为limx→0x e1x2=limx→0e1x21x=limx→02e1x2x=∞,所以曲线有垂直渐近线x=0;又因为 limx→∞x e1x2x=1,且limx→∞(x e1x2-x)=0,所以曲线有斜渐近线y=x.2.5 自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)设f(x)=|x-8|,则f(x)在x=8处的导数是.A.8;B.不存在;C.0;D.-8.(2)设f(x-1)=x2-1,则f′(x)=.A.2x+2;B.2x+1;C.2x-1;D.2x.(3)设f(x)是可导函数,且limt→0f(x0+2t)-f(x0)t=1,则f′(x0)为.A.1;B.2;C.0;D.0．5.(4)设f(x)=x,当x0>0时,limt→0tf(x0-2t)-f(x0)=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
医用高等数学（第三版）习题解答习题一1( 求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x，2)(x,1)x,,2x,1的定义域为。
(,,,,2],[1,，,)(2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4。
的定义域为[2,4]x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x，2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。
(,,,,2),(1,，,)ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
[,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0,2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x,xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。
D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。
222221,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。
,,,,13333，，,0,x,,13,0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定2k,,x,(2k，1),,kf(sinx)D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。
,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。
0,lnx，1,1220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。
f(x),1,x,1312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。
y,1,x，sin(1,x)y,(x，1)y,e3u25(解(1)y,e,u,arctanv,v,2x，1; (2); y,u,u,sinv,v,x，211，x1322y,tanu,u,v,v,y,cosu,u,v,v,lnw,w,x，1(3) ; (4)。
1,x2x2xxx2x2f(x)f(e，1),e，e，1,(e，1),(e，1)，1f(x),x,x，16(解因为，所以函数的表达式为。
2111,,2f(tanx，),tanx，，3,tanx，，1f(x)7(解因为，所以函数的表达式为,,2tanxtanxtanx,,12。
f(x),x，11n,sin1nnsinnnn8(解(1) 。
(2) lim(，1,),lim,0lim,lim,0n,,n,,1n,,n,,n，1nn，1，1，n12n1n(n1)/2n11,,,,,limlimlim，，？，,,,(3) ,,2222n,,n,,n,,2n2nnnn,, 32x,1x1x12,，2limlim9(解(1);(2),,; lim,lim(x，x，1),12x,1x,1x,,x,,2x1311，x,12xx1,,2222x1x111/x1,,,x,5x，4limlim(3);(4)因为，所以; ,,lim,0lim,,222x,,x,,x,1x,132x,1xxxxx313/1/,,,,x5x4,，x3(3)xx1321,,31，,，,(5);limlimlim,,,22x,3x,3x,316x9,xxxxxx(9)(1321)(3)(1321),，，，，，，，2,,12x111,,x,,，1,111,,limlimlim,,,,,,,(6);(7);lim,lim1，,,1222,,x,1x,1x,1x,，,x,，,1x1x2,，xx1x1x,,,,x,, xx22sinsin1cos11x,22(8)limlimlim; ,,,,x,0x,0xxx,0xxxsinx22xsincos2co s2222,,,,(1)cos(1)xx,,222(9),,,,,,,;lim(1)tanlim(1)cot(1)limxxxxx,1x,1x,1,,,22,sin(1)x2222sin(x/2)tanxsinxsinx1cosx1sinx121,,limlimlim(10); ,,,,,,,,322x,x,x ,000xcosxxcosx42xx4(x/2)2111,(,2),(,3),2,3xxxx1,,1,3limx,lim[1，(x,1)],elim(1,3x),lim(1,3x),e(11); (12); xxxx,1,1,0,0x，1x,1,(,2),2,2x,1,2,2,,,,,,,2,2,2lim,lim1，1，,e,1,e(13) ,,,,,,x,,x,,1，xx，1x，1,,,,,,1xxxx，ln(1，)1，ln(1，)e1，ln(14)lim,lim,,11xx,,00xxe3,ln(1，)3,lnxx3,ln(1，)2233331ln(1，1，x)((1，2x),1，2x，1)，x,，x，(12)121)ln(2，x)，，，，x,limln1(1),,limlim(15)x，1 3x,,111x,,x,,22(x，1)，，12x1 33lne,,= 2221x，1x，1/222x，311,,,,,,(16) lim,lim1，,1，,e,,,,,,x,,x,,2x，1x，1/2x，1/2,,,,,,222,,xbxxbx，(，5)，1，，6x，bx，6,,10(解因为，所以lim,5lim,5,lim,0,,1x,x,x,111,xxx1,1,,,2lim[x，(b，5)x，1],1，(b，5)，1,b，7,0因为，所以，故。
lim(1,x),0b,,7x,1x,1211(已知lim(2x,ax,x，1)存在，试确定的值，并求出极限值。
ax,，,224x,ax，x,12解: lim(2x,ax,x，1),lim,a,4x,，,x,，,22x，ax,x，111,xx112,xxx。
lim(241)limlim,,，,,,2x,，,x,，,x,，,411xxx241，,，24，,，2xxx,012(当时，将下列函数与进行比较，哪些是高阶无穷小,哪些是低阶无穷小,哪些是同阶无x穷小,哪些是等价无穷小,322xxxxxtansintansintan3tanxlim,lim,,lim,lim,0,(1) 解:高价;x,x,x,x,0000xxxxxcoscos2xx1，,12(2) 解:高阶; 1，x,1lim,lim,0,x,0x,02xx1，，11xx2sinsincscxcotx1cosx1,,222limlimlimlim(3) 解:,,,,,同阶;cscx,cotxxxxxx,0x,0x,0x,0xxsinx2xsincoscos222212xx，sin11x2xlim,lim(1，sin),1,xxsin，(4) 解:等价; x,0x,0xxx,,,xxxcos(1)sinsin,,,,222cos(1,x)limlimlim,,,,(5) 解:同阶;x,0x,0x,0,2xx22x21，tanx,1,sinxtanx，sinx1，tanx,1,sinxlim,lim(6) 解: x,0x,0xx(1，tanx，1,sinx)1(1，)xsinxcos等价。
,lim,1,x,0xxx(1，tan，1,sin)22x,0a13(已知当时，是等价无穷小，求值。
(1，ax,1)与sinx3221，ax,1axa解:。
lim,lim,,1,a,22x,0x,0222sinxsinx(1，ax，1)x,e,x,0,14(设在内连续，求值。
f(x),(,,,，,)a,,a，ln(1，x),x,0,xlimf(x),lime,1,limf(x),lim[a，ln(1，x)],a,a,1解:。
,,，，x,0x,0x,0x,01,x,e,x,0,x,015(讨论函数在点处的连续性。
解:因为(),0,,0fxx,,1xxsin,,0,x,11xlimf(x),lime,0,limf(x),limxsin,0,limf(x),0,f(0)x,0，所以在点处连续。
,,，，x,0x,0x,0x,0x,0x1,x,0,,x,01f(x),16(讨论函数在点处的连续性。
,xsin,x,0,x,1limf(x),limxsin,0,f(0),1解:因为，所以在点处不连续。
x,0x,0x,0x 2,x,0,,ln(1，ax)f(x),17(设在点处连续，求值。
ax,0,,x,0,x,1ln(1，ax)axlimf(x),lim,alimln(1，ax),a,f(0),2解:因为，所以。
a,2,,,xxx000x18(确定下列函数的间断点与连续区间: xx,1y,(1) 解:间断点;连续区间。
(0,1),(1,，,)lnxx,2x,2x,2,x,3y,y,(2) 解:，间断点;连续区间(,,,2),(2,3),(3,，,)。
2(x,2)(x,3)x,5x，62,1,,,0xxsinx,2limf(x),lim,,1,limf(x),lim(1,x),1(3) 解:(),fxsinx,,,，，x,x,x,x,0000x,x,0,x,,limf(x),limf(x)(,,,0),(0,，,)，间断点;连续区间。
x,0,，x,0x,01,0,x,1,,11,f，，x,,x,1[0,1),(1,，,)(4) 解:，间断点;连续区间。
f(x),lim(x,0)x,1,n,，,n21，x,0,x,1,,习题二2s2，,t,s232，,t，22，,t，1,3，4，2，2，1，，，，，，，，，，V,,1( 平均速度 ,3,t，14,t,t4, V,s,6t，2,14V,3，0.1，14,14.3V,3，0.01，14,14.03t,2t,2t,2,t,0.1,t,0.012(按导数定义计算下列函数在指定点的导数 (1) 解:f'(0),2cos2x,2f(x),sin2x,在x,0点x,011f(x),在x(x,,1)点(2) 解: f'(x),,当x,,1时21，x(1，x)11f'(0),,(3) 解: f(x),x，1,在x,0点x,0221x，2(4) 解: f'(x),2,2xf(x),2x,x,在x点3(设在点处可导，试计算下列极限: x,xf(x)0f(x),f(x)f(x，2,x),f(x)f(x，2,x),f(x)00000lim,f'(x)(1) (2)lim,lim,2,2f'(x)00x,xx,x,x,,x,0200,x2,x0f(x),f(x,,x)f(x,,x),f(x)0000(3) lim,lim,f'(x)0,x,,x,00,x,,x1f(x，),f(x)001，，n (4) limnf(x，),f(x),lim,f'(x)000,,n,,1nn,,，，nfxhfxhfxhfxfxfxh(，),(,)(，),()，(),(,)000000 (5) lim,limh,h,00hh f(x,h),f(x)00,f'(x)，lim,f'(x)，f'(x),2f'(x) 0000h,0,h(6),,,,fxtfxtfxtfxfxtfx,,(，),(，)(，),(),(，),()000000,,lim,lim，limttt,,t,t,t,000,(,,,)f'(x) 0x,04(讨论下列函数在点是否可导:313,21xsin,0121,xxsin,0'x2fx(),fx(0),lim,limsin,0(1) 解: ,，x，，x,x,xx00,0,x0,0,fxf(),(0)0,0'f可导(0),lim,lim,0？f'(0),0 ,,,x,0x,0xx,05x,0x,1x,0,1xfxf(),(0)1,'e1，(2) 解: ff(x),(0),lim,lim,lim,0,，x，，，11，ex,x,x,000xx,0,xe1，,0x,0,1' f(0),lim,1,？f(x)在x,0不可导.,,1x,0x1，e2,x,1x,x,15(试确定a、b的值，使在点处可导。