高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程教材梳理导学案 苏教版必修3

2.4 线性回归方程

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、相关关系

变量之间的常见关系：

一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示；

一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.

在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.

辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系

相同点：两者均是指两个变量间的关系；

不同点：

①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性；

②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；

③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究.

二、线性回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.

1.散点图

我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（x n，y n）（n=1，2，3，…）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图.

如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水

观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析. 以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2-4-1：

图2-4-1

从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.可见散点图能直观形象地反映各对数据的密切程度. 注意：如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图2-4-2的形状，则这两个变量之间不具有相关关系.如学生的身高与学生的数学成绩就没有相关关系

.

图2-4-2

可见利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.所以在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.

学法一得 画出散点图，可以作出如下判断： ①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系.

②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系. ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系. 2.最小二乘法

设有一直线方程y

ˆ=bx+a ， Q(a,b)是直线y

ˆ=bx+a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,设法取a,b 的值,使Q(a,b)达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).其中点Q=(y 1-bx 1-a)2

+

(y 2-bx 2-a)2

+…+(y n -bx n -a)2

取得最小值时,就称y

ˆ=bx+a 为这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.

上述式子展开后，是一个关于a 或b 的二次函数，应用配方法，可求出使Q 为最小值时

的a 、b 的值，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧

-=--=∑∑∑∑∑=====.

,)())((2

112

1

11x b y a x x n y x y x n b n

i i n i i n

i i n i i n i i i （*） 其中x =∑=n i i x n 11，∑==n

i i y n y 1

1.

求线性回归方程的步骤：计算平均数x ,y ；计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ；计算∑x i 2

；将结

果代入公式求a ；用b=y -a x 求b ；写出回归方程.

深化升华 求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的

应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，去进一步体会回归直线的应用价值. 三、相关系数与相关性检验

进行回归分析，通常先进行相关性检验.若能确定两个变量具有线性相关性，则再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义.

给定（x i ，y i ）（i=1，2，3，…，n ），只要x 1，x 2，x 3，…，x n 不全相等，就能求出一条回归直线，可它有无意义就是一个大问题.由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数量化的检验法. 样本相关系数：

r=

∑∑∑===----n

i n

i i i

n

i i i

y y x x

y y x x

1

1

2

21

)()()

)((叫做变量y 与x 之间的样本相关系数（简称相关系数），用

它来衡量它们之间的线性相关程度.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

统计学认为，相关变量的相关系数

r∈［-1，-0.75］时，两变量负相关很强； r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强；

r∈（-0.75，-0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般； r∈［-0.25，0.25］时，两变量相关很弱.

学法一得 在实际操作中常常利用计算器计算出相关系数和线性回归方程. 典题·热题

知识点一 线性相关关系

例1 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）

A.角度和它的余弦值

B.正方形边长和面积

C.正n 边形的边数和它的内角和

D.人的年龄和身高

思路分析：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系. 答案：D

方法归纳 判断相关关系与函数关系要看两个相关变量是否有确定的关系式. 知识点二 求出回归直线

例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间.为此进行了10次试验，

请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程. 思路分析：根据求线性回归的方法与步骤.

解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系.由测得的数据表可知：

x =55，y =91.7，∑=101

2

i i x =38 500，∑=101

2

i i y =87 777，∑=10

1

i i i y x =55 950，

∴b=

2

2

10

1

2

10

155

10385007

.915510559501010⨯-⨯⨯-=

--∑∑==x

x y

x y

x i i i i

i

≈0.668. a=y -b x =91.7-0.668×55≈54.96，因此，所求线性回归方程为

y

ˆ=bx+a=0.668x+54.96. 巧解提示 先根据散点图判断两个变量是否具有相关关系，然后计算出各项的值代入公式.

（1）用统计方法判断尿汞含量x 与消光系数y 是否相关. （2）求出回归直线方程.

（3）能预测尿汞含量为5 mg/L 时的消光系数吗？

思路分析：据题意需作回归分析，先画出其散点图，看其是否呈直线形.再借助现代技术手段，求出回归直线方程.根据题意，对实际问题进行预测.

解：（1）画出其散点图（如图2-4-3），观察散点图，可以发现5个样本点都落在一条直线附近，所以变量x 、y 属于线性相关.

图2-4-3

（2）由于尿汞含量x 与消光系数y 线性相关，所以可以利用公式求出回归方程的系数.再利

用计算器可求得回归方程y

ˆ=36.95x-11.3. （3）当x=5时，y

ˆ=36.95×5-11.3≈173.可知尿汞含量为5 mg/L 时的消光系数约为173. 方法归纳 求线性回归方程的步骤： (1)计算平均数x 、y ；

(2)计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ；

(3)计算∑x i 2，∑y i 2

；

(4)将上述有关结果代入公式，求b 、a ，写出回归直线方程. 问题·探究 思想方法探究

问题 用最小二乘法估计得到的直线与用两点式求出的直线方程一致吗?

探究过程：事实上设两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），设所求回归直线方程是y=bx+a.

Q=［y 1-（a+bx 1）］2+［y 2-（a+bx 2）］2

,由使Q 取得最小值的a 、b 的求值公式

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧

-=--=---=∑∑∑∑====x

b y a x n x y x n y x x x y y x x b n

i i

n

i i i n i n i i i ,)())((2121121

， 得b=2

21222112

12212211211)

2

()2()

2)(2()2)(2(x x x x x x y y y x x x y y y x x x +-++-+-+-++-+-

1

2122122211

21221214

)(4)(2222x x y y x x x x y y x x y y x x --=-+--∙-+-∙-=

a=

1

221211212212122x x y x x y x x y y x x y y --=--∙+-+ 即回归直线方程为y=

1

22

1211212x x y x x y x x y y --+--.而由（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点确定的直线

方程为

121121x x x x y y y y --=--,变形为y=1

221211212

x x y x x y x x x y y --+--. 探究结论：用最小二乘法估计得到的直线与用两点式求出的直线方程是一致的.