高中数学《线性回归方程》教案
线性回归方程
教学目标:
（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。 教学重点: 线性回归方程的求解。
教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。 教学过程: 一、复习练习
1．下例说法不正确的是（ B ）
A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量；
B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定;
C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;
D.相关关系是一种非确定性关系.
2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y
,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ
+=
C x y 75.575.1ˆ-=
D x y 75.175.1ˆ+=
4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.
(2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。
二、典例分析
例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件个数x （个） 10 20 30 40 50 60
70
80 90 100
加工时间y （分）
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
101010
2
2
1
1
1
55,91.7,38500,87777,55950
i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑
10
110
2
2
21
1055950105591.7
0.668385001055
10i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯∴=
=
≈-⨯-∑∑
91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈
因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+ 例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：
x
45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
y
6.53 6.30 9.52
7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.59
8.72
x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）
（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．
解：
1
(45424648423558403950)44.5010x =
+++++++++=
1
(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =
+++++++++=7.37
设回归直线方程为y bx a =+
则
10
1
10
2
2
1
100.175
10i i
i i
i x y x y
b x
x
==-=
=-∑∑ a y bx =-= -0.418
所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-
例3、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：
房屋大小x （2
m ） 80 105 110 115] 135 销售价格y （万元）
18.4
22
21.6
24.8
29.2
（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 解：（1）
(2)
55
1
1
5,545,109,116,23.2,
i i i i n x x y y =======∑∑
5
5
2
1
1
60952,12952
i
i i i i x
x y ====∑∑
2
512952545116
0.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=
≈=-⨯≈⨯-
所以,线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+ (3) (1.8166,0.1962) 5.171,(2,0.2)7.0Q Q ≈≈
由此可知,求得的 1.8166,0.9162a b ==是函数Q(a,b)取最小值的a ,b 值.
三、课堂练习
1.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为1l ,2l ,已知两人获得的实验数据中,变量x 和y 的数据平均值都相等,且分别为s,t 那么下例说话正确的是( )
A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s,t)
B ．直线1l 和2l 相交,但交点不一定是(s,t)
销售价格y（万元）
0510
1520
2530350
50
100
150
销售价格y（万
元）
C ．必有1l // 2l
D ．1l 和2l 与必定重合
2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
设y 对x 程线性相关关系．试求：
（1）线性回归方程ˆ
y bx a =+的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？
四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：
(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，
计算与的积，求，
计算，，∑∑∑x y i
i 22
(4)将上述有关结果代入公式，求b ，a 写出回归直线方程． 五、课外作业： 课本第82页第9题．
高中数学《线性回归方程》教案
线性回归方程 教学目标: （1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。 教学重点: 线性回归方程的求解。 教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。 教学过程: 一、复习练习 1．下例说法不正确的是（ B ） A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量； B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定; C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系; D.相关关系是一种非确定性关系. 2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y ,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ += C x y 75.575.1ˆ-= D x y 75.175.1ˆ+= 4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19. (2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。 二、典例分析 例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
人教版高中数学(理科)选修线性回归(一)
线性回归（一） 教学目的： 1 了解相关关系、回归分析、散点图的概念 2．明确事物间是相互联系的，了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握回归直线方程的求解方法 3．会求回归直线方程 教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法 教学难点：回归直线方程的求解方法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系 二、讲解新课： 1．相关关系的概念 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.因此，相关关系与函数关系的异同点如下： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 2．回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度粗略地看，散点分布具有一定的规律 4. 回归直线 设所求的直线方程为,^ a bx y +=，其中a 、 b 是待定系数． 则),,2,1(,^ n i a bx y i i =+= ．于是得到各个偏差 ),,2,1(),(^ n i a bx y y y i i i i =+-=-. 显见，偏差i i y y ^ -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和． 2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--= 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度．
高中数学2.4《线性回归方程》第1课时教案(苏教版必修3)
线性回归方程 第1课时 【学习导航】 学习要求 1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。线性回归方程的求法。 2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。 【课堂互动】 自学评价 在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram) 3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x 和y 之间的关系。选择怎样的直线我们有下列思考方案： (1)选择能反映直线变化的两个点 (2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同 (3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距 4．用方程为a bx y +=ˆ的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。用最小二乘法来求a 、b 的原理和方法 见教科书P72 5.能用直线方程a bx y +=ˆ近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation) 6.设有(x,y)的n 对观察数据如下： 当a,b 使+--=2 11)(a bx y Q 2222)()(a bx y a bx y n n --+⋯+--取得最小值时，就称a bx y +=ˆ为拟合这n 对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。 6．用书上的方法3，可求得线性回归方程a bx y +=ˆ中的系数： 2 1 1 21 1 1 ) () )((∑∑∑∑∑=====--= n i i n i i n i i n i i n i i i x x n y x y x n b
人教版高中数学必修三 第四章 线性回归方程 Word版含解析
重点列表： 重点详解： 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有____________，这条直线叫________． (2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________. ※ (3)相关系数 r ＝ ∑∑∑===----n j j n i i n i i i y y x x y y x x 1 2 1 2 1 )()() )((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个 变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 3．回归直线方程 (1)通过求Q ＝ ∑=--n i i i x y 1 2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回
归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，. (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程 为a x b y ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪ ⎨⎧ -=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ, )())((ˆ1 2 21 121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 【答案】 1．相关关系 非确定性 2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法 重点1：相关关系的判断 【要点解读】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断： (1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系． (2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系． (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 【考向1】确定性关系与随机关系 【例题】下列变量之间的关系不是．． 相关关系的是( ) A ．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ，c 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b 2－4ac B ．光照时间和果树亩产量 C ．降雪量和交通事故发生率 D ．每亩施用肥料量和粮食亩产量
高中数学第2章统计2.4线性回归方程(2)教案苏教版必修3(new)
2。4 线性回归方程 第2课时 导入新课 在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表: 从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x（x≥0）.并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象,我们知道各点在同一条直线上。 再看下面的问题（即上一节课的练习2）:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？ 分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此,可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少。但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程. 推进新课 新知探究
以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图。 1。散点图（scatterplot)：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形象地反映了各对数据的密切程度。粗略地看，散点分布具有一定的规律。在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系,我们称它为正相关. 请学生举例:两个变量之间是正相关的关系.例如:某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系. 再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 如果作出散点图如右图,它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系. 回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来,从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？ 分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动。能画出这条直线吗？
人教版高中数学选修1-2教案1.1.1线性回归的思想方法及应用
统计案例 1.1回归分析的基本思想及初步应用 1.1.1线性回归的思想方法及应用 课前预习学案 一、课前预习 预习目标：回顾回归直线的求法，并利用回归直线进行总体估计。 二、预习内容 １．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。 求回归直线方程的一般步骤：①；②；③ 2．典型例题： 研究某灌溉渠道水的流速与水深之间的关系，测得一组数据如下： 水深 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求对的回归直线方程； （2）预测水深为1.95时水的流速是多少？ 课内探究学案 一、学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 学习重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 学习难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 二、学习过程 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 3. 典型例题： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 /cm 体重 48 57 50 54 64 61 43 59 /kg
高二数学“线性回归”教案
高二数学“线性回归”教案 【篇一】 教学目标 【知识和技能】 1．能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。 2．会画散点图,并能利用散点图判断是否存在回归直线。 3．知道如何系统地处理数据。掌握回归分析的一般步骤。 4．能运用Excel表格处理数据,求解线性回归直线方程。 5．了解最小二乘法的思想,会根据给出的公式求线性回归方程。 6．培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。 【过程和方法】 1．使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。 2．提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。 【情感、态度和价值观】 1．认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值,感受生活离不开数学。 2．体验信息技术在数学探究中的优越性。 3．增强自主探究数学知识的态度。 4．发展学生的数学应用意识和创新意识。 5．培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。 【教学重点、难点】 线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据,求解回归直线方程。 【教学课型】 多媒体课件,网络课型 教学内容
学生已经学习了初步的统计知识,如抽样方法,对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。线性回归问题涉及的知识有:描点 画散点图,一次函数、二次函数的知识,最小二乘法的思想及其算法问题,运用Exc el表格处理数据等。 教学资源 教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题）,这个 问题必须应用所预期的学科知识才能解决,又与学生的先前经验密切相关。 教师准备四个教学课件:学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂 练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。 每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。学案主要包括设计的引入问题,教学过程中所遇到的主要问题,推导回归直线方程的公式的计算表格,运用Exc el表格处理数据的操作步骤,课堂练习以及作业,教学评价等。 互联网上的其它相关教学资源。 教学模式 运用信息技术建立以学生为主体的自主性学习模式,包括六个环节:（1）生 活现象提炼,形成知识概念；（2）提出研究问题,制定探究计划；（3）自主探究学习,总结研究规律；（4）交流探究体验,应用练习反馈；（5）反思学习过程、进行教学评价；（6）实习调查分析,生活应用实践。 教学支架 让学生在自主探究学习过程中尝试回答以下问题: 1．根据你现有的认识,两个变量之间存在哪些关系,有何异同? 2．问题中的两个变量有没有关系?如果有,是什么关系?为什么? 3．这样的关系如何直观体现?（散点图） 4．两个变量可以近似成什么关系?（这是一个探索过程,学生可能会提出包 括直线在内的多种关系,这里和必修1函数教学有密切联系。 5．如果考虑最简单的直线拟合,怎样确定一条直线最能反映这组数据的规律?（这是一个开放度很大的讨论问题,学生可以提出各种方法,之后介绍最小二乘法的思想和公式。） 6．公式的计算是比较繁琐的,能否利用信息技术来帮助我们?（学生根据操 作步骤自学用EXCEL如何由一组数据画出散点图,求回归直线方程。） 7．我们得到这个模型有什么用?（进行预测,如热饮问题。）
高中数学必修三线性回归方程
统计第三讲：变量间的相关关系 —————————————————————————————————————————————— 一、两个变量的线性相关 1、线性回归方程：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）。 2、回归方程求法：设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ⋅⋅⋅，直线方程y bx a =+，其中,a b 是待定参数. 经数学上的推导，,a b 的值由下列公式给出：1 1222 11 ()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎪⎨--⎪⎪ =-⎪⎩∑∑∑∑. 其中，回归直线的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+. 上述求回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. 3、回归方程应用：利用回归方程，我们可以进行预测并对总体进行估计. —————————————————————————————————————————————— 二、相关关系的强弱 1、相关系数：若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为(1)i y i n ≤ ≤，则变量x 与y 的相关系数 ()() n i i x x y y r --= ∑，即n i i x y nx y r -= ∑， 2、通常用r 来衡量x 与y 之间的线性关系的强弱 （1）r 的范围为11r -≤≤，r 为正时，x 与y 正相关；r 为负时，x 与y 负相关 （2）||r 越接近于1，x 与y 的相关程度越大；当||1r =时，所以数据点都在一条直线上. （3）||r 越接近于0，二者的相关程度越小 ——————————————————————————————————————————————
苏教版高中高二数学必修3《线性回归方程》教案及教学反思
苏教版高中高二数学必修3《线性回归方程》 教案及教学反思 一、教学目标 本单元的教学目标如下： 1.了解线性回归方程的定义及基本概念； 2.学习线性回归方程的求解方法及相关定理； 3.能够分析现实问题并应用线性回归方程进行模型建立及 预测。 二、教学重点 1.线性回归方程及其相关概念的理解； 2.线性回归方程求解方法的掌握； 3.数学模型及其应用。 三、教学内容 1.线性回归方程的定义及基本概念 线性回归方程是对一组数据进行拟合的数学模型，其表达 式为y = ax + b。其中，x为自变量，y为因变量，a为斜率，b为截距。线性回归分为简单线性回归和多元线性回归两种情况。 2.线性回归方程的求解方法及相关定理 2.1. 正规方程法
正规方程法是求解线性回归方程的一种常见方法，其基本 思想是通过一系列计算得出线性回归方程的系数，具体步骤如下： (1)设数据点的个数为n，自变量为x，因变量为y。 (2)求出各个数据的平均值，设为x平均、y平均。 (3)计算x和y的方差，设为Sxx、Syy。 (4)计算x和y的协方差，设为Sxy。 (5)计算斜率a和截距b的估计值，分别为a = Sxy/Sxx，b = y平均 - a*x平均。 (6)得出最终的线性回归方程y = ax + b。 2.2. 相关定理 线性回归方程有许多相关定理，如残差定理、斜率的显著 性检验及线性回归方程的信度检验等。这些定理的掌握可以帮助我们更加全面地了解线性回归方程的求解过程。 3.数学模型及其应用 数学模型是将现实中的问题转化为数学形式，使得问题可 以更好地加以处理和解决。在学习线性回归方程时，我们可以将实际问题转化为线性模型进行分析和预测，例如人口增长、股票价格走势等。 四、教学方法 1.讲授式教学 在讲解线性回归方程的原理、求解方法及相关定理时，可 以采用讲授式教学，将知识点系统地呈现给学生。 2.案例式教学
高中数学：线性回归方程
高中数学：线性回归方程 一、推导2个样本点的线性回归方程 例1、设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。 解：由最小二乘法，设，则样本点到该直线的“距离之和”为 从而可知：当时，b有最小值。将代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再用配方法，可知： 此时直线方程为： 设AB中点为M，则上述线性回归方程为 可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。 上面我们是用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。实际上，由线性回归系数计算公式：可得到线性回归方程为 设AB中点为M，则上述线性回归方程为 。 二、求回归直线方程 例2、在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度下，溶解于100份水中的硝酸钠份数的数据如下 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1 描出散点图并求其回归直线方程. 解：建立坐标系，绘出散点图如下： 由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性。设回归直线方程为：由回归系数计算公式： 可求得：b=0.87，a=67.52，从而回归直线方程为：y=0.87x+67.52。
三、综合应用 例3、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料： （1）求回归直线方程；（2）估计使用10年时，维修费用约是多少？ 解：（1）设回归直线方程为： （2）将x = 10代入回归直线方程可得y = 12.38，即使用10年时的维修费用大约是12.38万元。
《一元线性回归方程》教学设计
《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》 教学设计 一、 教学内容解析 1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A 版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用残差分析进行数据曲线拟合程度分析。 2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。 3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。围绕“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离i i y bx a --刻画散点与直线的“距离”，再到用()2 1n i i i Q y bx a ==--∑定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数 学化过程。对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“人的年龄与脂肪含量的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。 二、教学目标设置 统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。 依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下： 1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。 2.通过类比物理中力的分解，学生明白“用竖直距离刻画样本点与直线最接近”这一问题的原因。
2019-2020年高中数学必修3线性回归方程(1)
2019-2020年高中数学必修3线性回归方程(1) 教学目标 （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； （2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回 归方程进行预测； （3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义． 教学重点 散点图的画法，回归直线方程的求解方法． 教学难点 回归直线方程的求解方法． 教学过程 一、问题情境 1．情境： 客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系——相关关系 2．问题： 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的气温/C261813104 杯数202434385064 二、学生活动 为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标表示气温，纵坐标 表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的个数对所表示的点在坐 标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似 地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1．最小平方法： 用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。那么，怎样衡
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程(1)教案 苏教版必修3
江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 线性回归方程（1）教案苏教 版必修3 教学目标： 1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测； 3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义． 教学重点： 散点图的画法，回归直线方程的求解方法． 教学难点： 回归直线方程的求解方法． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系． 二、学生活动 提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？ （1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示； （2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示． 说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫
无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系． 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： - 气温/0C 26 18 13 10 4 1 杯数20 24 34 38 50 64 -0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 如果某天的气温是5 从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？ 我们有多种思考方案： （1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； …… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1．最小平方法： =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线 用方程为ˆy bx a =+与图中六 与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a 个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值: +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越 26,18,13,10,4, b a b a b a b a b a b a 接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和
高中数学统计线性回归方程教材梳理导学案苏教版
2。4线性回归方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、相关关系 变量之间的常见关系： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S之间就是确定性函数关系,可以用函数S=l2表示; 一类是相关关系，变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关。一般来说，身高越高,体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系。 在现实生活中存在着大量的相关关系,如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析,发现规律，才能作出科学的判断. 辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系 相同点：两者均是指两个变量间的关系； 不同点: ①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性； ②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系; ③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性,在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究. 二、线性回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲,回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。 1。散点图 我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据(x n，y n)（n=1，2，3,…）对应的一些点（即样本点)画在坐标系内，得到的图形叫做散点图。 如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：（单位：千克) 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加,水稻的产量也在增加。只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表,以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析。 以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2—4-1： 图2—4—1 从散点图可以看出两变量的确存在一定关系,大体上随着施化肥量的增加,水稻的产量也在增加。可见散点图能直观形象地反映各对数据的密切程度. 注意：如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图2-4—2的形状，则这两个变量之间不具有相关关系。如
人教版高中数学(理科)选修线性回归(二)
线性回归〔二〕 教学目的： 1 进一步熟悉回归直线方程的求法 2．加深对回归直线方程意义的理解 3. 增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识 掌握样本相关系数显著性检验的方法 教学重点：准确求出回归直线方程 教学难点：样本相关系数显著性检验的方法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．相关关系的概念 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系 〔有因果关系，也有伴随关系〕.因此，相关关系与函数关系的异同点如下： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． 2．回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 通俗地讲，回归分析 是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 3．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度 粗略地看，散点分布具有一定的规律 4. 回归直线 设所求的直线方程为,^ a bx y +=，其中a 、 b 是待定系数． 11 22211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧ ---⎪ ⎪==⎨--⎪⎪ =-⎩∑∑∑∑， ∑==n i i x n x 11,∑==n i i y n y 11 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 二、讲解新课： 1.相关系数：相关系数是因果统计学家皮尔逊提出的，对于变量y 与x 的一组观测值，把 ∑∑∑===----= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 221 )()() )((= ∑∑∑===---n i n i i i n i i i y n y x n x y x n y x 1 1 22221 ) )(( 叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度. 2.相关系数的性质： r ≤1，且r 越接近1，相关程度越大；且r 越接近0，相关程度越小.
2021年高三数学上 18.3《线性回归方程》学案 沪教版
2019-2020年高三数学上 18.3《线性回归方程》学案 沪教版 【目标引领】 1． 学习目标： 了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。 2． 学法指导： ①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性． ②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误． ③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识． 【教师在线】 1． 解析视屏： 1．相关关系的概念 在实际问题中，变量之间的常见关系有两类： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S 与其边长之间的函数关系（确定关系）； 一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系） 相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 2．求回归直线方程的思想方法 观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？ 引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下： 设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数。 则ˆ(1,2,,)i i y bx a i n =+=⋅⋅⋅⋅，于是得到各个偏差。
8-2-1一元线性回归模型(教案) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
第八章成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型 教学设计 一、教学目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义. 2.了解元线性回归模型参数的统计意义. 3.结合具体实例，了解一元线性回归模型随机误差产生的原因. 二、教学重难点 1、教学重点 一元线性回归模型的含义. 2、教学难点 一元线性回归模型的含义. 三、教学过程 （一）新课导入 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以判断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测. 接下来我们就来研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题. （二）探索新知 探究一线性相关 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高. 为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表.
/cm 儿子身高 /cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 如图，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图. 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关. 利用统计软件，求得样本相关系数为0.886r ≈，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 思考：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 探究二 一元线性回归模型 在上表的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况. 例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172cm ，而对应的儿子身高分别为176cm 和174cm ；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170cm ，而父亲身高分别为173cm 和169cm. 可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画. 散点图中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型. 其中，随机误差是一个随机变量. 用x 表示父亲身高，Y 表示儿子身高，e 表示随机误差. 假定随机误差e 的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值2σ，则它们之间的关系可以表示为2()0,()Y bx a e E e D e σ =++⎧⎨==⎩.(1)
2021_2022学年新教材高中数学第7章统计案例§1一元线性回归学案北师大版选择性必修第一册202
§1 一元线性回归 1.1 直线拟合 1.2 一元线性回归方程 学 习 任 务 核 心 素 养 1．通过实例掌握回归分析的根本思想方法．(难点) 2．会利用最小二乘法求线性回归方程，并能用线性回归方程进展预报．(重点) 通过线性回归方程的应用，培养数学建模与数据分析素养． 圆的周长l 与半径r 是什么关系？父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？这两个问题有什么不同？ 1．变量之间的相关关系 (1)变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y 与身高x ．一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性． (2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将成对数据(x i ，y i )所对应的点描出来，这些点构成的图称为散点图． (3)在两个变量X 和Y 的散点图中，假如所有点看上去都在一条光滑的曲线附近波动，此时就可以用这条曲线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为曲线拟合；假如所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用这条直线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为直线拟合． 2．最小二乘法 如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用∑n i ＝1 [y i － a ＋bx i ]2来刻画这
些点与直线Y ＝a ＋bX 的接近程度，使得上式达到最小值的直线Y ＝a ＋bX 就是要求的直线，这种方法称为最小二乘法． 3．线性回归方程 假设成对数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归方程为Y ＝a ＋bX ，如此 b ^＝ ∑ n i ＝1x i －x y i －y ∑ n i ＝1 x i －x 2 ＝ ∑n i ＝1 x i y i －n x －y － ∑n i ＝1 x 2i －n x 2 ，a ^＝y －b ^ x ． 在线性回归方程Y ＝a ＋bX 中，当一次项系数b 为正数时，其散点图有什么特征？ [提示]在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势． 1．思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞) (1)正方体的体积V 与其边长a 是函数关系．( ) (2)西瓜藤的长短与西瓜的产量不是函数关系．( ) (3)散点图可以粗略地判断两个变量是否具有线性相关关系．( ) (4)在求线性回归方程之前，应先判断这两个变量是否具有线性相关关系．( ) [答案](1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．根据下表中的数据，得到的回归方程为Y ＝bX ＋9，如此b ＝( ) X 4 5 6 7 8 Y 5 4 3 2 1 A ．D [由题意可得x ＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝1 5×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，∵回归方程 为Y ＝bX ＋9且回归直线过点(6，3)，∴3＝6b ＋9，解得b ＝－1．] 3．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据： 天数X /天 3 4 5 6 7 繁殖个数Y /万个 3 4 c