全等三角形判定二(SSS)(基础)知识讲解

全等三角形判定二（SSS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边边边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 【要点梳理】要点一、全等三角形判定4——“边边边” 全等三角形判定4——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、判定方法的选择已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等SAS SSS要点三、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质.2． 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.要点五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。

要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、全等三角形的判定4——“边边边”1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM为公共边，则可由SSS定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M为PQ的中点（已知），∴PM＝QM在△RPM和△RQM中，()(),,RP RQPM QMRM RM⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一）同步练习6】【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形性质和判定综合应用2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ． (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DC ⊥BE .【思路点拨】△ABE 与△ACD 中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE ≌△ACD ；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直. 【答案与解析】 解：（1）△ABE ≌△ACD证明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE即∠BAE＝∠CAD又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA,又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD ＝90°则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.3、如图，AE、CP分别是钝角三角形ABC（∠ABC＞90°）的高，在CP上截取CD=AB，在AE的延长线上截取AQ=BC，连接BD、BQ．（1）写出图中BD、BQ所在的三角形；（2）结合条件CD=AB，通过一组三角形全等，证明BD=BQ；（3）求证：BD⊥BQ．【思路点拨】（1）写也含有BD、BQ的三角形即可；（2）根据已知利用SAS判定△ABQ≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等，即可求得BD=BQ；（3）根据全等三角形的对应角相等，可得到∠1=∠2，∠3=∠4，又因为CP是△ABC的高，可推出BQ⊥BD．【答案与解析】解：（1）△BDC，△BDP，△QBE，△QAB；（2）AE、CP分别是△ABC的高∴∠ABE=∠CBP∴∠1=∠2在△ABQ和△CDB中∴△ABQ≌△CDB（SAS）∴BD=BQ（3）∵△ABQ≌△CDB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5=∠6∴∠QBD=∠6+∠PBD=∠5+∠PBD=∠PBD+∠4+∠2∵CP⊥AB∴∠PBD+∠4+∠2=90°∴BQ⊥BD【总结升华】此题考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SAS、ASA、AAS、SSS．举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA）∴BD＝CE.类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH和△DFH中，DE DFEH FHDH DH⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH≌△DFH(SSS)∴∠DEH＝∠DFH．【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.举一反三：【变式】工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？【答案】证明：在△OPE与△OPD中∵OE OD OP OP PE PD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OPE≌△OPD （SSS）∴∠EOP＝∠DOP∴ OP平分∠AOB.类型四、三角形的稳定性5.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。