数学归纳法经典示例详解
数学归纳法经典示例详解
数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它通过以下两个
步骤来进行证明：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤
基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立的步骤。
在使用数
学归纳法时，我们需要首先证明命题在某个最小的自然数上成立。
例如，假设我们要证明命题P(n)对于所有的自然数n成立，我们需
要证明P(1)成立。
归纳步骤
归纳步骤是在基础步骤的基础上进行推导，证明命题在n+1的
情况下也成立。
假设我们已经证明了P(n)成立，那么我们需要证明
P(n+1)成立。
这一步骤通常包括一个归纳假设和一系列的推理步骤。
经典示例
下面是一个经典的使用数学归纳法进行证明的示例：
示例命题
对于任意正整数n，命题P(n)为：1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2。
基础步骤
我们首先证明命题在n=1时成立：
\[1 = \frac{1(1+1)}{2}\]
归纳步骤
假设命题在n=k时成立，即：
\[1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}\]
我们需要证明命题在n=k+1时也成立：
\[1 + 2 + ... + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+1+1)}{2}\]
通过归纳假设，我们可以将左边的式子替换为
\(\frac{k(k+1)}{2}\)：
\[\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\]
通过化简，我们可以证明这个等式成立。
因此，命题P(n)对于任意正整数n成立。
总结
数学归纳法是一种很强大的数学证明方法，它可以用来证明一些命题在所有自然数上成立。
通过基础步骤和归纳步骤，我们可以逐步推导出命题的正确性。
在使用数学归纳法时，我们需要确保基础步骤正确，并进行详细的推导步骤来证明归纳步骤的正确性。
数学归纳法在解决一些数学问题时具有很大的帮助，我们可以通过它来发现并证明一些有关数列、函数等的性质。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法〔2021.4.21〕一、用数学归纳法证明与正整数有关命题步骤是：〔1〕证明当n 取第一个值0n 〔如01n =或2等〕时结论正确； 〔2〕假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合〔1〕、〔2〕，……留意：数学归纳法运用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对随意自然数n 都成立．说明：这里要留意，当n =k +1时，要证目的是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．相识了这个目的，于是就可朝这个目的证下去，并进展有关变形，到达这个目的．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法及应用列举
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1ຫໍສະໝຸດ n(n*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
圾扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己的生命，而不是被垃圾所淹没。终于有一天它重新回到了地面上。 ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写 出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提 炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： ? 考前高考作文审题立意强化训练参考答案 ? 一、“坚持，便要在精神上压倒对方（困难或敌人）”，“振作精神便能顽强坚持”，这两种立意便有点不简单了； 而主要从弗雷泽的角度立意：“本是旗鼓相当，但一念之间的放弃意味着失败”，就或许有些与众不同；结合两个人的角度立意恐怕更少了吧？殊不知新意也便在此了：“胜利与失败原来是近邻，就在于坚持还是放弃”。然而不管怎样立意，总不能绕开“坚持”。 ? 二、本则材料中最后三句 话当是理解文意的关键，三次提到“大石头”，成了理解文意的关键。可以提出这样的问题：“你们工作，生活和学习中最重要的'大石头'是什麽呢？”思考之后就会得出这样一个结论：“大石头”就是生活，工作和学习中的最重要东西。 ? 可谈自己生活中最重要的'大石头'是自信心，有了 自信心，自己就有了进取的动力，就有了腾飞的马达；可谈“爱”是生活中最重要的“大石头”，有了爱，就有了温暖，有了关怀，有了理解，有了支撑，这个世界便充满了温馨；可谈学习是人生中最重要的“大石头”，进入知识经济时代，学习是生存的保障也是人类进一步发展的需要，更 是人的精神支柱…… ? 这个题目要“谈谈你的看法”，那就只有写成议。 ? 三、不要抱怨你的学校不好，不要抱怨你的专业不好，不要抱怨你住在破宿舍里，不要抱怨你的男人穷，你的女人丑，不要抱怨你没有一个好的爸爸，不要抱怨你的工作差，工资少，不要抱怨你空怀一身绝技没有人 赏识…… ? 现实有太多的不如意，就算生活给你的是垃圾，你同样能把垃圾踩在脚下，登上理想之巅。 ? 高考作文审题强化训练（二） ? （一）命题作文 1．请以“坚守信念”为题，写一篇不少于800字的文章。 要求：①立意自定。②除诗歌外，文体不限。③不得抄袭。 【写作指引】 这 是属于哲理类的写作命题。题目是一个四字短语，它包含了两个要素，即“坚守”和“信念”。但以“坚守”为主,写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。而且必须明确要表现的是“坚守”，不是一般的“呵护”、“守护”，更不是“树立”、“拥有”等。既是“坚守”，肯定遭遇了一些 对“信念”的冲击波，可能还是比较严重的挫折和打击等。没有这些因素的烘衬，“坚守”之“坚”未能凸现出来。特别要注意的还有，不能绕开“坚守”而大谈“信念”，不然就导致重心移位了。依据考生自身的写作能力，无论是选择记叙类文体，运用具体事例来表现“坚守”之精彩，还 是选择议论类文体，通过分析、推理来论“坚守”之重要，均可写出佳作。 2．白雪覆盖，大地一片沉寂，忽而春风涌起，一片灰黑的土地转眼间绿意盎然，让人不能相信，那冬天里，这些种子曾怎样在黑暗的地下舞蹈过呢？平静的湖面如镜般明澈，也会一瞬即风生水起，巨浪滔天，这种力 量它如何孕育？世界上许多静止的事物从未停止过运动。 请以“静止就是舞蹈”为题，体裁不限，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 （1）这个话题具有思辨色彩，以写议为佳。首先我们从“静止”可联想到生命的一个停顿、一种安静，人为什么要安静，想和尚面壁是为了什么，一 是反省，一是破禅。那么我们人生安静也是为了求得自己的更新，道德的进步；是为了在寂寞中苦心而求孤诣，为了学术的成果，为了事业的前进，多少人在喧嚣红尘中默然孤坐，而这样的安静其实是为了等待一个惊世的爆发，一个绝世的舞蹈。而“舞蹈”是生命更新的动力，是美的韵律的 呈现。再读材料联想，这世界运动是永恒的，万物静止是个假象，其实都在生生不息，如蛹化蝶，如沙砾变成珍珠，如种子在黑暗的地下怒涨的生命，这样就可联系科学家、思想家等人来论论题。还可联想到静止的文字与涌动的思想，多少哲人伟人已逝，而透过发黄的纸张，我们依稀可见他 们铮铮的铁骨，他们的谆谆善诱，他们的悲天悯人，他们的积极入世，他们的舍我其谁等。 （2）立意：“静止”可以理解为长期的积累、平凡努力、勤奋付出等，“舞蹈”可以理解为惊世爆发、一鸣惊人、成就人生、取得成功等。 3．《艺术人生》在盘点2004年文艺人物时使用了一个关键 词——“守望”。这是个令人心动的字眼：它是老师期待的眼神，是父母新添的白发，更是你孜孜以求的脚步。我们守望亲情，守望责任，守望未来……守望是信念，是坚守，是期盼。有些东西甚至需要用一辈子去守望。也许不是每一道江流都能入海，不是每一个守望都能圆满。但有了守望， 生活变得深刻，心灵变得充实。守望中，我们拒绝诱惑；守望中，我们执着追求；守望中，我们走向成熟…… 请以“在守望中……”为题，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 守望有不同的对象、不同的意义、不同的过程。可以运用比喻的修辞使“守望”由抽象变为具体可感的形象， 用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，用排比的形式来为“守望”论，也可以综合运用比喻、引用、排比等修辞，展开论述。写成议要有对“守望”的形象化理解，可以在选择材料和论的时候，对材料采用形象化的叙述，可以设置一种情境，烘托出“守望”的价值和意义，以使文字获得 色彩、造型和构图等方面的效果。同时，要充分调动自己的思想感情，自我“激情”，使自己进入到事件中去，同所写的人一起喜、怒、哀、乐、忧、思，让语言充满感情。 4．请以“与……对话”为题写一篇文章，体裁不限，不少于800字。 【写作指引】 这虽是一篇命题作文，其实寻找思
数学归纳法 (有答案)
数学归纳法2015高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． [难点正本 疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 小试牛刀1．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π.2．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案 2k解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋12k ＋1－1.所以左边应增加的项的项数为2k . 3．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是( ) A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 观察等式左边的特征易知选C.4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项. 二、典型例题题型一 用数学归纳法证明等式例1 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关．证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1－12(k ＋1) ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1) ＝右边， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 综合①②知对一切n ∈N *，等式都成立．探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．“假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题正确”并写出命题形式分析“n ＝k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．【变式1】 用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时， 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3) ＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)． 思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即 1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋2k ＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．探究提高 (1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．【变式2】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k2＋8k＋422k＋1>4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2(k＋1)＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．题型三用数学归纳法证明整除性问题例3用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．思维启迪：当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．证明(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，方法一42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．方法二因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13，∵42k＋1·13能被13整除，∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，∴当n＝k＋1时命题也成立，由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．探究提高用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．”【变式3】已知n为正整数，a∈Z，用数学归纳法证明：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．证明(1)当n＝1时，a n＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋a k＋2－a k＋1(a＋1)2＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]－a k ＋1(a 2＋a ＋1)能被a 2＋a ＋1整除． 即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．题型四 归纳、猜想、证明【例4】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 审题视角 (1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明． 规范解答解 (1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得a 21＝1. ∵a n >0，∴a 1＝1，[1分]由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1.[2分]又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2.[3分] (2)猜想a n ＝n －n －1 (n ∈N *)[5分]证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．[6分] ②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．[11分] 由①②知，a n ＝n －n －1 (n ∈N *)．[12分]温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．(2)本题易错原因是，第(1)问求a 1，a 2，a 3的值时，易计算错误或归纳不出a n 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n ＝k＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．失误与防范1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．3．注意n＝k＋1时命题的正确性．4．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．课堂练习一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案 D解析左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3 C．5 D．6答案 C解析令n0分别取2,3,5,6，依次验证即得．3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故应选D. 4．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )[2(2k ＋1)]， ∴应乘2(2k ＋1)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步验证为________． 答案 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立 解析 由n ∈N ＋可知初始值为1.6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 三、解答题(共22分)8．(10分)若n 为大于1的自然数，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324.证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324，那么当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1324＋12(2k ＋1)(k ＋1)>1324. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立． 9．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13.a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13， ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明 ①当n ＝1时， 2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．课后练习一、选择题(每小题5分，共15分)1．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314 (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 答案 C解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1.3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案 (5,7)解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n 2＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．5．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15⎝⎛⎭⎫1＋17…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12(k >1)，则当n ＝k ＋1时，左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋3…⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1－1 2k －1 解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1，最后一个是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有(2k ＋1－1)－(2k＋1)2＋1＝2k －2k －1＝2k －1项．6．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________． 答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9， 故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 三、解答题7．(13分)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1. (1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a 26. 又f (x )max ≤16，所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝a 26≤16. 所以a 2≤1.又当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f (x )≥18， 所以⎩⎨⎧ f ⎝⎛⎭⎫12≥18，f ⎝⎛⎭⎫14≥18，即⎩⎨⎧ a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1.(2)证明 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立． 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13. 故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1. 于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立．。
数学归纳法及应用列举
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。 再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？ 常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料，根据要求作文。
23
n
题3：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被 x+y整除（对于多项式A，B，如果
A=BC，C也是多项式，那么A能被B整 除）
题4：平面内有n（n≧2）条直线，其中 任何两条不平行，任何三条不过同一点，
证明交点的个数f(n)等于 n(n 1)
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
泪”只是你作文的导入或由头，如果单纯地写“杨振宁流泪”，那么就难以切题。 ? ?作文题三十三 阅读下面的材料，根据要求作文。 登山的人，有的目不旁视，奋力攀登，他执著于到达峰顶的瞬间风光；有的则流连沿途风景，且走且赏，山顶不过是他歇脚的地方。不只登山，
生活也是这样：两种心态，两种行为，两种价值观。你怎么看待这个问题呢？ 请以“进取心与平常心”为话题，联系现实生活，写一篇文章。自定立意，自拟标题，自选文体，不少于800字。 [写作提示]情感、态度、价值观，是新课标提出的课程理念之一。要关注生活、关注
高下相倾，音声相和，前后相随学说讲的就是这个道理。 “结合社会生活实际”是作文的关键。如果就寓言谈寓言，就庄子谈庄子，就匠石谈匠石，那么就“答非所问”了。 作文题三十 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。
数学归纳法经典问题详解
数学归纳法经典问题详解问题背景数学归纳法是一种常用的证明方法，常用于证明基于自然数的问题。
它适用于那些可以分解成递归结构的问题，通过证明一个基础情况和一个递推规则来推导出问题的解。
问题解析下面将详细解析数学归纳法的经典问题。
问题1：斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的数都是前面两个数的和。
首几个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...证明：对于任意的正整数n，斐波那契数列的第n项为F(n)。
- 基础情况：当n=1时，F(1)=1。
当n=2时，F(2)=1。
- 递推规则：假设对于任意的k≥2，有F(k-1)和F(k-2)是斐波那契数列的前两项。
则F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
问题2：求和问题对于给定的正整数n，求解1到n的所有自然数的和。
证明：对于任意的正整数n，1到n的所有自然数的和为S(n)。
- 基础情况：当n=1时，S(1)=1。
- 递推规则：假设对于任意的k≥1，有S(k) = k + S(k-1)。
则S(n) = n + S(n-1)。
问题3：等差数列的求和对于给定的正整数n，求解首n项等差数列的和。
证明：对于任意的正整数n，首n项等差数列的和为A(n)。
- 基础情况：当n=1时，A(1)=a（a为等差数列的首项）。
- 递推规则：假设对于任意的k≥1，有A(k) = a + d*(k-1) （d为等差数列的公差）。
则A(n) = A(n-1) + d。
结论通过数学归纳法，我们可以证明斐波那契数列的递推关系，自然数求和和等差数列求和的公式。
这些经典问题的解法不仅在数学上有意义，也具有重要的实际应用价值。
希望本文对读者理解数学归纳法和经典问题的解析有所帮助。
数学归纳法经典问题详解问题背景数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于基于自然数的问题。
它通过证明基础情况和递推规则来推导出问题的解。
问题解析本文详细解析了数学归纳法的经典问题。
问题1：斐波那契数列证明：对于任意的正整数n，斐波那契数列的第n项为F(n)。
高一数学必修一中的数学归纳法应用实例
高一数学必修一中的数学归纳法应用实例在高一数学必修一中，数学归纳法是一个重要的证明方法，它为解决与自然数相关的命题提供了有力的工具。
接下来，让我们通过一些具体的实例来深入理解数学归纳法的应用。
首先，我们来明确一下数学归纳法的基本步骤。
第一步是“奠基”，也就是证明当 n 取第一个值 n₀（通常 n₀＝ 1）时命题成立。
第二步是“归纳递推”，假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k 为自然数）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
有了这个基础，我们来看第一个实例。
证明：1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，左边＝右边，命题成立。
假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝ k²＋ 2k ＋ 1＝（k ＋ 1)²右边＝（k ＋ 1)²所以左边＝右边，当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立。
由上述数学归纳法的步骤，可证明该命题对任意自然数 n 都成立。
再来看一个关于数列的例子。
已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，证明 aₙ ＝2ⁿ 1当 n ＝ 1 时，a₁＝ 2¹ 1 ＝ 1，命题成立。
假设当 n ＝ k 时，命题成立，即 aₙ ＝ 2ᵏ 1当 n ＝ k ＋ 1 时，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1＝ 2(2ᵏ 1) ＋ 1＝ 2 × 2ᵏ 2 ＋ 1＝ 2ᵏ⁺¹ 1所以当 n ＝ k ＋ 1 时，命题也成立。
从而证明了对于任意自然数 n，aₙ ＝2ⁿ 1 都成立。
接下来这个例子是关于不等式的证明。
证明：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＞ ln(n ＋ 1) （n ∈ N）当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ ln(1 ＋ 1) ＝ ln2 ＜ 1，左边＞右边，命题成立。
数学归纳法经典例题及参考答案
由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立． 题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
23
n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题 例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时， 原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2， 右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 即 Tk＝成立 那么，当 n＝k＋1 时， 左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝ ＝＝右边． 故当 n＝k＋1 时，等式成立． 综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．
数学归纳法及应用列举精品PPT教学课件
2020/12/6
1
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1）时
命题成立，然后假
设当 n k (k N ,k n 0)时命题成立，
再证明当 nk1时命题
也成立，那么就证明这个命题成立，
这种证明方法叫做数学归纳法．
2020/12/6
6
（2）1 4 2 7 3 1 .0 .n ( 3 .n 1 ) n ( n 1 ) 2
2020/12/6
9
用数学归纳法证明： 111...12n(n N *)
23 n
2020/12/6
10
题3：用数学归纳法证明：x2n-y2n能被 x+y整除（对于多项式A，B，如果
A=BC，C也是多项式，那么A能被B整 除）
2
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k (k N 且 k n 0 )结论正确，证明
nk1时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
2020/12/6
3
练习：
用数学归纳法证明“不等式
11 21 3.. .2.n1 .1n(n *且 n1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1 1 1 2 23
（C）1 1 1 3 （D）11113
23
234
2归纳法证明
(n1)n (2)..n..n). (2n•1•3...•(.2.n .1)
数学归纳法及应用列举
数学归纳法例子
数学归纳法例子
1. 你看那摆多米诺骨牌，第一块倒下了，后面的就依次跟着倒下，这就像数学归纳法呀！比如从 1 加到 100，先证明当 n=1 时等式成立，这就是第一块骨牌倒下了，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成立，这
不就是后面的骨牌依次倒下嘛！
2. 回想一下我们小时候爬楼梯，第一步跨上去了，然后知道如果这一步能跨上去，下一步也一定能，这不就是数学归纳法的应用嘛！比如证明一个数列的规律，一开始验证最初的情况，接着就能推广到后面所有的情况啦，多神奇呀！
3. 哎呀，大家想想植树，种第一棵树是关键的第一步呀，然后知道只要一种了这一棵，按照同样的方法就能种下后面所有的树，这和数学归纳法多像呀！像证明某个等式对所有自然数都成立，先证明开始的基础情况，再能一步步推导下去，有意思吧！
4. 你有没有玩过传递消息的游戏呀？第一个人把消息准确无误地传递出去了，然后后面的人也能同样准确传下去，这也包含了数学归纳法的道理呀！就好比要证明一个定理，只要开头对了，后面就能顺着证明下去，是不是很奇妙呢？
5. 想想看盖房子，打牢第一块基石是多么重要啊，这就是最开始的证明，然后一层一层往上盖，就跟数学归纳法一样！比如证明一个整除的问题，搞定了最初的情况，就可以一步步扩展到所有情形，真是太妙了！
6. 你知道吗，就像拼图游戏，我们拼好第一块，就有信心能一块一块把整个图拼好，这简直就是数学归纳法！比如证明一个几何性质，先搞定一个最小的情况，然后就能逐步涵盖所有的情况，太让人惊叹啦！
7. 当我们排队的时候，第一个人站好了，后面的人依次排好，这不就是一个生动的数学归纳法例子嘛！像证明一个计算式子对所有自然数成立，弄清楚了开头，然后一步步推进，哇塞，简直太厉害了！总之，数学归纳法就是这么神奇又实用，让我们能解决好多看似复杂的问题呢！。