万有引力理论的成就导学案

万有引力理论的成就导学案（15）

【学习目标】

1.了解万有引力定律在天文学上的应用

2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度 方法

【学习重点】

1.行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的。

2.会用已知条件求中心天体的质量。

【学习难点】根据已有条件求中心天体的质量。 【课时】2课时 【学习过程】

一、天体质量和密度的计算方法

1．利用重力近似等于万有引力（重力加速度法） （1）地球表面的物体，万有引力等于重力

mg R

Mm

G =2 M=

(已知中心天体表面的重力加速度与半径)

此时密度GR

g

πρ43=

（2）距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力

mg h R Mm

G

=+2

)

( M=

(已知某高度处的重力加速度与距离)

2．利用环绕天体绕中心天体的运动看作匀速圆周运动，其万有引力提供向心力。（环绕法） （1）绕中心天体的行星或卫星 ①已知线速度v 与轨道半径r

r mv r

Mm G 2

2= M=

②已知角线速度ω与轨道半径r 22ωmr r Mm

G = M= ρ＝

③已知周期T 与轨道半径r 22)2(T mr r

Mm G π

= M= ρ=

④已知线速度v 和运行周期T

22)2(T mr r Mm G π

= 又r ＝vT 2π M= 总结：

线速度v 、角速度ω（周期T 、频率f 、转速n ）、轨道半径r ，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M 。 或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。 （2）绕中心天体表面运行的行星或卫星

①已知线速度与轨道半径R mv R

Mm G 2

2=

G

R

v M 2

=

②已知角线速度与轨道半径2

2ωmR R

Mm G = G R M 3

2ω=

G

πωρ432

= （已知角速度）

③已知周期与轨道半径22)2(T mR R Mm G π

=

G T R M 232)2(π= 2

3GT π

ρ= （已知周期)

如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周期的平方即：

G

T π

ρ32=

是一个常量，与任何因数都无关。 二、发现未知天体

万有引力对研究天体运动有着重要的意义.海王星、冥王星就是这样发现的.请同学们推导：已知中心天体的质量及绕其运动的行星的运动情况，在太阳系中，行星绕太阳运动的半径r 为：

根据F 万有引力=F 向=2r

Mm G ,而F 万有引力=r T

m 2)2(π

,两式联立得：

3

12

2

)4(

πM GT r =

【课堂训练】 一、天体质量的计算

例1 利用下列哪组数据，能够计算出地球的质量( ) A ．已知地球的半径R 地和地面的重力加速度g

B ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和周期T

C ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度v

D ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T

练习1：银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动. 由天文观测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G .由此可求出S 2的质量为( )

A.4π2r 2(r －r 1)GT 2

B.4π2r 31GT 2

C.4π2r 3GT 2

D.4π2r 2r 1

GT 2

二、天体密度的计算

例2 一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员实行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果能够，请说明理由及推导过程．

练习2：假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T 1，已知万有引力常量为G ，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？

三、应用万有引力定律分析实际问题

r=R+h r=R

M m

r

M

m

r=R

M

m

M

m

例3某星球的半径R′是地球半径R的0.5倍(即R′＝0.5R)，该星球的质量m′是地球质量m的4倍(即m′＝4m)．已知在地球表面上以初速度v0竖直上抛物体能达到的最大高度为H，求在该星球表面上以同样大小的初速度竖直上抛物体能达到的最大高度H′多大？

【课后巩固】

1.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量为G，则根据以上数据可解得的物理量有( )

A．土星线速度的大小B．土星加速度的大小

C．土星的质量D．太阳的质量

2．离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的1 2，

则高度h是地球半径的( )

A．2倍 B.1

2C．4倍D．(2－1)倍

3.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，能够估算出的物理量有( ) A．月球的质量B．地球的质量

C．地球的半径D．月球绕地球运行速度的大小

4．已知下面的哪组数据，能够算出地球的质量M(引力常量G为已知)( )

A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3 D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4

5.下列说法准确的是( )

A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其轨道而发现的B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其轨道而发现的C．天王星运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是因为天王星受到轨道外的其他行星的万有引力作用D．以上均不准确

6．日本“月亮女神”于2007年9月14日发射升空，开始了它为期一年的绕月探测之旅，我国“嫦娥一号”也已于2007年底

发射，对月球实行科学探测，实行三维立体照相，分析月球土壤

的成分；美、俄也计划于2014年前重返月球．新的一轮月球探

测已经开始．通过绕月卫星的运行参数(轨道半径r、周期T，线

速度v)可实行相关计算，下列说法准确的是( )

A．计算月球的质量B．计算月球的密度

C．计算月球的自转周期D．计算月球的公转周期

7.有一星球的密度与地球的密度相同，它表面处的重力加速度是

地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )

A.

1

4B．4倍C．16倍D．64倍

8．科学家们推测，太阳系有颗行星和地球在同一轨道上．从地

球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，能够说是

“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息能够推知( )

A．这颗行星的质量等于地球的质量

B．这颗行星的密度等于地球的密度

C．这颗行星的公转周期与地球公转周期相等

D．这颗行星的自转周期与地球自转周期相等

9．我国于2008年9月25日实施了“神舟七号”载人航天飞行

任务，实现航天员首次空间出舱活动．设宇航员测出自己绕地球

球心做匀速圆周运动的周期为T，离地面的高度为H，地球半径

为R.则根据T、H、R和万有引力常量，不能计算出的量是( )

A．地球的质量B．地球的平均密度

C．飞船所需的向心力D．飞船线速度的大小

10．某同学设想驾驶一辆“陆地—太空”两用汽车，沿地球赤道

行驶并且汽车相对于地球速度能够增加到充足大．当汽车速度增

加到某一值时，它将成为脱离地面绕地球做圆周运动的“航天汽

车”．不计空气阻力，已知地球的半径R＝6 400 km,( )

A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大

B．当汽车速度增加到7.9 km/s，将离开地面绕地球做圆周运动

C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h

D．在此“航天汽车”上能够用弹簧测力计测量物体的重力

11．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕

连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为

R，其运动周期为T，求两星的总质量．

12．在某星球上，宇航员用弹簧测力计提着质量为m的物体以加

速度a竖直上升，此时弹簧测力计示数为F，而宇宙飞船在靠近

该星球表面绕星球做匀速圆周运动而成为该星球的一颗卫星时，

宇航员测得其环绕周期是T.根据上述数据，试求该星球的质量．

13．已知万有引力常量为G，地球半径为R，同步卫星距地面的

高度为h，地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g.某

同学根据以上条件，提出一种估算地球赤道表面的物体随地球自

转的线速度大小的方法：

地球赤道表面的物体随地球做圆周运动，由牛顿运动定律有

GMm

R2＝m

v2

R

又因为地球上的物体的重力约等于万有引力，有mg＝

GMm

R2

由以上两式得v＝gR

(1)请判断上面的结果是否准确，并说明理由．如不准确，请

给出准确的解法和结果．

(2)由以上已知条件还能够估算出哪些物理量？(请估算两个

物理量，并写出估算过程)．