2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算课时训练

第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算

1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________． 答案：－12

，－2 解析：f （2）－f （1）2－1＝－12；f （1）－f ⎝⎛⎭⎫121－12

＝－2. 2. 某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t ＝2s 时，汽车的瞬时速度为________．

答案：4m/s 解析：注意带单位．利用导数可求．

3. 若f(x)＝x 2－2x －4lnx ，则f′(x)>0的解集是________．

答案：(2，＋∞)

解析：x>0，f ′(x)＝2x －2－4x

>0，解得x>2. 4. 已知f(x)＝x 2＋2xf′(1)，则f′(－1)＝________．

答案：－6

解析：f′(x)＝2x ＋2f′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴ f ′(1)＝－2，∴ f(x)＝x 2－4x ，f ′(－

1)＝－6.

5. 曲线f(x)＝e x

1－x

在x ＝2处的切线斜率为________． 答案：0

解析：f′(x)＝e x （1－x ）－e x （－1）（1－x ）2＝e x （2－x ）（1－x ）2

，所以切线斜率为f′(2)＝0. 6. 曲线y ＝x 与y ＝8x

在它们交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为________．

答案：6

解析：两曲线交点为(4，2)，利用函数求导知，它们在交点处的切线方程分别为x －4y ＋4＝0与x ＋2y －8＝0，所以两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为6.

7. 设P 是函数y ＝x(x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．

答案：⎣⎡⎭

⎫π3，π2 解析：tan θ＝y′＝12⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝13时，取等号，所以θ∈⎣⎡⎭

⎫π3，π2. 8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2lnx 相切，则实数k ＝________．

答案：2 e

解析：对y ＝2lnx 求导得y′＝2x

， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2lnx ＝kx －3，k ＝2x ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2e ，x ＝e －12，

即实数k ＝2 e. 9. 求下列函数的导数．

(1) y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

(2) y ＝2x ＋ln2x ；

(3) y ＝

sinx sinx ＋cosx －12

； (4) y ＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)．

解：(1) y′＝3x 2＋12x ＋11；

(2) y′＝2x ln2＋1x

； (3) y′＝1（sinx ＋cosx ）2

； (理)(4) y′＝2[ln(2x ＋1)＋1]．

10. 已知曲线y ＝x 2＋1x

(x>0)． (1) 求曲线在x ＝2处的切线方程；

(2) 求曲线上的点到直线3x －4y －11＝0的距离的最小值． 解：(1) 3x －4y ＋4＝0； (2) 设曲线在点(x 0，y 0)处的切线与直线3x －4y －11＝0平行，因为y′＝1－1x 2，令1－1x 20

＝34

，解得x 0＝2，所以切点为⎝⎛⎭⎫2，52，所以距离的最小值为点⎝⎛⎭⎫2，52到直线3x －4y －11＝0的距离，即为3.

11. 设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x)e －x 在点B(x 0，y 2)

处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦

⎤0，32，使得l 1⊥l 2，求实数a 的取值范围． 解：由y ＝(ax －1)e x ，得y′＝ae x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x .由y ＝1－x e x ，得y′＝－e x －（1－x ）e x （e x ）2

＝x －2e x . 由题意(ax 0＋a －1)·ex 0·x 0－2ex 0

＝－1，即(ax 0＋a －1)(x 0－2)＝－1在⎣⎡⎦⎤0，32上有解．方程可化为ax 0＋a －1＝－1x 0－2.设f(x 0)＝ax 0＋a －1，g(x 0)＝－1x 0－2

，作图可知1≤a ≤32. 另法：方程可化为a ＝x 0－3x 20－x 0－2.求函数t(x 0)＝x 0－3x 20－x 0－2

在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32上的值域即可．