同济大学高等数学泰勒公式
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第三节 泰勒(Taylor)公式
▪ 一、问题的提出 ▪ 二、Pn和Rn的确定 ▪ 三、泰勒中值定理 ▪ 四、简单应用 ▪ 五、小结 思考题
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一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1(
在 x0与x
之间).
上页 下页 返回
证明: 由假设,Rn ( x) 在(a,b) 内具有直到(n 1)阶
导数,且
Rn ( x0 )
Rn ( x0 )
Rn( x0 )
R(n) n
(
x0
)
0
两函数 Rn ( x) 及( x x0 )n1 在以 x0 及 x 为端点的
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
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麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
o
y ln(1 x) o
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不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
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二、Pn 和Rn 的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
y f (x)
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0 )n
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n
0
n(n
Rn(2 ) 1)(2
x0 )n1
(2在x0与1之间)
如此下去,经过(n 1)次后,得
Rn( x) ( x x0 )n1
R(n1) n
(
)
n 1!
(在x0与
之间
n
,也在
x0 与x
得
ak
1 k!
f
(k) ( x0 )
(k 0,1,2, , n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
x0
x
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假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2, , n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
通过计算 Pn(k ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ) k 1,2, , n
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
O( xn )
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四、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x的n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n) ( x) e x , f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0
)n
(在x0与x之间)
上页 下页 返回
两函数 Rn ( x) 及(n 1)( x x0 )n 在以 x0 及1为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f (k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
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注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f
(x)
n
k0
f
(k)( x0 ) (x k!
x0 )k
Rn ( x)
称为 f ( x)按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
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Rn( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
之间)
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Pn(n1) ( x) 0,
R ( n1) n
(
x)
f (n1) ( x)
则由上式得
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
Pn ( x)
n
k0
f
(k) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
称为 f ( x)按( x x0 )的幂展开的 n 次近似多项式
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n Rn ( x)
其中Rn( x)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图） 上页 下页 返回
y ex
y ex
y x
y 1 x
▪ 一、问题的提出 ▪ 二、Pn和Rn的确定 ▪ 三、泰勒中值定理 ▪ 四、简单应用 ▪ 五、小结 思考题
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一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1(
在 x0与x
之间).
上页 下页 返回
证明: 由假设,Rn ( x) 在(a,b) 内具有直到(n 1)阶
导数,且
Rn ( x0 )
Rn ( x0 )
Rn( x0 )
R(n) n
(
x0
)
0
两函数 Rn ( x) 及( x x0 )n1 在以 x0 及 x 为端点的
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
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麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
o
y ln(1 x) o
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不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
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二、Pn 和Rn 的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
y f (x)
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0 )n
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n
0
n(n
Rn(2 ) 1)(2
x0 )n1
(2在x0与1之间)
如此下去,经过(n 1)次后,得
Rn( x) ( x x0 )n1
R(n1) n
(
)
n 1!
(在x0与
之间
n
,也在
x0 与x
得
ak
1 k!
f
(k) ( x0 )
(k 0,1,2, , n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
x0
x
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假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2, , n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
通过计算 Pn(k ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ) k 1,2, , n
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
O( xn )
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四、简单的应用
例 1 求 f ( x) e x的n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n) ( x) e x , f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1
区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0
)n
(在x0与x之间)
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两函数 Rn ( x) 及(n 1)( x x0 )n 在以 x0 及1为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f (k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
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注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f
(x)
n
k0
f
(k)( x0 ) (x k!
x0 )k
Rn ( x)
称为 f ( x)按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
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Rn( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
之间)
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Pn(n1) ( x) 0,
R ( n1) n
(
x)
f (n1) ( x)
则由上式得
Rn( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
Pn ( x)
n
k0
f
(k) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
称为 f ( x)按( x x0 )的幂展开的 n 次近似多项式
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n Rn ( x)
其中Rn( x)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图） 上页 下页 返回
y ex
y ex
y x
y 1 x