2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案
2013-2017高考数学全国卷立体几何汇编
2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编学校： 姓名： 班级： 考号：一、选择题I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A. 10B. 12C. 14D. 162. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( )A. 32 B.155 C. 105 D. 334. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. π B. 3π4C. π2D. .π45. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是()A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. 32B. 22C. 33D. 137. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A. 18+365B. 54+185C. 90D. 819. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A. 4πB. 9π2C. 6π D. 32π310. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛11. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,11]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=()正视图俯视图A. 1B. 2C. 4D. 812. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,6]一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. 18B. 17C. 16D. 1513. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,9]已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π14. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ，12]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 6B. 6C. 4D. 415. [2014·全国新课标卷Ⅱ,6]如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 1316. [2014·全国新课标卷Ⅱ,11]直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA ＝90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC ＝CA ＝CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 110B. 25C. 3010D. 2217. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B. 866π3 cm 3 C. 1372π3 cm 3 D. 2048π3cm 318. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，8]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 16＋8πB. 8＋8πC. 16＋16πD. 8＋16π 19. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，4]已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A. α∥β且l ∥α B. α⊥β且l ⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行l20. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，7]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )A. B. C. D.二、填空题I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.22. [2017·全国新课标卷III(理)]a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)23. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,14]α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)三、解答题24. [2017·全国新课标卷I(理)] (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.25. [2017·全国新课标卷II(理)] (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.ABCD,AB=BC=12(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.26. [2017·全国新课标卷III(理)] (本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.27. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,18] (本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D -AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.28. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,19] (本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=5,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=4(1)证明:D'H ⊥平面ABCD ; (2)求二面角B -D'A -C 的正弦值.29. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,19] (本小题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.30. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,18](本小题满分12分) 如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.31. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,19](本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F= 4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.32. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ,19] (本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,AB ＝BC ,求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.33. [2014·全国新课标卷Ⅱ，18] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°,AP ＝1,AD ＝ 3,求三棱锥E -ACD 的体积.34. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，18](本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.35. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，18](本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝ 22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值.。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )
图 2俯视图侧视图正视图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何 ）一、选择题：1．(2013安徽理)在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A2. (2013北京文)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案 B解析 设正方体边长为1，不同取值为P A ＝PC ＝PB 1＝63，P A 1＝PD ＝PC 1＝1，PB ＝33，PD 1＝233共有4个．3．(2013广东理) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143 C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,故选B ．4．(2013广东文) 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.5．(2013广东文) 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.6．(2013广东理) 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．A1A正视图侧视图7、(2013湖北理) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积8. (2013湖南文) 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____ D ____ A ．B.1【答案】 D【解析】 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=9．(2013湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD 【答案】 C【解析】 由题知，正方体的棱长为1，121-2.]2,1[]2,1[1<而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。
专题17立体几何解答题-【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题17 立体几何解答题1．(2022年全国甲卷理科·第18题)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．2．(2022年全国乙卷理科·第18题)如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面A B D 所成的角的正弦值．3．(2022新高考全国II 卷·第20题)如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --正弦值．4．(2022新高考全国I 卷·第19题)如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．(1)证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B QD A --平面角的余弦值．6．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD的中点．的的(1)证明：OA CD ⊥；(2)若OCD 是边长为1等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．7．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第20题)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．8．(2020新高考II 卷(海南卷)·第20题)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC；的(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．9．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求二面角A PM B --的正弦值．10．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥；(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，PO．的(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．(1)证明：点1C 平面AEF 内；(2)若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B−CG−A 的大小．15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第17题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．()1证明：BE ⊥平面11EB C ；()2若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．在图2图1A16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第18题)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60,,,AA AB BAD E M N ==∠=︒分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ；(2)求二面角1A MA N --的正弦值．17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M 是弧CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．ABCDD 1C 1A 1B 1MN E19．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DCF ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．20．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．(1)证明:平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值．21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角P ABCD -//AB CD 90BAP CDP ∠=∠=︒PAB ⊥PAD PA PD AB DC ===90APD ∠=︒A PB C --ABCD ABC ∆ACD ∆ABD CBD ∠=∠AB BD =ACD ⊥ABC AC BD E AEC ABCD PABMCO的余弦值．22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．(1)证明：直线 平面 ；(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．23．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥地面ABCD ,AD ∥BC ,3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.(Ⅰ)证明MN ∥平面PAB ;(Ⅱ)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.D AE C --P ABCD -PAD ABCD o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E PD //CE PAB M PC BM ABCD o45M AB D --24．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)(本小题满分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置，OD '=(I)证明：D H '⊥平面ABCD ；(II)求二面角B D A C '--的正弦值．25．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)(本题满分为12分)如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠= ，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60 ．(I)证明平面ABEF ⊥EFDC ；(II)求二面角E BC A --的余弦值．BDPN M ABCD26．(2015高考数学新课标2理科·第19题)(本题满分12分)如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．27．(2015高考数学新课标1理科·第18题)如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠= ，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥．(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．28．(2014高考数学课标2理科·第18题)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：PB ∥平面AEC ；(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积．A BCD E F D D 1C 1A 1EF A BCB 129．(2014高考数学课标1理科·第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,．(1)证明:;(2)若,,, 求二面角的余弦值．30．(2013高考数学新课标2理科·第18题)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB的中点，1AA AC CB AB ===(1)证明：1//BC 平面1A CD ；(2)求二面角1D A C E --的正弦值．31．(2013高考数学新课标1理科·第18题)如图，三棱柱111ABC A B C -中，1 1.,,60CA CB AB AA BAA ==∠= ．(Ⅰ)证明1AB A C ⊥;(Ⅱ)若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考理科数学试题汇总解析-6立体几何
2013年高考理科数学试题汇总解析6.立体几何1、陕西12、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 . 解：半个圆锥，底面半径为1，高为2，体积V=2123121⨯⨯⨯⨯ππ31= 44422222、新课标1、6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器的高8cm ，将一个球放在容器口，在向容器内注水，当球面恰好接触水面时侧得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 (A)33500cm π (B) 33866cm π (C) 331372cm π (D) 332048cm π解：正方体容器上底面做球的截面，截面是球的小圆，直径是正方体的棱长8cm ， 截面到球心的距离是R-（8-6）=R-2，则5)2(4222=⇒-+=R R R 球的体积为333500534cm ππ=⨯⨯，选A 3、新课标1、8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)16+8π(B)8+8π (C)16+16π (D)8+16π1112题俯视图左视图主视图12解：长方体的体积是16242=⨯⨯ 半个圆柱的体积ππ8)42(212=⨯⨯ 选A 4.新课标2、（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α⊄,l ⊄β，则（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 解：如图，在正方体中，m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ， l ⊥n ，l α⊄,l ⊄β，α与β相交，且交线平行于l ， 选D 5.新课标2（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是 （1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三 视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为DC BA解：在正方体中做出四面体ABCD, 可以看出选A. 6.安徽3、在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线解析：B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
高考数学真题立体几何分类汇编
2013高考数学—立体几何分类汇编1.（2013山东卷理4）已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为.A π125 .B 3π .C 4π .D 6π2.（2013山东卷理18）如图所示，在三棱锥ABQ P -中，⊥PB 平面ABQ ，BQ BP BA ==,F E C D ,,,分别是BP AP BQ AQ ,,,的中点，BD AQ 2=，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（1）证明：AB ∥GH ；（2）求二面角E GH D --的余弦值。
3.（2013陕西卷理12）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 。
俯视图主视图左视图4.（2013陕西卷理18）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，⊥O A 1平面ABCD ，21==AA AB 。
（1） 证明：⊥C A 1平面D D BB 11；（2） 求平面1OCB 与平面D D BB 11的夹角θ的大小。
5.（2013新课标2卷理4）已知n m ,为异面直线，m ⊥平面α，⊥n 平面β，直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，βα⊄⊄l l ,，则.A α∥β且l ∥α .B α⊥β且l ⊥β.C α与β相交，且交线垂直于l .D α与β相交，且交线平行于l6.（2013新课标2卷理7）一个四面的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是)1,0,1(，)0,1,1(，)1,1,0(，)0,0,0(，画该四面体的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得正视图可以为A B C D7.（2013新课标2卷理18）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别1,BB AB的中点，A1AB CB AC AA 221===. （1）证明：1BC ∥平面CD A 1； （2）求二面角E C A D --1的正弦值。
【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类(全国通用)：立体几何选填题(解析版)
3 3
时等号成立，故选：C
【题目栏目】立体几何\球的问题\球的其它问题 【题目来源】2022 年全国乙卷理科·第 9 题
5．(2022 年全国乙卷理科·第 7 题) 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A B , B C 的中点，则
()
A．平面 B1 E F 平面 BD D1
乙圆锥的高 h2
l2
1 l2 9
22 3
l
，所以 V甲 V乙
1 3
r12
h1
1 3
r2
2
h2
4l2 5 l 93 1l2 2 2 l 93
10 ．
故选：C．
【题目栏目】立体几何\空间几何体的结构特征及其直观图、三视图\空间几何体的展开图问题 【题目来源】2022 年全国甲卷理科·第 9 题
2．(2022 年全国甲卷理科·第 7 题) 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成
2013-2022 十年全国高考数学真题分类汇编
专题 16 立体几何选填题
一、选择题 1．(2022 年全国甲卷理科·第 9 题) 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π ，侧面积
分别为
S甲
和
S乙
，体积分别为 V甲
和 V乙
．若
S甲 S乙
=2
，则
V甲 V乙
=
(
)
A． 5 【答案】C
tan BAE c 2 ，所以 BAE 30 ，B 错误； a2
对于 C， AC a2 b2 3c ， CB1 b2 c2 2c ， AC CB1 ，C 错误；
对于
2010--2013高考数学(理科)新课标全国卷立体几何综合题
AC1C 1B 1A B1. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）8π16+ （B ）8π8+ （C ）π6116+ （D ）16π8+3. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =，1AA AB =，1BAA ∠=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥C A 1;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值。
1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）182、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（A（B（C（D3. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。
（1） 证明：BC DC ⊥1；（2） 求二面角11C BD A --的大小。
ABCD1A 1B 1C1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为2．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,==AB BC 则棱锥O ABCD-的体积为。
3．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
1. 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点 （1） 证明：PE ⊥BC（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值2．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，1AC =，2BC =，14AA =。
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. . . .. . .. 2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何 一、选择题 1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
（ ） A．35003cm B．38663cm C．313723cm D．320483cm 【答案】A 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试省数学（理）卷（纯WORD版））设,mn是两条不同的
直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ） A．若,m,n,则mn B．若//,m,n,则//mn C．若mn,m,n,则 D．若m,//mn,//n,则 【答案】D 3 ．（2013年市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为 （ ） A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16 【答案】C 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四
棱柱1111ABCDABCD中12AAAB,则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于 （ ）
A．23 B．33 C．23 D．13 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . . .
.. . .. （ ） A．168 B．88 C．1616 D．816 【答案】A 6 ．（2013年高考卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几
何体组成,其体积分别记为1V,2V,3V,4V,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （ ） A．1243VVVV B．1324VVVV C．213VVV
【答案】C 7 ．（2013年高考卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）
A．1 B．2 C．2-12 D．2+12 【答案】C 8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 . . . .. . .. （ ） A．4 B．143 C．163 D．6 【答案】B 9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知nm,
为异面直线,m平面,n平面.直线l满足,,,lmlnll,则 （ ）
A．//,且//l B．,且l C．与相交,且交线垂直于l D．与相交,且交线平行于l 【答案】D 10．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111
ABCABC
的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面111ABC的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 （ ）
A．512 B．3 C．4 D．6 【答案】B 11．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题5
图所示,则该几何体的体积为 （ ） A．5603 B．5803 C．200 D．240
1 2 2
1 1
正视图 俯视图 侧视图
第5题图 . . .
.. . .. 【答案】C 12．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱111
ABCABC
的6个顶点都在球O的球面上,若34ABAC，,ABAC,112AA,则球O的半径为 （ ）
A．3172 B．210 C．132 D．310 【答案】C 13．（2013年高考卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且
ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,mn,那
么mn
（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A
14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面
体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为
（ ） . . .
.. . .. A． B． C． D． 【答案】A 15．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中,不是公．
理．的是 （ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上所有的点都在此平面 D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点A作平
面的垂线,垂足为B,记)(AfB.设,是两个不同的平面,对空间任意一点
P,)]([)],([21PffQPffQ,恒有21PQPQ,则 （ ）
A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的(锐)二面角为045 C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为060 【答案】A 17．（2013年高考卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是
【答案】D 二、填空题
18．（2013年高考卷（理））在xOy平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和
22(3)1(3)xyx
、两条直线1y 和1y围成的封闭图形记为D,如图中阴影
部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为,过(0,)(||1)yy作的水平截面,所得截面面积为2418y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 . . . .. . .. 的体积值为__________
【答案】2216.
19．（2013年高考卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3_____.
11
21
【答案】3
20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,32OK,且圆O与圆K所
在的平面所成的一个二面角为60,则球O的表面积等于______. 【答案】16
21．（2013年高考卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.
【答案】 255 1D
1B P D
1C
C E B A
1A . . . .. . .. 22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图,在三棱柱ABCCBA111中,FED，，分别是1AAACAB，，的中点,设三棱锥
ADEF的体积为1V,三棱柱ABCCBA111的体积为2V,则
21:VV____________.
【答案】1:24
23．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图(单
位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm.
【答案】24 24．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题（纯WORD版））如图,正方体
1111ABCDABCD的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段1CC上的动点,过点A,P,Q的平
面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).
①当102CQ时,S为四边形;②当12CQ时,S为等腰梯形;③当34CQ时,S与
4 3 2
3
3 正视图 侧视图 俯视图 （第12题图）
ABC1ADEF1B1C