《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷

广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试

高等数学

一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求）

1．函数22()2

x x

f x x x -=+-的间断点是

A ．2x =- 和0x =

B ．2x =- 和1x =

C ．1x =- 和2x =

D ．0x = 和1

x =

2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩

，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知

()tan ,

()2x

f x dx x C

g x dx C

=+=+⎰

⎰C 为任意常数，

则下列等式正确的是

A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰

B ．

()

2tan ()

x f x dx x C g x -=++⎰

C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰

D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰

4．下列级数收敛的是

A ．1

1n

n e ∞

=∑ B ．13

()2

n

n ∞

=∑

C ．3121()3n n n ∞

=-∑ D ．121()3

n n n ∞

=⎡⎤

+⎢⎥⎣⎦∑．

5．已知函数 ()b

f x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6．曲线33arctan x t t

y t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =

7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =

8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x x

dz e ydx e ydy =+ ,则

2z

y x

∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则D

xdxdy =⎰⎰

10．已知

1

()sin

(1)t

f x dx t t t

π

=>⎰

，则1

()f x dx +∞

=⎰

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11．求20sin 1

lim x x e x x

→-- 12．设(0)21x x y x x =

>+，求dy

dx

13．求不定积分

221x

dx x ++⎰

14

．计算定积分

012

-

⎰

15．设xyz

x z e

-=，求

z x ∂∂和z y

∂∂ 16．计算二重积分

22ln()D

x y d σ+⎰⎰，其中平面区域22

{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞

=∑和1n n b ∞

=∑满足0,n n a b ≤≤且4

14(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1

n n a ∞

=∑的收敛

性

18．设函数()f x 满足

()

,x

df x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0

()1()()x

x

x x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰

⎰

（1）求()x ϕ；

（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2

x x π

==

及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体

的体积

20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+

（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；

（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；

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《高等数学》参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.

13x 7.2x 8.cos x e y 9.1

3

10.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11.原式00cos sin 1

lim

lim 222

x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：

21

ln ln ln(21)12

ln 1212(ln 1)2121

x

x x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =

+∴=-+'∴=+-+∴=+-++

13.解：

22

22

2211112(1)1211

2arctan ln(1)2

x dx

x dx d x x x

x x C

++=++++=+++⎰⎰⎰

14.,t =则211

,22

x t dx tdt =

-=