[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列求和

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解：（1）由题意， an2 an1 an1 an ，
{an} 为等差数列，设公差为 d ， 由题意得 2 8 3d d 2 ，
an
8 2(n 1)
10
2n
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例 10（递推法）已知数列an 的前 n 项和 S n 与 an 满足：
an , Sn , Sn
1 2
(n 2) 成等比数列，且 a1
1 ，求数列an 的前 n
项和 S n
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例 9（逆序相加法）设数列an 是公差为 d ，且首项为 a0 d 的等差数列，
求和： S n1
a0
C
0 n
a1C
1 n
an
C
n n
解：因为 S n1
a0
C
0 n
a1C
1 n
a
n
C
n n
S n1
an
C
n n
a
n
C n1
1 n
a 0 C n0
an
C
0 n
a
n1C
1 n
a0
C
n n
2Sn1
(a0
解：①当 a=0 或 b=0 时， Sn bn (a n )
②当 a=b 时， Sn (n 1)a n ；
③当 a
b
时， Sn
aHale Waihona Puke Baidun1 b n1 ab
例 2（分部求和法）已知等差数列an 的首项为 1，前 10 项的和为 145，
求 a2 a4 a2n .
解：首先由 S10
10a1
2 2 23 34
n 1 n n n 1
n. 2(n 1)
若 Tn
m 对任意 n N * 成立，即 n
32
n 1
m 16
对任意 n N * 成立，
n (n N * ) 的最小值是 1
n 1
2
， m 16
1 , m 的最大整数值是 2
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解：由题意：
Sn2
an (Sn
1 ), 2
an Sn Sn1
∴
Sn2
(Sn
Sn 1 )(Sn
1) 2
1 2
(Sn1
Sn )
Sn Sn 1
1 1 2 1 1 (n 1)2 2n 1
Sn Sn1
2)(n 1)n
6(n
2)(n 1)n 3!
(n 3)(n 2)(n 1)n (n 2)(n 1)n 2
1 n(n 1)2 (n 2) 2
点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法 当 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
n(n
1)(n
2)
6C
3 n2
,
n(n
1)
2C
2 n1
an
12Cn32
6C
2 n1
Sn
12(C33
C
3 4
C
3 n2
)
6(C
2 2
C32
C
2 n1
)
12(C44 C43 Cn32 ) 6(C33 C32 Cn21 ) 12Cn43 6Cn32
Sn
12(n 3)(n 4!
Sn S1
Sn
1. 2n 1
点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出
数列an 的前 n
项和 S n
的递推公式，是一种最佳解法新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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b1
b2
bn (n N * ) ，是否存在
最大的整数 m
，使得对任意 n N * ，均有Tn
m 成立？若存在，求出 m 32
的值；若不存在，请说明理由新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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1 3n
的各项的和
解：其和为：
(1＋3＋……＋3n)＋( 1 3
1 32
＋……＋ 1 3n
3n1 1 1 3n
)=
2
2
1
=
2
(3n＋1-3-n)
例
4（裂项求和法）1
1
1
2
1
1 2
3
1
2
1
3
4
1
2
1 3
n
,
(n
N
*
)
解： ak
1
1 2 k
2， k(k 1)
Sn
2[ 1 1 2
1 23
1] n(n 1)
an )C
0 n
(a1
an 1 )Cn1
(an a0 )Cnn
(a0 an )(Cn0 Cn1 Cnn ) (a0 an )2n
Sn1 (a0 an ) 2n1
点 评 ： 此 类 问 题 还 可 变 换 为 探 索 题 形 ： 已 知 数 列 an 的 前 n 项 和
S n (n 1)2n 1，是否存在等差数列 bn
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例 11 数列 an 中， a1 8, a4 2 且满足 an2 2an1 an n N * ⑴求数列an 的通项公式；
⑵设 Sn | a1 | | a2 | | an | ，求 S n ；
⑶设 bn =
1 n(12 an )
(n N * ), Tn
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例 8（组合化归法）求和： Sn
1 23
235
n(n
1)(2n
1)
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2 2 3 n n 1 n 1 n 1
例 5（裂项求和法）已知数列an 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为
n
0，求和：
1
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点评：设数列an 的等比数列，数列bn 是等差数列，则数列anbn
的前 n
项和 S n
求解，均可用错位相减法新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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S5 (Sn S5 ) 2S5 Sn n2 9n 40
故
Sn
9n n2 n2 9n 40
n 5 n6
（3） bn
1 n(12
an )
1 2n(n 1)
1 2
(1 n
1) n 1
Tn
1 [(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1) (1 1 )]
项和新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
解：①若 a=0 时，Sn=0
②若
a=1，则
Sn=1+2+3+…+n=
10 9 d 2
145
d
3
则 an a1 (n 1)d 3n 2 a2n 3 2n 2
a2 a4
a2n 3(2 22
2n) 2n 3 2(1 2n) 2n 3 2n1 2n 6 1 2
例
3（分部求和法）求数列
1，3＋
1 3
，32＋
1 32
，……，3n＋
2[1 1 1 1 1
1 21
1
2n
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n
i 1
1
n
ai ai1 i1
ai1 d
ai
也可用裂项求和法新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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例 6（错位相减法）设 a 为常数，求数列 a，2a2，3a3，…，nan，…的前 n
然本题也可以将通项 an n(n 1)(2n 4 3) 展开为 n 的多项式，再用分部
求和法新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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使得 an
b1C
1 n
b2
C
2 n
bnCnn
对一切自然数
n
都成立新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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i1 ai ai1
n
解：首先考虑
1
n1 1 1
( )
i1 ai ai1 i1 d ai ai1
n
则
1 =1(1 1 )
n
i1 ai ai1 d a1 an1
a1an1
点评：已知数列an 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，下列求和
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（2）若10 2n 0则n 5， n 5时,
Sn | a1 | | a2 | | an |
a1 a2 n 6 时，
an
8
10 2
2n
n
9n
n2,
Sn a1 a2 a5 a6 a7 an
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解： an n(n 1)(2n 4 3) 2n(n 1)(n 2) 3n(n 1)
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的
求和问题了新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
数列的求和 新疆
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例 1 （分情况讨论）求和：Sn an an1b an2b2 a2bn2 abn1 bn (n N * )
①-②得： (1 a)Sn (a a 2 a n nan1 ) lg a
Sn
a lg a (1 a)2
1 (1
n
na)a n
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1 2
n(n
1)
③若 a≠1，a≠0 时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），
Sn=
a (1 a)2
[1
(n
1)a n
na n1 ]
例 7（错位相减法）已知 a 0, a 1，数列an 是首项为 a，公比也为 a
的等比数列，令 bn
an
lg an (n
N ) ，求数列bn 的前 n
项和 S n
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解： an an , bn n an lg a
Sn (a 2a2 3a3 nan ) lg a……① aSn (a2 2a3 3a4 nan1) lg a……②