2018海淀区二模数学(理)试卷讲评

研究函数在给定区间的最值问题
2018届海淀第一学期期中理
（7）设 f x e
sin x
，则下列说法不正确的是（ esin x （ x R ）
）
（A） f x 为 R 上偶函数 （B） 为 f x 的一个周期 （C） 为 f x 的一个极小值点
（D） f x 在区间 (0, ) 上单调递减 2
六个最值可能是哪些数呢？ 再考虑和的最大值： 15和1肯定是 让14和13是 A2 14 8 7 6 5 5 肯定是 A3 13 4 3 2 1 9 肯定是 交换5和4，则和减小1，为56. 和为57. 15 12 11 10 9
A1
（8）已知集合 M {x N* |1 x 15} ，集合 A1 , A2 , A3 满足： ① 每个集合都恰有 5 个元素； A1,A2,A3是M的一个划分 A2 A3 M ． ② A 1 集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 ，则 X1 X 2 X 3 的值不可能为（ A ） ． X i （ i 1, 2,3 ） （A） 37 （B） 39 （C） 42 （D） 46
六个最值可能是哪些数呢？ 再考虑和的最大值：
A1 A2 A3
15 12 11 10 14 8 7 6
9 5
13
4
3
2
1
15和1肯定是 让14和13是 5 肯定是 9 肯定是 和为57.
（8）已知集合 M {x N* |1 x 15} ，集合 A1 , A2 , A3 满足： ① 每个集合都恰有 5 个元素； A1,A2,A3是M的一个划分 A2 A3 M ． ② A 1 集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 ，则 X1 X 2 X 3 的值不可能为（ A ） ． X i （ i 1, 2,3 ） （A） 37 （B） 39 （C） 42 （D） 46
8题≤9题
10 12
18
试卷总体知识分布
知识板块 集合与逻辑 三角与向量 概率统计 立体几何 解析几何 函数与导数 数列综合 其它（复数、框图、 极坐标、二项式定理） 分值 20 28 13 19 19 18 13
20
题号 1,5,8,13 6,11,12,15 16 14,17 4,(5,13),18 3,19 20
10 8 6 4 2 y
（B） 0 不是 （C） （D）
(A)定义域为R， 且 f(-x)=-f(x).
O 1π 2π 3π 4π x
–4π –3π –2π –1π –2 –4 –6 –8 –10
奇×偶=奇 奇＋奇=奇
（6）关于函数 （A）
f x sin x x cos x ，下列说法错误的是( C f x 的极值点
2 2
)
f x 是奇函数 f x 在 ( , ) 上有且仅有 3 个零点 f x 的值域是 R
10 8 6 4 2 y
（B） 0 不是 （C） （D）
还可以研究什么性质呢？
O 1π 2π 3π 4π x
–4π –3π –2π –1π –2 –4 –6 –8 –10
不同于参考解答的其它解题思路，请参照
评分标准给分。
（6）关于函数 （A）
f x sin x x cos x ，下列说法错误的是( C f x 的极值点
2 2
)
f x 是奇函数 f x 在 ( , ) 上有且仅有 3 个零点 f x 的值域是 R
代入两式之一得：T＝0，矛盾！
f ( x) sin x x cos x, f '( x) x sin x
• 切线问题：若x∈(0,2π)，则曲线上是否存在 相异两点，满足两点处的切线斜率均为－1？ 只需研究方程xsinx=-1在(0,2π)内是否有 两个根，转化为函数零点。令g(x)=xsinx+1, 则：g '( x) sin x x cos x 当x∈(0,π/2)时，g '( x) 0 令x∈(π,3π/2)时，g '( x) 0 令 h( x) g '( x) ,则 h '( x) 2cos x x sin x 当x∈(π/2,π)时， h '( x) 0, g '( x )单减. 当x∈(3π/2,2π)时， h '( x) 0, g '( x )单增.
单调性，周期性， 切线问题，等等。
f ( x) sin x x cos x, f '( x) x sin x
• 单调区间容易求解(略)； • 周期性： 假设存在正数T，对任意x∈R，恒有：
sin( x T ) ( x T ) cos( x T ) sin x x cos x 令x=0，得： sin T T cos T 0 令x=π，得： sin T ( T ) cos T 两式相加，得：cos T 1, T 2k (k Z)
其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)
研究新函数（幂函数与三角函数之和） 的性质
（8）已知集合 M {x N* |1 x 15} ，集合 A1 , A2 , A3 满足： ① 每个集合都恰有 5 个元素； A1,A2,A3是M的一个划分 A2 A3 M ． ② A 1 集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 ，则 X1 X 2 X 3 的值不可能为（ A ） ． X i （ i 1, 2,3 ） （A） 37 （B） 39 （C） 42 （D） 46
其实不重合！ 证明留思考。
2014北京高考理
（18） （本小题 13 分）
这个函数熟悉吗？
π 已知函数 f ( x) x cos x sin x ， x [0, ] ． 2
（Ⅰ）求证： f ( x) ≤ 0 ；
sin x π （Ⅱ）若 a b 对 x (0, ) 恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值． x 2
2018届海淀区高三第二学期期末考试
数学（理）试卷讲评
吴中才
感谢以下老师为海淀理科备考的付出！
清华附中 李劲松 人大附中 吴中才
周俊
齐亚超
北大附中
陈亮
首师大附中 姚璐
选择题区均分34.43 本次阅卷是本校卷，单判 没有安排仲裁人员 除异常卷外，尽量不出仲裁卷
试卷讲评目录
• 知识细目表与姊妹题 … … …3
• 试卷总体知识分布… … … …4
• 试卷讲评与评分标准 … … …6
• 简谈数学教学过程 … … …101
知识细目表与文理姊妹题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 集合 复数 函数性质（指、对、幂、三角的单调性） 直线与圆 充分必要条件（双曲线渐近线） 函数性质（三角的奇偶、极值、零点、值域） 程序框图（功能） 逻辑推理（组合数学） 极坐标 二项式定理 向量数量积与模 解三角形（余弦定理+同角关系） 命题与逻辑（直线与圆锥曲线，开放题） 立体几何中的最值问题（线线垂直） 三角函数（五点作图法、三角函数值） 统计概率 立体几何 解析几何 导数（极值、切线） 数列新定义性质 知识 分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 13 13 14 14 13 13 文科姊妹题 1 2 4 3 6
–4π –3π –2π –1π –2 –4 –6 –8 –10
O 1π
2π
3π
4π x
(D) sinx和cosx 都是有界的， 当 x→∞时， f(x)→∞. 并且 f(x)连续.
（6）关于函数 （A）
f x sin x x cos x ，下列说法错误的是( C f x 的极值点
所以存在x1∈(π/2,π)， g '( x1 ) 0 存在x2∈(3π/2,2π)，g '( x2 ) 0 综上，g(x)在 (0, x1 ) 增，在 ( x1 , x2 ) 减，在 ( x2 , 2 )增。又 g (0) 0, g ( ) 0, g '(3 / 2) 0, g (2 ) 0, 所以g(x)在(π,3π/2)和(3π/2,2π)内各有一 个零点，共两个零点。
2 2
)
f x 是奇函数 f x 在 ( , ) 上有且仅有 3 个零点 f x 的值域是 R
10 8 6 4 2 y
（B） 0 不是 （C） （D）
(B) f’(x)=xsinx, 0是不变号零点.
O 1π 2π 3π 4π x
–4π –3π –2π –1π –2 –4 –6 –8 –10
f ( x) sin x x cos x, f '( x) x sin x
• 切线问题：若x∈(0,2π)，则曲线上是否存在 相异两点，满足两点处的切线斜率均为－1？ g '( / 2) 1 0, g '( ) 0, 这两条切线
g '(3 / 2) 1 0, g '(2 ) 2 0,
六个最值可能是哪些数呢？ 再考虑和的最大值： 15和1肯定是 让14和13是 A2 14 8 7 6 5 5 肯定是 A3 13 4 3 2 1 9 肯定是 交换5和3，则和减小2，为55. 和为57. 15 12 11 10 9
10 8 6 4 2 y
（B） 0 不是 （C） （D）
–4π –3π –2π –1π –2 –4 –6 –8 –10
O 1π
2π
3π
4π x
(C) f’(x)=xsinx ( 在 2 , 2 ) 恒正, f(x)单增,最多 一个零点.