圆锥曲线与方程章末检测卷文
(完整word版)圆锥曲线章末检测
圆锥曲线——章末检测（一）一、选择题1、已知椭圆的标准方程22525922=+y x 为则它的离心率为（ ）A 、53B 、54C 、45D 、352、抛物线24x y -=的焦点坐标为（ ）A 、)0,1(-B 、)1,0(-C 、)0,161(-D 、)161,0(- 3、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）Ａ．8 Ｂ．4Ｃ． Ｄ．与m 有关4、)0,5(1-F 和)0,5(2F ，曲线上P 点与两定点的距离之差为6，则曲线方程为（ ）A 、116922=-y x B 、)3(116922≥=-x y x C 、191622=-y x D 、)3(191622≥=-x y x 5、双曲线064422=+-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离里等于2，则点P 到另一个焦点的距离等于（ ）A 、10B 、8C 、6D 、14 6、双曲线0364922=+-y x 的渐进线方程为（ ）A 、x y 32±=B 、y x 23±=C 、x y 23±=D 、x y 94±=7、椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于（Ｃ．72Ｄ．48、如果椭圆的焦点为)1,0(1-F 和)1,0(2F ，离心率为32，过点1F 做直线交椭圆于A 、B 两点，那么2ABF ∆的周长是（ ）A 、3B 、6C 、12D 、24 9、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x =或212x y =- Ｂ．216y x =或216x y = Ｃ．216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y =10、若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14Ｂ．1211、经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ）Ｂ．3Ｃ．Ｄ．12、一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-，Ｃ．(20)， Ｄ．(40)，二、填空题13、已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为 ． 14、抛物线x y 122=上与焦点的距离等于9的点的坐标是_________.15、已知抛物线)0(22>=p px y 的一条过焦点的弦为AB ，且4,6=+=B A x x AB 则AB 的中点到准线的距离为__________16、已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则12PF PF =· ．三、解答题17、求双曲线22525922=y x —的实轴长，虚轴长，焦点坐标，顶边坐标，离心率，渐近线方程。
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程章末检测试卷三含解析新人教A版选择性必修第一册
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．4 3 答案 D解析 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 A解析 因为|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，所以a ＝2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|32＋12＝32，故选B. 4．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率为32，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 23＝1C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 D解析 由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，所以a ＝4，又e ＝c a ＝32，所以c ＝23，所以b 2＝42－(23)2＝4，所以椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.5．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1—→·PF 2—→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 答案 C解析 由渐近线方程为y ＝x ，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x 2－y 2＝2， 于是两焦点分别是F 1(－2,0)和F 2(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取点P (3，1)， 则PF 1—→＝(－2－3，－1)，PF 2—→＝(2－3，－1)．所以PF 1—→·PF 2—→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.6.如图，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O为原点)，则该椭圆的离心率是( )A.22 B.24 C.12 D.32答案 A解析 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac，即b ＝c .于是b 2＝c 2， 即a 2＝2c 2.所以e ＝c a ＝22. 7．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64>0， 所以0<k <1， 所以x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1,22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.8.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2 B.15 C.13 D. 3 答案 C解析 ∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨令|AB |＝3，|BF 2|＝4，|AF 2|＝5， ∵|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，∴∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 1|＋3－4＝5－|AF 1|，∴|AF 1|＝3，∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，∴a ＝1，|BF 1|＝6. 在Rt△BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2＝36＋16＝52， 又|F 1F 2|2＝4c 2，∴4c 2＝52， ∴c ＝13，∴e ＝13.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知方程mx 2＋ny 2＝1(m ，n ∈R )，则( ) A ．当mn >0时，方程表示椭圆 B ．当mn <0时，方程表示双曲线 C ．当m ＝0时，方程表示两条直线 D ．方程表示的曲线不可能为抛物线 答案 BD解析 A 项，取m ＝n ＝1，此时表示圆，错误；B 项，当mn <0时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，正确；C 项，当m ＝0，n ＝0时，方程不成立，错误；D 项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确． 10．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案 AB解析 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.准线方程为y ＝－116.11．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．± 3C ．± 5D ．±413答案 BD解析 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2. 将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，即k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 12．设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是( )A.||PF 1＋||PF 2＝2 2 B ．离心率e ＝62C ．△PF 1F 2面积的最大值为 2D ．以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切 答案 AD解析 对于A 选项，由椭圆的定义可知||PF 1＋||PF 2＝2a ＝22，所以A 选项正确． 对于B 选项，依题意a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以e ＝c a＝12＝22，所以B 选项不正确． 对于C 选项，||F 1F 2＝2c ＝2，当P 为椭圆短轴端点时，△PF 1F 2的面积取得最大值为12·2c ·b＝c ·b ＝1，所以C 选项错误．对于D 选项，线段F 1F 2为直径的圆的圆心为()0，0，半径为c ＝1，圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为22＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y－2＝0相切，所以D 选项正确． 综上所述，正确的为AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．答案x 216＋y 212＝1 解析 双曲线的焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)， 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线x ＝14y 2的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)答案 5x 2－54y 2＝1 y ＝±2x解析 抛物线x ＝14y 2的方程化为标准形式为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)，则得a 2＋b 2＝1，又e ＝c a ＝5，易求得a 2＝15，b 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x . 15．过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0的直线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若A为线段EB 的中点，且|AF |＝3，则p ＝________. 答案 4解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，|AF |＝x 1＋p2，又|AF |＝3，所以x 1＝3－p 2，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x 1＝x 2－p22，y 1＝y 2＋02，所以x 2＝6－p2，y 2＝2y 1，所以y 22＝4y 21，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2＝4y 21＝4×2px 1＝4×2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，结合p >0可得p ＝4.16．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________．答案 8解析 由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程． 解 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝ca ＝63， 所以a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆的方程；(2)若|MN |＝322，求直线MN 的方程．解 (1)由题意有4a 2＋1b 2＝1，e ＝c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝3，c ＝3，所以椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，可设直线MN 方程为y ＝k (x －3)， 代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0，Δ＝24－24k 2>0，得k 2<1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝k 2＋1x 1－x 22＝k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，解得k ＝±22，满足k 2<1， 所求直线方程为y ＝±22(x －3)． 19．(12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m .(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)．因为直线l 与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得－32≤m ≤3 2.故所求实数m 的取值范围为[－32，32]．(2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189 ＝133·－m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1 ＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝2k －2x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝2k －2×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 即y 1－x 1＝x 1－y 2x 1x 2，即|AM |＝|BA |， 故A 为线段BM 的中点．21．(12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100. (2)12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563.①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6， ∴b ＝8.22．(12分) 已知抛物线C ：y 2＝4x ，A ()1，2，B ()m ，0，其中m >0，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N .(1)当m ＝5，且直线l 垂直于x 轴时，求证：△AMN 为直角三角形； (2)若OP →＝OA →＋OB →，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM ⊥AN . (1)证明 由题意l ：x ＝5，代入y 2＝4x 中， 解得y ＝±25，不妨取M (5,25)，N (5，－25)， 则AM →＝(4,25－2)，AN →＝(4，－25－2)，所以AM →·AN →＝(4,25－2)·(4，－25－2)＝16－(20－4)＝0， 所以AM ⊥AN ，即△AMN 为直角三角形得证．(2)解 由题意可得四边形OAPB 为平行四边形，则k BP ＝k OA ＝2，设直线l ：y ＝2(x －m )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －m ，y 2＝4x ，得y 2－2y －4m ＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m >0，y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－4m ， 因为AM ⊥AN 则AM →·AN →＝0，又AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 化简，得(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0，即y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，代入解得m ＝6. 故m ＝6时，有AM ⊥AN .。
圆锥曲线与方程章末测试学生版
1 圆锥曲线与方程章末测试 一、单选题（每题5分，共60分） 1．（2018·河南高二单元测试）双曲线2213yx的焦点到渐近线的距离为（ ） A.1 B.3 C.3 D.4 2．（2018·广东广州市第二中学高二单元测试）以椭圆2212449xy的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（ ） A．2212524xy B．2212425xy C．2212524yx D．2212425yx 3．（2018·全国高二单元测试）抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是( ) A.18 B.14 C.116 D.2 4．（2018·河南高二单元测试）已知点(3,0)(3,0)(1,0)MNB、、，动圆C与直线MN切于点B，过MN、与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A.221(1)8yxx B.221(1)8yxx
C.221(0)8yxx D.221(1)10yxx 5．（2018·河南高二单元测试）若一个椭圆长轴的长轴、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( )
A.152 B.512
C.152 D.512 6．（2018·河南高二单元测试）过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.64 2
7．（2019·陕西高二期中（理））已知椭圆C:22195xy，点(1,1)A，则点A与椭圆C的位置关系是（ ）． A.点A在椭圆C上 B.点A在椭圆C内 C.点A在椭圆C外 D.无法判断 8．（2019·上海高三期末）直线ykxm与双曲线22221xyab（0a，0b）的交点个数最多为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．（2019·河南高三期中（文））双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为1F、2F，虚轴的一个端点为A，若12AFF是顶角为120的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
高中数学选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程章末检测B(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求出a ，再根据离心率求出c ，由222b a c =-即可求解. 【详解】1AF B △的周长为则1122114AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =又c e a ==，所以1c =， 所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22132x y +=.故选：A 【点睛】本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.2．如图所示，直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若且AOB 的面积为的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题中条件求出60θ=︒，再由双曲线的渐近线方程得到tan 3baθ==. 【详解】由题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，因为6OA OB ⋅=-且AOB 的面积为33 所以cos 26OA OB θ=-，1sin 2332OA OB θ=， 所以tan 23θ=2120θ=︒，可得60θ=︒，又双曲线2222:1x y E a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴tan 3baθ== 所以212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型.3．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）【解析】 【分析】利用抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为焦点到直线43110x y -+=的距离即可求得． 【详解】解：抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线， 则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．4．离心率为2的双曲线22221y x a b-=的渐近线方程是（ ）A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x ±=D 50x y ±=【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率221c b e a a ==+可求出b a ，又双曲线的渐近线方程为a y x b =±，可求出答案.【详解】由题意，双曲线22221y x a b -=的离心率为2212c b e a a ==+=，则223b a =，即3b a = 所以双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为33a y x xb =±=±，即30x ±=.故选：C.本题考查双曲线的渐近线、离心率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆()22:61E x y ++=上一点，则2MN MF +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得双曲线的方程为2219x y -=，再结合双曲线的定义得212MF a MF =+，故212MN MF a MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为()110,0F -，()210,0F ，由双曲线的定义可得21126MF a MF MF =+=+，由圆()22:61E x y ++=可得()0,6E -，半径1r =，216MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，且为16104EF =+=， 则2MN MF +的最小值为6419+-=. 故选：B.本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5=离心率为5，双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选D.7．已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点 A ．（12，0） B ．（1，0） C ．（2，0） D ．（-2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP 、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果. 【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x 轴上， 设直线的方程为x ty m =+，与抛物线方程联立，消元得2220y ty m --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP 、BP 的斜率互为相反数，所以1212011y y x x +=++， 结合根与系数之间的关系，整理得出12122(1)()0ty y m y y +++=，即2(2)220t m tm t -++=，2(1)0t m -=，解得1m =，所以过定点(1,0)， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键. 8．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222222:1(0,)x y C a b c a b a b+=>>=-，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0,]2C．[,1)2D．(0,2【答案】B 【解析】 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆1C ，2C 都在椭圆内，可得圆2C 上的点(2,0)c ，(,)c c 都在椭圆内，由此列关于a ，c 的不等式组得答案． 【详解】由圆221:20C x cx y ++=，得222()x c y c ++=，得圆1C 的圆心为(,0)c -，半径为c ，由圆222:20C x cx y -+=，得222()x c y c -+=，得圆2C 的圆心为(,0)c ，半径为c ， 要使圆1C ，2C 都在椭圆内，则22222{1c ac c a b+，解得102ca <． ∴椭圆离心率的范围是1(0,]2．本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ） A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ；分动圆P 可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果. 【详解】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．1QF QP +的最小值为21a - B ．椭圆C 的短轴长可能为2 C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+≥-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到111a b+<，又1a b -=，解得a，再由=eD. 根据11PF FQ =，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(2136244++>==a>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故正确；21190-+=a a ，解得()2517118522285244+++===a ，所以5172+=a ，所以椭圆C 的长轴长为517+，故正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B 选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD 选项根据B 选项的结论进行变形来判断. 【详解】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确．故选：BC 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】 【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确. 对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323x y +=+，则双曲线2C 的方程为____________．22142323=- 【解析】 【分析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423x c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴=222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221-= 221= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.【答案】3【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值.【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan23AF B r MT TF ∠===. 故答案为：433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线()2: 20C y px p =>(如图)一条平行x 轴的光线射向C 上一点P 点，经过C 的焦点F 射向C 上的点Q ，再反射后沿平行x 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C 的方程是____________．【答案】24y x = 【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出PQ 的最小值，进而可求出p 的值，得出抛物线方程． 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，11(,)P x y ，22(,)Q x y 由2 22p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，整理得()222224480k x k p p x k p -++=， 所以221212224k p p p x x x x k ++==,，所以()2122222222kpPQ x x p p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭+=++==+>； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，故24p =， 所以抛物线方程为24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________. 【答案】64π 【解析】 【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON FQ ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=.故答案为：64π. 【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ．【答案】（1）22142x y +=，（0y ≠）；（245【解析】 【分析】（1）先设点(,)A x y ，再建立方程12122+2y y x k x k ⋅=--=，最后得到E 的方程：22142x y +=，（0y ≠）；（2）先联立方程221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到23420x x +-=，再得到12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，最后求PQ 即可. 【详解】解：（1）设点(,)A x y ，则12y k x =-，2+2yk x =， 因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=， 整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以PQ =【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.18．在椭圆2222:1(20)x y C b a b a b+=>>>上任取一点P （P 不为长轴端点），连结1PF 、2PF ，并延长与椭圆C 分别交于点A 、B 两点，已知2APF ∆的周长为8，12F PF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设坐标原点为O ，当P 不是椭圆的顶点时，直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，值为920-. 【解析】（1）根据椭圆的定义，结合2APF ∆的周长为8，求出a 的值，设出点P 的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，12F PF ∆可以求出,c b 的关系，进而求出,a b 的值，最后求出椭圆C 的方程；（2）设出直线1PF 的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出A 点坐标，同理求出B 的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线OP 和直线AB 的斜率之积是定值. 【详解】（1）因为2APF ∆的周长为8，所以有11228482AF PF PF AF a a +++=⇒=⇒= 设00(,)P x y ，因为12F PF ∆所以1212y F F P ⋅当y P b =时，面积最大，因此有bc =a =，因为20b a b >>>，所以2,a b ==，所以椭圆标准方程为：22143x y +=；（2）当P 不是椭圆的顶点时，因此00120,0,(1,0),(1,0)x y F F ≠≠-. 直线1PF 的方程为：00(1)1y y x x =++，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=+⎪+ ⎪⇒+++-=⎨ ⎪+++⎪⎝⎭+=⎩， ()2200000152********A x x xx x x x x -++∴⋅==-++，0000583,2525A Ax y x y x x +-∴=-=++， 同理直线2PF 的方程为：00(1)1y y x x =--，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⇒+-+-=⎨ ⎪---⎪⎝⎭+=⎩200005825B x x x x x -⇒⋅=⇒-0000583,2525B B x y x y x x -==--，()00002200123208054B AB A x y x y y y kAB x x x x -∴===---， ()220022003394205453AB OPy y k k x y ∴⋅===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭为定值.本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的范围，考查了求椭圆的标准方程，考查了通过直线与椭圆的位置关系判断两直线斜率之积为定值，考查了数学运算能力.19．已知点A 是椭圆22:154x y E +=的上顶点，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于A 、M 两点，点N 在椭圆E 上，且MA NA ⊥；（Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN 的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =时，求证：2152k <<． 【答案】（Ⅰ）40081；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由A 为椭圆的上顶点及||||AM AN =，可得M ，N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且0k >有1k =，可得直线AN 的斜率，求出直线AN 的方程，设N 的坐标，代入椭圆的方程求出N 的坐标，进而求出AMN 的面积；（Ⅱ）设直线AM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出||AM 的值，同理可得||AN 的值，由2||||AM AN =可得关于k 的方程32851040k k k -+-=，设函数32()85104f x x x x =-+-，求导，由函数的单调性可得k 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由对称性知点M 、N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且||||AM AN =有△AMN 为等腰直角三角形，即可知1k =，而(0,2)A ∴直线AN 的斜率为1-，则直线AN 的方程为：2y x =-+设点(,2)N t t -其中0t >，有22(2)154t t -+=，解得209t =∴220400981AMNS⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）据题意，直线:2AM y kx =+，联立椭圆E ，得：2245(2)200x kx ++-=，即：22(45)200k x kx ++=则22045M k x k =-+，那么||AM =AN ==； 由2||||AM AN =，得：222(54)45k k k +=+，即：32851040k k k -+-=令32()85104f x x x x =-+-，则22525()24101024()1002424f x x x x =+=-+-'->， 所以()f x 单调增，又236()05125f =-<，13()024f =>，故()f x 存在唯一零点021(,)52x ∈，即2152k <<得证 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，三角形面积求法和由求导得函数的单调性，属于中难题． 20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1(F ，且C经过点1)2P . （1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，直线l 经过定点3(0,)5-. 【解析】 【分析】（1）根据一个焦点坐标得出另一个焦点坐标，结合椭圆的定义可得方程；（2）联立椭圆和直线的方程，结合AD BD ⊥，求出m 的值，从而可得定点的坐标. 【详解】（1）由题意，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则c =)2F ，由椭圆定义得12712422a PF PF =+=+=，2a =，1b ==， 所以C 的方程2214x y +=.（2）由已知得()0,1D ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+， ()121222214m y y k x x m k +=++=+，()()2212122414m k y y kx m kx m k-=++=+， 由AD BD ⊥得()()1212110DA DB x x y y ⋅=+--=，整理得22523014m m k--=+， 所以，25230m m --=，解得1m =或35m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，舍去； ②当35m =-时，显然有>0∆，直线l 经过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的方程求解及定点问题，已知椭圆焦点及椭圆所过点常用椭圆的定义进行求解，直线过定点问题一般是求解直线方程中的斜率与截距的关系，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，)2F ，离心率为2.（1）若P 为椭圆C 上任意一点，且横坐标为0x ，求证：2022PF x =-； （2）不经过1F 和2F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，试判断2MF N 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；（2）先由直线与圆相切，得到221m k =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出241MN k =-+，再由（1）的结论，得到2122MF x =-，2222NF x =-，进而可求出周期，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，可得c =，又2c e a ==，∴2a =，1b =，所以椭圆22:14x C y +=；设()00,P x y ，则202PF x ==-.∵022x -≤≤，∴202PF =. （2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为r ， 则1r b ==，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线距离为11=，∴221m k =+.设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222418410k x kmx m +++-=， 则()()()222222264164111641480k m k m k m k ∆=-+-=-+=>，122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，因此12MN x =-===由（1）得2122MF x =-，2222NF x =-，所以)2212244241MF NF x x k +=-+=++， 因此2MNF的周长为2244MF NF MN ++=+=； 即2MNF 周长为定值4. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可. 【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线. 则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==.圆的半径为2r =.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.。
圆锥曲线与方程 单元检测(A卷) Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝14．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝16．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D. ⎛⎪⎫π，3π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA⊥OB，求k的值．。
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章末检测卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为( ) A．(0,5)和(0，－5) B．(7，0)和(－7，0) C．(0，7)和(0，－7) D．(5,0)和(－5,0) 答案 B
解析 椭圆方程可化为x216＋y29＝1， ∴a2＝16，b2＝9， ∴c2＝a2－b2＝16－9＝7，∴c＝7， ∴椭圆的焦点为(7，0)和(－7，0)．
2．已知三个数2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x2m＋y22＝1的离心率为( )
A.22 B.3 C.22或3 D.22或62 答案 C 解析 ∵三个数2，m,8构成一个等比数列， ∴m2＝2×8，解得m＝±4.
①当m＝4时，圆锥曲线x24＋y22＝1表示的是椭圆，其离心率e＝ca＝1－b2a2＝1－24＝22；
②当m＝－4时，圆锥曲线y22－x24＝1表示的是双曲线，其离心率e＝ca＝1＋b2a2＝1＋42＝3.故选C. 3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10，则x0等于( ) A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9 答案 C 解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10，所以由抛物线的定义可知：
x0＋p2＝10，又因为M(x0,8)在抛物线上，所以82＝2px0，联立方程组并解之可得x0＝2或8，故选C. 4．“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ∵由“ab>0”，不能判断“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”，例如a<0，b<0时，“方程ax2＋by2＝1不表示椭圆”．“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”⇒“ab>0”，∴“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1”表示椭圆”的必要不充分条件．故选B. 5．方程mx＋ny2＝0与mx2＋ny2＝1(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的示意图可能是( )
答案 A 解析 mx＋ny2＝0，整理为y2＝－mnx，当mn<0时，表示开口向右的抛物线和双曲线，所以
B错，当m>n>0时，y2＝－mnx，表示开口向左的抛物线，和焦点落在y轴的椭圆，所以C，D都错． 6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( ) A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0 答案 C
解析 双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c，右焦点到渐近线y＝±bax的距离为d＝bcab2a2＋1
＝b，所以有：a＋c＝2b，取a＝3，b＝4，得4x±3y＝0，整理得y＝±43x，则c＝5，
满足a＋c＝2b.故选C. 7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x221－y228＝1 B.x228－y221＝1 C.x23－y24＝1 D.x24－y23＝1 答案 D 解析 由题意，得ba＝32， ∵抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上， ∴c＝7， ∴a2＋b2＝c2＝7， ∴a＝2，b＝3，
∴双曲线的方程为x24－y23＝1.故选D.
8．如图，F1、F2是双曲线C1：x2－y23＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是( )
A.13B.23C.15D.25 答案 B 解析 由题意知，|F1F2|＝|F1A|＝4， ∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝2， ∴|F1A|＋|F2A|＝6，∵|F1F2|＝4，
∴C2的离心率是46＝23，故选B. 9．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )
A.32 B.233 C.932 D.2327 答案 A 解析 联立椭圆方程与直线方程，得 ax2＋b(1－x)2＝1，(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2＝2ba＋b，
y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－2ba＋b＝2aa＋b， AB中点坐标：(ba＋b，aa＋b)，
AB中点与原点连线的斜率k＝aa＋bba＋b＝ab＝32.故选A. 10．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )
A.62 B.355 C.32 D.3 答案 B 解析 由题意，c＝3，∴e＝3a， ∴a越大e越小，而双曲线与直线相切时，a最大． 设双曲线为x2m－y29－m＝1， 把直线y＝x－1代入， 化简整理可得(9－2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0， 由Δ＝0，解得m＝5，
于是a＝5，e＝3a＝355.故选B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→
的最大值为________． 答案 6 解析 由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有x204＋y203＝1，解得y20＝3(1－x204)，
因为FP→＝(x0＋1，y0)，OP→＝(x0，y0)， 所以OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x204＋x0＋3. 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2， 因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，
OP→·FP→取得最大值224＋2＋3＝6.
12．若椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________________． 答案 x24＋y22＝1 解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)， 双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±2，0)
由题意得 a2－b2＝2，4a2＝1， ∴a2＝4，b2＝2， ∴椭圆的方程为x24＋y22＝1.
13．已知F1、F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，且PF1
→
⊥PF2→，若△PF1F2的面积为16，则b＝________. 答案 4 解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
PF1→⊥PF2→，得∠F1PF2＝90°， ∴m2＋n2＝4c2，△PF1F2的面积为16， ∴mn＝32， ∴4a2＝(m－n)2＝4c2－64， ∴b2＝c2－a2＝16， ∴b＝4. 14．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________________． 答案 y2＝16x 解析 如图，由题意可知，圆的圆心M在抛物线上， 又圆的面积为36π， ∴半径|OM|＝6，
则|MF|＝xM＋p2＝6，即xM＝6－p2， 又xM＝p4，∴p4＝6－p2，解得p＝8. ∴抛物线方程为y2＝16x. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)，C(5,0)，顶点B在椭圆x236＋y211＝
1上，则sinA＋sinCsinB＝________. 答案 65 解析 椭圆x236＋y211＝1的a＝6，c＝a2－b2＝36－11＝5，△ABC的顶点A(－5,0)，C(5,0)，即为椭圆的两焦点，由椭圆定义可得，|AB|＋|CB|＝2a＝12，又|AC|＝10，由正弦定理知sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|AB||AC|＝1210＝65.
三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(12分)已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为213.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程． 解 ①若焦点在x轴上，
设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，c＝13，
设双曲线方程为x2m2－y2n2＝1，m＝a－4， ∵e双e椭＝73，易得a＝7，m＝3. ∴b2＝36，n2＝4. ∴椭圆的标准方程为x249＋y236＝1，
双曲线的标准方程为x29－y24＝1. ②若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为x236＋y249＝1，双曲线的标准方程为y29－x24＝1. 17．(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A、B两点，且|AB|＝5. (1)求此抛物线方程；
(2)若M(1,2)是抛物线上一点，求MA→·MB→的值． 解 (1)因为焦点F(p2，0)，