浙教版八年级数学上综合培优2018
2018年秋八年级数学上册 第1章 三角形的初步知识 1.3 证明(二)练习 (新版)浙教版
1.3 证明（二）A组1．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数为(C)A．120° B．90°C．100° D．30°,(第1题)) ,(第2题))2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A的度数为(C)A．35° B．95°C．85° D．75°3．如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点，则a，b相交所成的锐角是(A)A．60°B．30°C．70°D．8°,(第3题)) ,(第4题))4．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于(A)A．30°B．40°C．60°D．70°5．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为(C)A．4∶3∶2 B．3∶2∶4C．5∶3∶1 D．3∶1∶56．如图，l1∥l2，则下列式子成立的是(B)A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°B．∠α＋∠β－∠γ＝180°C．∠β＋∠γ－∠α＝180°D．∠α－∠β＋∠γ＝180°,(第6题)) ,(第7题))7．如图，点A ，C ，F ，B 在同一条直线上，CD 平分∠ECB，FG ∥CD ．若∠ECA 的度数为α，则∠GFB＝90°－α2(用含α的代数式表示)．(第8题)8．如图，已知D 为△ABC 的边BC 的延长线上一点，DF ⊥AB 于点F ，且交AC 于点E ，∠A ＝34°，∠D ＝42°．求∠ACD 的度数．【解】 ∵DF ⊥AB ，∴∠BFD ＝90°．∵∠BDF ＋∠B ＋∠D ＝180°，∴∠B ＝180°－∠BFD －∠D ＝180°－90°－42°＝48°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝34°＋48°＝82°．B 组9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为(A )(第9题)A ． ∠1＋∠2＝∠4－∠3B ． ∠1＋∠2＝∠3＋∠4C ． ∠1－∠2＝∠4－∠3D ． ∠1－∠2＝∠3－∠4【解】 ∵∠AEF 是△BED 的外角，∴∠AEF ＝∠2＋∠3．∵∠4是△AEF 的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF ，∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠1＋∠2＝∠4－∠3．10．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠CAD 的度数为24°．【解】 ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠3＝∠1＋∠2，∴∠3＝∠4＝2∠1，∴∠CAD ＝180°－4∠1．∵∠BAC ＝63°，∴∠1＋180°－4∠1＝63°，解得∠1＝39°．∴∠CAD ＝180°－4×39°＝24°．(第10题)(第11题)11．如图，∠B ＝36°，∠D ＝50°，AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ，AM 交BC 于点R ，CM 交AD 于点Q ，BC 与AD 交于点P ，则∠M 的度数为__43°__．【解】 ∵∠ARC 是△ARB 和△CRM 的外角，∴∠ARC ＝∠B ＋∠BAR ＝∠M ＋∠RCM ．同理，∠AQC ＝∠D ＋∠QCD ＝∠DAM ＋∠M ．∴∠B ＋∠BAR ＋∠D ＋∠QCD ＝∠RCM ＋∠DAM ＋2∠M ．∵AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ，∴∠BAR ＝∠DAM ，∠QCD ＝∠RCM ，∴2∠M ＝∠B ＋∠D ，∴∠M ＝12(∠B ＋∠D )＝12×(36°＋50°)＝43°．(第12题)12．已知：如图，在△ABC 中，∠B>∠C ，AE 为∠BAC 的平分线，AD ⊥BC 于点D ．求证：∠DAE＝12(∠B－∠C)． 【解】 ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC＝12(180°－∠B －∠C )． ∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝90°－∠B ，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12(180°－∠B －∠C )－(90°－∠B )＝12(∠B －∠C )． 数学乐园(第13题)13．如图，∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝__540°__．导学号：91354003【解】 连结DG ，AC ，DF ．∵∠BAG ＝∠CAG＋∠BAC，∠BCD ＝∠ACB＋∠ACD，∠CDE ＝∠CDF＋∠EDF，∠EFG ＝∠DFE ＋∠DFG，∠CAG ＋∠ACD＝∠CDG＋∠AGD，∴∠BAG ＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＋∠EFG＋∠AGF＝∠GAC＋∠BAC＋∠B＋∠ACB＋∠ACD＋∠CDF＋∠EDF＋∠E＋∠DFE＋∠DFG＋∠AGF ＝(∠BAC＋∠B＋∠ACB)＋(∠CAG＋∠ACD＋∠CDF＋∠DFG＋∠AGF)＋(∠EDF＋∠E＋∠DFE)＝180°＋(∠CDG ＋∠AGD ＋∠CDF ＋∠DFG ＋∠AGF )＋180°＝180°＋180°＋180°＝540°．。
2018年秋八年级数学上册 第2章 特殊三角形 2.8 直角三角形全等的判定练习 (新版)浙教版
2.8 直角三角形全等的判定A组1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(B)A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等2．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是(C)A．AC＝DF，BC＝EFB．∠A＝∠D，AB＝DEC．AC＝DF，AB＝DED．∠B＝∠E，BC＝EF(第2题)(第3题)3．如图，AB⊥AC于点A，BD⊥CD于点D，AC与BD交于点O．若AC＝DB，则下列结论错误的是(C)A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCBC．OB＝OD D．OA＝OD4．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD ＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝__7__．,(第4题)) ,(第5题))5．如图，点P到OA，OB的距离相等，且∠AOP＝23°，则∠AOB＝__46°__．(第6题)6．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC．【解】∵∠1＝∠2，∴DE＝EC．又∵∠A ＝∠B ＝90°，AE ＝BC ，∴Rt△ADE ≌Rt△BEC (HL )．7．如图，AD 平分∠BAC，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC(第7题)于点F ，且DB ＝DC ，求证：EB ＝FC ．【解】 ∵AD 平分∠BAC，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD＝90°．在Rt△DBE 和Rt△DCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt△DBE ≌Rt△DCF (HL )， ∴EB ＝FC ．B 组8．如图，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，AX ⊥AC ，点P 和点Q 分别在线段AC 和射线AX 上运动，且AB ＝PQ ，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．【解】 ∵AX⊥AC，∴∠PAQ ＝90°，∴∠C ＝∠PAQ ＝90°．分两种情况：①当PA ＝BC ＝5时，在Rt△ABC 和Rt△QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ， ∴Rt△ABC ≌Rt△QPA (HL )．②当PA ＝AC ＝10时，在Rt△ABC 和Rt△PQA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ，PA ＝AC ， ∴Rt△ABC ≌Rt△PQA (HL )．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．,(第8题)) ,(第9题))9．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE，延长BG 交CD 于点F ，连结EF ．若AB ＝6，BC ＝96，则FD 的长为__4__．【解】 ∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ．∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE，∴AE ＝GE ，AB ＝GB ．∴DE＝GE ．∵四边形ABCD 是长方形，∴∠A ＝∠D＝90°，∴∠EGF ＝180°－∠EGB＝180°－∠A ＝90°．在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝GE ，EF ＝EF ， ∴Rt △EDF ≌Rt △EGF(HL)．∴DF＝GF ．设DF ＝x ，则BF ＝6＋x ，CF ＝6－x ．由勾股定理，得(96)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x ＝4．10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上．(2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．,(第10题)),(第10题解))【解】 (1)如解图，过点O 作OM⊥AB 于点M ．∵四边形OECF 是正方形，∴OE ＝EC ＝CF ＝OF ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ．∵BD 平分∠ABC，OM ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OM ＝OE ，∴OM ＝OF ．∵OM ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴点O 在∠BAC 的平分线上．(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，∴AB ＝13．∵BE ＝BC －CE ，AF ＝AC －CF ，CE ＝CF ＝OE ，∴BE ＝12－OE ，AF ＝5－OE ．易证BE ＝BM ，AM ＝AF ．∵BM ＋AM ＝AB ，∴BE ＋AF ＝13，∴(12－OE)＋(5－OE)＝13，解得OE＝2．数学乐园11．如图①，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF ⊥AC，且AB＝CD，AC与BD交于点G．(1)求证：BD平分EF．(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②，其余的条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．(第11题)【解】(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．又∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF＝DE．又∵∠BGF＝∠DGE，∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GF＝GE，即BD平分EF．(2)结论仍成立．理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE．∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF＝DE．又∵∠BGF＝∠DGE，∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GF＝GE，即BD平分EF．。
2018秋八年级数学上册 单元清五 (新版)浙教版
检测内容：第4章图形与坐标得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分）1．（2018·绍兴模拟）在平面直角坐标系中，点(1，2)所在的象限是(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中,点A（5，6）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（D)A．（5，6) B．(－5，－6) C．（－5，6) D．（5，－6）3．(2018·上杭县月考）根据下列表述，能确定位置的是(A)A．东经116。
41°,北纬25。
43° B．上杭县建设路C．北偏东30° D．天影国际影院2排4．如图所示，在正方形ABCD中,点A，C的坐标分别为(－2,3）和（3,－2)，则点B,D 的坐标分别为(B）A．（2，2)和（3，3) B．(－2,－2）和（3，3)C．（－2，－2)和(－3,－3）D．(2，2)和(－3，－3),第4题图) ,第6题图)，第8题图)5．已知点P（2a，1－3a）在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（A）A．－1 B．1 C．5 D．36．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点A的坐标是（－2，3),若先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（B)A．（－3，2) B．(2,－3) C．（1，－2) D．（3，－1）7．已知点A(4，8），B（－4，－8）,以坐标轴为对称轴，点A可以由点B经过m次轴对称变换得到，则m的最小值为（B）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，点A,B的坐标分别为(－5，6），（3，2)，则三角形ABO的面积为(B)A．12 B．14 C．16 D．189．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y）经过变换τ得到点P′(x′，y′)，该变换记为τ（x，y)＝（x′，y′),其中错误!a,b为常数．例如，当a＝1，且b＝1时，τ（－2，3)＝（1，－5）．若τ(1，2)＝（0,－2）,则 a，b的值分别为(D）A. －1,－错误!B。
2018年秋八年级数学上册 第1章 三角形的初步知识 1.3 证明(一)练习 (新版)浙教版
1.3 证明（一）A组1．如图，下面的推理正确的是(D)A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BCC．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC,(第1题)) ,(第2题)) 2．如图，若a∥b，则∠1的度数为(C)A． 90° B． 80°C． 70° D． 60°(第3题)3．如图，下列条件中，能证明AD∥BC的是(D)A．∠A＝∠CB．∠B＝∠DC．∠B＝∠CD．∠C＋∠D＝180°4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为a⊕c．组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c(第5题)5．如图，∠1与∠D互余，∠C与∠D互余．求证：AB∥CD．【解】∵∠1与∠D互余，∠C与∠D互余(已知)，∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．(第6题)6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b 于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．【解】∵直线a∥b，∠1＝42°(已知)，∴∠ACB＝42°(两直线平行，内错角相等)．又∵∠BA C＝90°(已知)，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°(三角形的内角和为180°)，∴∠2＝∠ABC＝48°(对顶角相等)．(第7题)7．如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．【解】∵∠1＝∠AGF(对顶角相等)，∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠AGF(等量代换)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B＝180°－∠D＝180°－50°＝130°．B组(第8题)8．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．【解】过点C作CE∥a．∵a∥b，∴CE∥a∥b，∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°．∵∠ACB＝90°，∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°．(第9题)9．如图，已知AB∥CD，EF 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，EP ⊥EF ，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ，且∠BEP＝50°，则∠EPF 的度数为__70°__．【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF ＝90°． 又∵∠BEP＝50°，∴∠BEF ＝∠BEP＋∠PEF＝140°． ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠EFD＝180°， ∴∠EFD ＝40°． ∵FP 平分∠EFD，∴∠EFP ＝12∠EFD＝20°．∵∠PEF ＋∠EFP＋∠EPF＝180°， ∴∠EPF ＝70°．10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，BE 平分∠ABC，分别交AC ，CD 于点E ，F ．求证：∠CEF＝∠CFE．(第10题)【解】 ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE ＝∠CBE．∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠CEF ＋∠CBE＝90°，∠DFB ＋∠ABE＝90°， ∴∠CEF ＝∠DFB． 又∵∠CFE＝∠DFB， ∴∠CEF ＝∠CFE． 11．阅读：如图①，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D 的度数．(第11题)(第11题解)【解】 如解图，过点D 作DE∥AB 交BC 于点E ，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B ＋∠BED ＝180°．由题意，得∠BED ＝∠C ＋∠CDE ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠CDA ＝(∠A ＋∠ADE )＋(∠CDE ＋∠C )＋∠B ＝180°＋∠BED ＋∠B ＝180°＋180°＝360°．数学乐园12．如图，∠EOF ＝90°，点A ，B 分别在射线OE ，OF 上移动，连结AB 并延长至点D ，∠DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点C ，试问：∠AC B 的度数是否随点A ，B 的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而发生变化，请给出变化的范围．(第12题)【解】 ∠ACB 的度数不随点A ，B 的移动发生变化．理由如下： ∵BC ，AC 分别平分∠DBO，∠BAO ， ∴∠DBC ＝12∠DBO，∠BAC ＝12∠BAO．∵∠DBO ＋∠OBA＝180°，∠OBA ＋∠BAO＋∠AOB＝180°， ∴∠DBO ＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO －∠BAO＝∠AOB＝90°．∵∠DBC ＋∠ABC＝180°，∠ABC ＋∠ACB＋∠BAC＝180°， ∴∠DBC ＝∠BAC＋∠ACB， ∴12∠DBO＝12∠BAO＋∠ACB， ∴∠ACB ＝12(∠DBO－∠BAO)＝12∠AOB＝45°．。
2018年秋八年级数学上册 第1章 三角形的初步知识 1.1 认识三角形(二)练习 (新版)浙教版
1.1 认识三角形(二)A组1．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是(A)2．能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)A．中线 B．角平分线C．高线 D．以上都不能3．一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝(C)A． 50°B． 60°C． 70°D． 80°,(第3题)) ,(第4题))4．如图，AD是△ABC的中线，BC＝10，则BD的长为__5__．5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝__40°__．,(第5题)) ,(第6题))6．如图，AD是△ABC的中线，AB－AC＝5 cm，△ABD的周长为49 cm，则△ADC的周长为__44__cm．(第7题)7．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC ＝180°－50°－60°＝70°． ∵AD 是高线，∴∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝30°． ∵AE ，BF 是角平分线，∴∠ABF ＝12∠ABC ＝35°，∠EAF ＝12∠CAB ＝25°，∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAF ＝5°，∠AFB ＝180°－∠ABF －∠CAB ＝95°， ∴∠AOF ＝180°－∠AFB －∠EAF ＝60°， ∴∠BOA ＝180°－∠AOF ＝120°．B 组8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △BDG ＝8，S △AGE ＝3，则S △ABC ＝(B )A ． 25B ． 30C ． 35D ． 40【解】 在△BDG 和△GDC 中，∵BD ＝2DC, 这两个三角形在BC 边上的高线相等，∴S △BDG ＝2S △GDC ，∴S △GDC ＝4． 同理，S △GEC ＝S △AGE ＝3．∴S △BEC ＝S △BDG ＋S △GDC ＋S △GEC ＝8＋4＋3＝15， ∴S △ABC ＝2S △BEC ＝30．(第8题)(第9题)9．如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ＝__14__．【解】 设S △ABC ＝S ． ∵AD 是中线， ∴BD ＝CD ，∴S △ACD ＝S △ABD ＝12S △ABC ＝12S ．∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴S △EDC ＝S △EDA ＝12S △ACD ＝14S ．∴S △EDC ∶S △ABC ＝14S S ＝14．(第10题)10．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CE 是∠ACB 的平分线，∠A ＝20°，∠B ＝60°，求∠BCD 和∠ECD 的度数．【解】 ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°． ∵∠B ＝60°，∴∠BCD ＝180°－∠CDB －∠B ＝30°．∵∠A ＝20°，∠B ＝60°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝100°． ∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝50°，∴∠ECD ＝∠BCE －∠BCD ＝20°．(第11题)11．如图，在△ABC 中(AB>BC)，AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40的两部分，求AC 和AB 的长．导学号：91354001【解】 ∵AD 是BC 边上的中线，AC ＝2BC ， ∴BD ＝CD ，AC ＝4BD ．设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ． 分两种情况讨论：①AC ＋CD ＝60，AB ＋BD ＝40，则4x ＋x ＝60，x ＋y ＝40，解得x ＝12，y ＝28，即AC ＝4x ＝48，AB ＝28，BC ＝2x ＝24，此时符合三角形三边关系定理． ②AC ＋CD ＝40，AB ＋BD ＝60，则4x ＋x ＝40，x ＋y ＝60，解得x ＝8，y ＝52， 即AC ＝4x ＝32，AB ＝52，BC ＝2x ＝16， 此时不符合三角形三边关系定理． 综上所述，AC ＝48，AB ＝28．数学乐园12．如图，已知△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结点A1，B1，C1，A1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结点A2，B2，C2，A2，得到△A2B2C2……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，则最少经过__4__次操作．,(第12题))【解】由题意可得规律：第n次操作后得到的三角形的面积变为7n，则7n>2018，可得n最小为4．故最少经过4次操作．。
初二数学培优专题 (1)——共点“手拉手”模型(又称旋转“一拖二”模型)(答案详解)
共点手拉手模型（又称旋转“一拖二”模型）——兼谈最值、轨迹问题特点——公共点是等腰三角形顶角的顶点如图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，又称为“手拉手模型”。
典型问题：【例1】（成都高新区2017-2018八年级上期27题）【例2】（成都金牛区2017-2018八年上期27题）如图，在△ABC中,∠B=45°，AB=22，2=BC，等腰直角∆ADE中，∠DAE=90°，2+3且点D是边BC上一点。
(1)（3 分）求AC的长；(2)（4 分）如图1，当点E恰在AC上时,求点E到BC的距离；(3)（3 分）如图2, 当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。
图1【例3】（2017届初二上期七中联盟半期）已知：ABC △是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中90PCQ =∠，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB上，且AC =，12PA =，则： ①线段PB =________，PC =________；②猜想：222,,PQ PA PB 三者之间的数量关系为_______________________；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足4PA PB =,求PQAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图① 图② 备用图QCBPAQCB ACBA【例4】如图,已知30MON ∠=︒ ,B 为OM 上一点,BA ON ⊥ 于A ,四边形ABCD 为正方形,P 为射线BM 上一动点,连结CP ,将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒ 得CE ,连结BE ,若 4AB = ,则BE 的最小值为【例5】（成都武侯区2016-2017八年上期27题）如图，已知直线x y =过点A ，y AB ⊥轴于点B ，x AC ⊥轴于点C ，点P 是y 轴上的一动点，连接AP 交直线BC 于点E .点N 在直线BC 上，连接AN 且︒=∠90PAN ，在射线AN 上截取AE AD =，连接DE .（1）求证：2222AE EC BE =+；（2）若点A 的坐标是（6，m ），点P 的坐标是（0，m 32），求线段AD 的长； （3）当31=EC BE 时，求BPDE的值.27题【例6】（成都青羊区2016-2017八上期27题）在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90︒至CE ，连结DE ，过C 作CF ⊥DE 交AB 于F ，连结BE.（1）求证：AD=BE ；（2）求证：222AD BF DF +=； （3）若15ACD ∠=︒，1CD =+，求BF.【例7】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证△BCE ≌△ACD ．则 ①∠BEC ＝；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，若AE ＝15，DE ＝7，求AB 的长度．（3）探究发现：如图3，P 为等边△ABC 内一点，且∠APC ＝150°，且∠APD ＝30°，AP ＝5，CP ＝4，DP ＝8，求BD 的长．E答案典型问题：【例1】（2017-2018上期成都高新区27题）解：（1）∵∠BAC=∠DAE=︒90 ∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC ，AD=AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）取AB 的中点G ，连接DG（I ）∵∠BAC=∠DAE=︒120且点D是边BC上一点。
2018年秋浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步知识测试题含答案
第1章三角形的初步知识测试题第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列各组线段中，能组成三角形的是( )A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，62．在△ABC中，∠A－∠C＝∠B，那么△ABC是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝70°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠CAD的度数为( )A．40°B．45°C．50°D．55°4．如图所示，AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图所示，点P在BC上，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，△ABP≌△PCD，其中BP＝CD，则下列结论中错误的是( )A．∠A＋∠CPD＝90°B．AP＝PDC．∠APB＝∠D D．AB＝PC6．如图所示，点F，C在AD上，在△ABC和△DEF中，若BC＝EF，AF＝CD，添加下列四个条件中的一个，能判定这两个三角形全等的是( )A．∠B＝∠E B．AC＝DFC．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠EFD7．下列命题中，真命题是( )A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中，至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等8．如图所示，点C，E分别在AD，AB上，BC与DE相交于点F.若△ABC与△ADE全等，则图中全等的三角形共有( )A．4对B．3对C．2对D．1对9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，则△DEB 的周长为( )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm10．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H，已知EH＝EB＝6，AE＝8，则CH的长是( )A．1 B．2 C．3 D．4请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11．已知点P在线段AB的垂直平分线上，若PA＝6，则PB＝________.12．如图所示，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是____________(写出一个即可)．14.如图所示，两个直角三角形叠放在一起，∠B＝30°，∠E＝42°，则∠α＝________°.14．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝________°.15．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝________．16．如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE＝CF.若BD＝10，BF＝3.5，则EF＝________．三、解答题(本题共8小题，共66分)17．(6分)有一块不完整的三角形玻璃，如图所示，请将它补全，并用尺规画出最小角的平分线和最长边的垂直平分线(不写作法，只保留作图痕迹)．18．(6分)如图所示，已知AD是△ABC的中线，AB＝8 cm，AC＝5 cm，求△ABD和△ACD的周长差．19．(6分)证明命题“全等三角形对应边上的高相等”．已知：如图所示，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．求证：AD＝EH.20．(8分)如图所示，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．21．(8分)在数学课上，林老师在黑板上画出了如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出了四个条件：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④∠B＝∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：________；结论：________．(均填写序号)证明：22．(10分)如图所示，已知AB＝DC，DB＝AC.(1)求证：∠ABD＝∠DCA；(2)在(1)的证明过程中需要作辅助线，它的意图是什么？23．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连结DE.(1)求证：△ABD≌△AED；(2)已知BD＝5，AB＝9，求AC长．24．(12分)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D，E.(1)求证：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝AE.(2)请写出BD，CE，DE三者间的数量关系式，并证明．答案 1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．D 7．C 8．A 9． B 10．B 11．612．答案不唯一，如AB ＝AC 13．72 14．65 15．8 16．317．解：如图所示，∠BAC 是最小角，AB 是最长边，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AB .18．解：∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线， ∴BD ＝DC ＝12BC ，∴△ABD 和△ACD 的周长差为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋12BC ＋AD －⎝ ⎛⎭⎪⎫AC ＋12BC ＋AD ＝AB －AC ＝8－5＝3(cm)． 19．证明：∵△ABC ≌△EFG ， ∴AB ＝EF ，∠B ＝∠F .∵AD ，EH 分别是△ABC 和△EFG 的对应边BC ，FG 上的高，∴∠ADB ＝∠EHF ＝90°. 在△ABD 和△EFH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠EHF ，∠B ＝∠F ，AB ＝EF ，∴△ABD ≌△EFH (AAS )，∴AD ＝EH .20．解：(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA ，△BCE ≌△DAF (答案不唯一，任选两组写出即可)． (2)答案不唯一，如证△ABE ≌△CDF .证明：∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF . ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF . 又∵∠ABE ＝∠CDF ， ∴△ABE ≌△CDF (AAS )．或证△ABC ≌△CDA .证明：易证△ABE ≌△CDF ，∴AB ＝CD . 又∵∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝CA ， ∴△ABC ≌△CDA (SAS )． 或证△BCE ≌△DAF .证明：易证△ABE ≌△CDF ， ∴∠BEA ＝∠DFC ，BE ＝DF ， ∴∠BEC ＝∠DFA . 又∵CE ＝AF ，∴△BCE ≌△DAF (SAS )．21．解：答案不唯一．如题设：①②③；结论：④. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ， 即∠BAD ＝∠CAE .在△ABD 和△ACE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠B ＝∠C .22．解：(1)证明：如图所示，连结AD .在△BAD 和△CDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，DB ＝AC ，AD ＝DA ，∴△BAD ≌△CDA (SSS )， ∴∠ABD ＝∠DCA (全等三角形的对应角相等)．(2)作辅助线的意图是通过作两个三角形的公共边构造全等三角形． 23．解：(1)证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠EAD .在△ABD 和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED (SAS )．(2)∵△ABD ≌△AED ，∴AE ＝AB ＝9，DE ＝BD ＝5，∠AED ＝∠B .由三角形的外角性质，得∠AED ＝∠C ＋∠CDE . 又∵∠ABC ＝2∠C ，∴∠C ＝∠CDE ，∴CE ＝DE ＝5，∴AC ＝AE ＋CE ＝9＋5＝14. 24．解：(1)证明：①∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°.∵CE ⊥MN ，∴∠ACE ＋∠CAE ＝90°， ∴∠BAD ＝∠ACE .②∵BD ⊥MN ，CE ⊥MN ， ∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°.在△ABD 和△CAE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDA ＝∠AEC ，∠BAD ＝∠ACE ，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE .(2)BD ＝CE ＋DE .证明如下： ∵△ABD ≌△CAE ， ∴BD ＝AE ，AD ＝CE . ∵AE ＝AD ＋DE ， ∴BD ＝CE ＋DE .。
【八年级数学试题】八年级上册数学期中考试卷(2018浙教版含答案)
八年级上册数学期中考试卷(2018浙教版含答案)
八年级第一学期期中检测卷
考试时间90分钟，满分12)3×34 -(12 )0
（2）计算[(2x-)(2x+)+(-6x)]÷(2x)
18、本题6分
请在下图（单位长度是1）的方格中画出两个以AB为边的三角形ABc，使三角形面积为25。
（要求点c在格点上，其中一个为钝角三角形）
19、本题6分
班会时，老师组织甲、乙两班同学进行投篮比赛，每班各抽5名男生和5名女生进行投篮，每人各投5次（女生投篮处距离篮筐比男生近），成绩记录如下表
投进篮筐个数012345
甲班学生数1312 12
乙班学生数012421
根据以上提供的信息回答下列问题
（1）甲、乙两班的投篮平均成绩哪个更好？（2）甲、乙两班的投篮成绩哪个稳定？
6-1 各1分
=-5 1分
（2）原式= 各1分
= 1分
= 1分
18、本题6分
每幅图3分
19、本题6分
（1）算出甲班平均成绩25个和乙班平均成绩3个各得1分，。
八年级数学上册 幂的运算培优训练
幂的运算培优训练一、同底数幂的乘法及其推广例1、计算：（1）x·(－x2)·(－x)2·(－x3)·(－x)3 （2）(a－b)2·(b－a)3【变式】规定a*b＝2a×2b，求：（1）求2*3；（2）若2*（x+1）＝16，求x的值．二、幂的乘方与积的乘方（1）计算：（－m3）2•m5（2）计算：－82018×（－0.125）2018（3）已知a m＝6，a n＝2，求a2m+3n的值．【变式】若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？（1）若2×2x＝8，求x的值；（2）若（9x）2＝38，求x的值．三、同底数幂的除法例3：（1）a 6÷a 2；（2）(－a )5÷(－a )2（3）（x －y ）10÷（y －x ）5÷（x －y ）；【变式】若33×9m +4÷272m -1的值为729，求m 的值．例4： 2-1－(－23)-2＋(32)0【拓展应用】（1）若3x =4，3y =6，求92x -y +27x -y 的值．（2）若26=a 2=4b ，求a +b 值．（3）比较大小：2333和4222.【能力提升】1. 下列计算正确的是（ ）A ．a •a 2＝a 3B ．a +a 2＝a 3C ．a 3•a 3＝a 9D ．a 3+a 3＝a 62. 计算（53）2017×（－0.6）2018的结果是（ ）A ．－53B ．53C ．－0.6D ．0.63．若2(3x －6)-2+(x －3)o 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3；B ．x ＜2 ；C ．x ≠3或x ≠2；D ．x ≠3且x ≠2.4. 若a m ＝5，a n ＝6，则a m +n ＝ ．5. 计算：(－0.25)2019×42018＝ ．6. 汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为___________________7. 已知（a m ）n ＝a 6，（a m ）2÷a n ＝a 3（1）求mn 和2m －n 的值；（2）求4m 2+n 2的值．8. 化简求值：（2x －y ）13÷[（2x －y ）3]2÷[（y －2x ）2]3，其中x ＝2，y ＝－1.9. 已知常数a 、b 满足3a •3b ＝27，且（5a ）2•（5b ）2÷（125a ）b ＝1，求a 2+b 2的值．10. 已知5a ＝2b ＝10，求1a +1b 的值．幂的运算【能力提升】答案：1. 下列计算正确的是（ ）A ．a •a 2＝a 3B ．a +a 2＝a 3C ．a 3•a 3＝a 9D ．a 3+a 3＝a 6 解：A ．a •a 2＝a 3，此选项正确；B ．a 与a 2不是同类项，不能合并，此选项错误；C ．a 3•a 3＝a 6，此选项错误；D ．a 3+a 3＝2a 3，此选项错误；故选：A ．2. 计算（53）2017×（－0.6）2018的结果是（ ）A ．－53B ．53C ．－0.6D ．0.6 解：（53）2017×（－0.6）2018＝（53）2017×（－35）2018＝（53）2017×（35）2017×35＝35＝0.6．故选：D ．3．若2(3x －6)-2+(x －3)o 有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＞3； B ．x ＜2 ； C ．x ≠3或x ≠2；D ．x ≠3且x ≠2.解：同时满足3x －6≠0,x －3≠0故选：D ．4. 若a m ＝5，a n ＝6，则a m +n ＝ ．解：∵a m ＝5，a n ＝6，∴a m +n ＝a m •a n ＝5×6＝30．5. 计算：(－0.25)2019×42018＝ ．解：(－0.25)2019×42018＝(－0.25)2018×42018×（－0.25）＝(－0.25×4)2018×（－0.25）＝－0.25．6. 汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为___________________解：0.013＝1.3×10-2．7. 已知（a m）n＝a6，（a m）2÷a n＝a3（1）求mn和2m－n的值；（2）求4m2+n2的值．解：（1）∵（a m）n＝a6，（a m）2÷a n＝a3，∴a mn＝a6，a2m-n＝a3，则mn＝6，2m－n＝3；（2）当mn＝6、2m－n＝3时，4m2+n2＝（2m－n）2+4mn＝32+4×6＝9+24＝33．8. 化简求值：(2x－y)13÷[(2x－y)3]2÷[(y－2x)2]3，其中x＝2，y＝－1.解：原式＝(2x－y)13÷(2x－y)6÷ (y－2x)6＝(2x－y)13÷(2x－y)6÷ (2x－y)6=2x－y当x＝2，y＝－1时，原式＝5.9. 已知常数a、b满足3a•3b＝27，且（5a）2•（5b）2÷（125a）b＝1，求a2+b2的值．解：∵3a•3b＝27，∴3a+b＝33，∴a+b＝3，∵(5a)2•(5b)2÷(125a)b＝52a+2b÷53ab＝1，∴2a+2b＝3ab，∴2(a+b)＝3ab＝6，∴ab＝2，∴a2+b2＝(a+b)2－2ab＝32－4＝5．10. 已知5a＝2b＝10，求1a+1b的值．解：∵5a＝2b＝10，∴（5a）b＝10b，（2b）a＝10a，∴5ab＝10b，2ab＝10a，∴5ab•2ab＝10b•10a，∴10ab＝10a+b，∴ab＝a+b，∴1a+1b＝a+bab＝1.。
专题2.10直角三角形全等的判定
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.10直角三角形全等的判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2018秋•黔南州期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，AB=CDBE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：D．2．（2020春•竞秀区期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝ADC．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确【分析】图形中已有条件AB＝AB，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．【解析】若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD，故选：B．3．（2020秋•永年区期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD或AC＝AD．【解析】需要添加的条件为BC＝BD或AC＝AD，理由为：若添加的条件为BC＝BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵BC=BD AB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC＝AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵AC=AD AB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．故选：A．4．（2020秋•无锡期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．【解析】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．5．（2019秋•沭阳县期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可．【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，∠ADC=∠AEB ∠DAC=∠EAB AC=AB，∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，∠B=∠C∠BOD=∠COE BD=CE，∴△BOD≌△COE（AAS）；∴OB＝OC，OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，OA=OA OD=OE，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；∴共有3对全等直角三角形，故选：C．6．（2019春•来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BDC．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC＝AD或BC＝BD，故选：B．7．（2017春•来宾期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是（ ）A．HL B．ASA C．SAS D．AAS【分析】由于∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB．题中还隐含了公共边这个条件，由此就可以证明△BAD ≌△BCD，全等容易看出．【解析】∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，DB＝DB，∴△BAD≌△BCD（HL）．故选：A．8．（2018秋•和平区期末）如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，再添两个条件不能够全等的是（ ）A．AB＝A′B′，BC＝B′C′B．AC＝AC′，BC＝BC′C．∠A＝∠A′，BC＝B′C′D．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′【分析】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A选项，AB＝A′B′，BC＝B′C′，可利用HL判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，同理B选项，可利用SAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，C选项∠A＝∠A′，BC＝B′C′，可利用AAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，D选项，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，只能证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，不能证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故选：D．9．（2017秋•玉田县期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝DF．求证：Rt△DEB≌Rt△DFC．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED＝∠CFD＝90°②∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）③∵DE⊥AB，DF⊥AC，④∵在Rt△DEB和Rt△DFC中DB=DCDE=DF（已知）．证明步骤正确的顺序是（ ）A．③→②→①→④B．③→①→④→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②【分析】根据垂直定义得出∠BED＝∠CFD＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，BD=CDDE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；故选：B．10．（2019秋•沛县期中）下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（ ）A．一条直角边和它的对角分别相等B．斜边和一条直角边分别相等C．斜边和一锐角分别相等D．两个锐角分别相等【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解析】A、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；B、根据HL可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•临沭县期中）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝DF（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可证得结论．【解析】添加的条件是：AB＝DF，证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，∴∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AB∥DF，∴∠ABC＝∠DFE，∴添加AB＝DF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFE，AB=DF∴Rt△ABC≌Rt△DFE（AAS），故答案为：AB＝DF（答案不唯一）．12．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解析】∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中∠DFE=∠BCA∠DEF=∠BAC，AB=ED∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．13．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理 HL ．【分析】根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．【解答】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，AC=BFCD=DF，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．故答案为：HL．14．（2020秋•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF AB＝DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．【解析】∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案为：AB＝DE．15．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝ 2 时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【分析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中AB=PC=6∠B=∠C=90°BP=CD=2，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．16．（2021春•新邵县期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是： AC＝AD（答案不唯一） ．（写一个即可）【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理HL即可，条件可以是AC＝AD或BC＝BD．【解析】添加的条件是AC＝AD，理由是：∵∠C＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABD中AB=ABAC=AD，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．17．（2021春•揭阳期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 4 分钟后，△CAP与△PQB全等．【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12≠AC，即可得出结果．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．18．（2020春•涟源市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件： AC＝AD （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD或AC＝AD．【解析】条件是AC＝AD（答案不唯一），∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中AB=ABAC=AD，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•合浦县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB＝CB，AE＝CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．【解答】证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE=CF AB=CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．20．（2020秋•集贤县期中）如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC ＝AE．求证：BC＝BE．【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD ＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE．【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．21．（2019秋•扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q 两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BC PQ=AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．综上所述，当点P运动到线段AC中点时，△ABC与△QPA全等．22．（2019春•莲花县期中）如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，E为BC上一点，BE＝FC，请探求AE与BF的关系，并说明理由．【分析】AE⊥BF且AE＝BF，根据已知可以利用SAS判定△ABE≌△BCF，从而得到AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F，再根据角之间的关系可推出AE⊥BF．【解析】AE⊥BF且AE＝BF．理由：∵AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，∴∠ABE＝∠BCF＝90°．∵AB＝BC，BE＝FC，∴△ABE≌△BCF．∴AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F．∵∠A+∠AEB＝90°，∴∠FBC+∠AEB＝90°．∴AE⊥BF．∴AE⊥BF且AE＝BF．23．（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD ⊥CE的结论是否成立，并说明理由．【分析】（1）根据SAS可得△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．（2）根据SAS可得△ABD≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．【解析】（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°．在△ABC和△DCE中，AB=CD∠A=∠DAC=DE∴△ABC≌△DCE（SAS）．∴∠B＝∠DCE．∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°．∴∠BCE＝90°，即BC⊥CE；（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A＝∠CDE＝90°．在△ABC和△DCE中，AB=CD∠A=∠CDEAD=DE∴△ABD≌△DCE（SAS）．∴∠B＝∠DCE．∵∠B+∠ADB＝90°，∴∠ADB+∠DCE＝90°．BD⊥CE．24．（2017秋•沧州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【分析】（1）由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵AB=AC AD=CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．。
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浙教版八年级数学上综合培优2018
1,,如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩
形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是___.
2,已知：如图1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90∘，O，M，N分别
为AB，AD，BE的中点，连接OM，ON，MN.
(1)求证：OM=ON，OM⊥ON.
(2)将图1中△CDE绕点C逆时针旋转得图2,记旋转角为α(0∘<α<180∘).已知BC=2CD=6，求
在旋转过程中线段MN的最小值。
3,如图，已知AB=9，点E是线段AB上的动点，分别以AE、EB为底边在线段AB的同侧作
等腰直角△AME和△BNE，连接MN，设MN的中点为F，当点E从点A运动到点B时，则
点F移动路径的长是___.
\
3,如图,在△ABC中,∠ABC=90∘.AB=BC,A(−4,0),B(0,2)
图2
E
D
C
B
A
图3
E
D
C
B
A
图1
E
D
C
B
A
x
O
CBA
y
(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：∠AMB=∠CMN；
(3)如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、
第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正
半轴上移动时，BP的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度。
4,如图,在等腰直角△BCD中,∠BCD=90∘,BC=CD,E为△BCD内一点,且CE⊥DE,DE=2CE,将
△CDE绕点C逆时针旋转90∘得到△CBF,连接EF、BE,G为DE的中点,连接BG.如果△BDG
的面积为1cm2，那么BG的长度为___cm.
5、如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α.
⑴如图1，当α=60°时，∠BCE= ；
（图1） （图2） （图3）
6、在平面直角坐标系xoy中，直线6yx与x轴交于A，与y轴交于B，BC⊥AB交x轴
于C.①求△ABC的面积.
x
O
E
D
B
A
y
E
A
F
Ox
y
②D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求直线
EA的解析式.
③点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，OF平分∠OAE，点M是射线AF上一动
点，点N是线段AO上一动点，是判断是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最
小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.
7. （本题12分）如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.
OA、OB的长度分别为a和b，且满足2220aabb.
⑴判断△AOB的形状.
⑵如图②，正比例函数(0)ykxk的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作
AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长.
⑶如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连结PD、
PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.
O
Q
N
M
y
x
B
A
O
P
y
x
E
D
B
A
①
②
8.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=BC,直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系并
证明。
9,如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．
（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；
（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，
到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数
关系式
③
10,（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接
DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关
系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）
相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以
DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′
与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结
论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
\
11,操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶
点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．
（1）探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明
（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，
NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
图一 图二
（3）求证：CN-BM=MN
13,如图，已知△ABC和△ADC是以AC为公共底边的等腰三角形，E、F
分别在AD和CD上，已知：∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC=2∠EBF
（1）求证：EF=AE+FC
（2）若点E、F在直线AD和BD上，则是否有类似的结论？
图① 图② 图③
图④