九年级数学人教版圆的切线复习PPT优秀课件
九年级数学上册人教版(课件)：24.2.2.2 圆的切线
重点 探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的 切线相关的计算和证明等问题． 难点 探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅 助线．
活动1 动手操作 要求学生先在纸上画⊙O和圆上一点A，然后思考：根据所学知 识，如何画出这个圆过点A的一条切线？能画几条？有几种画法？ 你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？
(3)如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是 PA边的中点，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．
2．教材第98页 练习第1，2题． 答案：1.(1)B；(2)相切；(3)连接OC，OD；2.略．
活动5 课堂小结与作业布置 课堂小结 1．知识总结：两个定理：切线的判定定理是________；切线的性质定 理是________． 2．方法总结：(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法． (2)证明切线的方法：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公 共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂 直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再 证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． (3)在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以 产生半径和垂直条件． 作业布置 教材第101页 习题24.2第4～6题．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
2Hale Waihona Puke ．2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 圆的切线
1．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定 定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解 切线的性质定理．
2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定 和性质解决相关的计算与证明问题．
活动3 性质定理 1．教师引导学生思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那 么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
第二十四章圆 复习课课件(共35张PPT)人教版九年级数学上册
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.会画三角形的外接圆和内切圆,知道三角形内心和外心的性质,知 道圆内接多边形并会相关计算. 5.知道弧长和扇形面积的计算公式,并能用这些公式进行相关计算.
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
1 圆的有关概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
O．
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
2 圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数 条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合, 即圆具有旋转不变性.
解：设直径BC与弦AD交于点E
A
∵∠D=36°，∴∠ABC=36°
∵AD⊥BC，
B
∴在直角三角形ABE中，∠BAD=90°-36°=54°
C E D
学习目标
知识梳理
典型例题
当堂检测
课堂总结
例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证明：∠1=∠2.
典型例题
当堂检测
课堂总结
例3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直 径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这 个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
解析:设圆心为O，连接AO,作出过点O的 弓形高CD，垂足为D,可AO=5mm,OD=3mm 利用勾股定理进行计算，AD=4mm， 所以AB=8mm.
圆的切线课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
见切点，连半径，得垂直
3.本节课用到的数学思想、方法：数形结合； 一题多解、多题归一、 逆向思维
24.2.2（2）圆的切线的判定与性质
学习目标
1.会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2.探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直
线是否为圆的切线； 3.会应用切线的判定方法和性质解决简单问题.
画一画、想一想、说一说
A为⊙O上一点，如何过点A画出⊙O的切线？
A
画一画、想一想、说一说
说明：直线与圆只有一个公共点A
圆的切线垂直于过切点的半径.
已知：OA是⊙O 的半径，直线l 是
⊙O的切线，切点为A. 求证：l⊥OA
O
l A
切线的性质定理证明（反证法）
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵l 为⊙O切线，A为切点 ∴ l ⊥OA
O
l A
1. 如图，直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB. 求证 ：直线AB是⊙O的切线.
求证：AB与⊙O相切.
连接OC
直
线
与
圆
C
过点O作OC⊥AB于点C
有公共点，连半径，证垂直 无公共点，作垂直，证相等
（于半径）
Hale Waihona Puke 3.如图，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，⊙O与腰 AB相切于点D.
求证：AC与⊙O相切.
3.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
⊙O与腰AB相切于点D. 求证：AC与⊙O相切.
12
E
变式思考：观察右图，已知AB、AC均为⊙O切线， 切点分别为D、E，由此你可以得到什么结论？
课堂小结
1、知识与方法 2、数学思想与思维 3、情感态度与价值观
课件_人教版数学九上切线长定理、三角形的内切圆、内心课件PPT课件_优秀版
圆的切线，你发现了什么？ A
●
D●
●F
●
O
B
●
E
C 结论：
三条都与圆相切的切线两两相交， ⊙O为△ABC的 内切圆。
三角形内切圆的概念
4、已知PA、PB与⊙O相切
圆的切线，你发现了什么？
1、如图③，AB、AC是⊙O
归纳：切线长定理为证明线段相等、
3、从圆外一点可以作 条切线与⊙ O 相切.
与三角形各边 都相切的圆，叫做三角形 假如在其中一条切线上找一点，再向引
于点A、B，⊙O的半径为2
（4）如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。
的交点，叫做三角形的
.
的 内切圆.
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
△AOP≌ △BOP， △AOM≌ △BOM， △AMP≌ △BMP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
=△PAAB+PB △AOB
初中数学《圆的切线》专题复习课市级交流分享PPT课件
E
圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作
AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝
∠BAD．
求证：AB为⊙O的切线
C
Bபைடு நூலகம்
β
O
A
α
αβ
D
P
C
A
O
B
α α
α β
1．如图，在 △ABC中 ， AB=BC ,以 △ABC的边AB
为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点 D作DE⊥BC ，
垂足为点E ．
圆的切线
（2018东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在 直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
类型一 交点确定，连半径，证垂直
变式 如图，AB是⊙0的直径，D是⊙0上的点， 点C在AB的延长线，∠BDC=∠DAC. 求证:CD是⊙O的切线
类型一 交点确定，连半径，证垂直
1．如图，在 △ABC中 ， AB=BC , 以 △ABC的边AB 为直径
1
（2）若tan∠∠BAABCC＝=60°，2 AB=10，求线段 CF的长．
△FCB∽△FA C
BC CF BF AC AF CF
（2021济宁中考）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是 BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝ ∠EBC，BP交OE的延长线于点P． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．
1．切线的定义： 直线和圆有唯一公共点，这条直线叫圆的切线 2、切线的性质： 圆的切线 垂直于过切点的半径． 3．切线的判定： （1）定义法： 和圆有 唯一 公共点的直线是圆的切线； （2）距离法： 到圆心距离 等于半径 的直线是圆的切线； （3）判定定理：经．过 半径 外端且 垂直于这条半径的直线是
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.3 切线的判定和性质(共30张PPT)
【思路点拨】解(2)时连接OE，交AD于点M，易证 △AEM≌△DOM，则图中阴影部分的面积＝扇形 OED的面积．
解：如图，连接OE，交AD于点M. ∵∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DOE＝60°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DMO＝180°－∠DOE－∠ADO ＝180°－60°－30°＝90°，
D C．30° D．27°
返回
11．(中考·内江)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，
AB是直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与
直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )
A．40° B．35°
C
C．30° D．45°
返回
12．(中考·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过
圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点
C C．48° D．49°
返回
9．(中考·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于
点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB ＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 3 C．5
B．5 2 D．52
A
返回
10．(中考·黔南州)如图，已知直线AD是⊙O的切线，
点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且 ∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( ) A．54° B．36°
(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
设OF＝OD＝x， 则OB＝OF＋BF＝x＋2， 根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2， 即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2， 即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
∴在 Rt△ODB 中，OD＝12OB，∴∠B＝30°. ∴∠DOB＝60°.∴S 扇形 DOF＝16×π×22＝23π. 则阴影部分的面积为
新人教版九级数学圆的切线的判定与性质精品PPT课件
O
E
B
PC
1. 判定一条直线是圆的切线的三种方法：
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
(2)直线l垂直于半径0A． 则:直线l与⊙O相切
O l
A
这样我们就得到了从“位置”的角度圆 的切线的判定方法——切线的判定定理．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
对定理的理解：
O l
A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
定理的数学语言表达：
∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
.O
切线的性质定理:
L
圆的切线垂直于过切点的半径 A
符号语言：∵ l是⊙O的切线，切点为A ∴ l ⊥OA
【切线的性质定理】
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
反证法
l
AM
证明：假设l与OA不垂直,
作OM⊥ l于M
因“垂线段最短”,
O
故OA>OM,
即圆心到直线的距离小于半径.
这与“直线l是圆O的切线”矛盾.
故直线l与圆O一定垂直.
切线的性质定理：圆的切 线垂直于过切点的半径。
O
l A
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心. 由此得到：
圆的切线(复习课)课件
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。
圆的切线课件
通过圆上一点作切线
总结词
通过圆上一点作切线需要利用半径垂直于切线的性质。
详细描述
选取圆上任意一点，然后通过这一点作一条直线与圆相切，即为切线。这种方法 需要利用圆的性质，即半径垂直于切线。
通过圆外一点作切线
总结词
通过圆外一点作切线需要利用垂径定 理和切线的性质。
详细描述
选取圆外任意一点，然后通过这一点 作一条直线与圆相切，即为切线。这 种方法需要利用垂径定理和切线的性 质，即半径与切线垂直且半径长度等 于圆心到切点的距离。
判定方法三
利用圆的性质，通过观察 圆心到直线的距离是否等 于半径来判断是否为切线 。
02 圆的切线的性质定理
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直， 这是切线的基本性质。
在几何学中，这一性质用于证 明切线的其他性质和定理。
在实际应用中，这一性质可用 于确定某直线是否为圆的切线 。
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 这一性质在几何作图和证明中非常有用，特别是在解决与圆和切线相关的问题时。
05 圆的切线的相关定理和推论
切线与半径之间的夹角定理
总结词
切线与半径之间的夹角定理描述了切线与半径之间的角度关系。
详细描述
切线与半径之间的夹角是直角，即切线与半径垂直。这个定理是圆的基本性质之一，是证明其他切线定理的基础 。
切线长定理的推论
总结词
切线长定理的推论给出了切线长度与半径之间的关系。
圆的切线ppt课件
目录
Contents
• 圆的切线的基本概念 • 圆的切线的性质定理 • 圆的切线的应用 • 圆的切线的作法 • 圆的切线的相关定理和推论
01 圆的切线的基本概念
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
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1 •直线和圆的位置关系有哪几种？什么叫直线和圆相切?
2.我们学习过的切线的判定定理和性质定理分别是什么?
切线的判定定理:
过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径
推论1
过切点且垂直于切线的直线必
过推论2
过圆心且垂直于切线的直线必过切点
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
判断对错@和圆有公共点的直线是圆的切线。
（X ）
经过半径的一个端点并且垂直于这条半径的直繰最的切线。
（X ）
若一条直线与圆的直径垂直，则这条直线就是圆的切线。
1
1
1
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
（）
与两条平行线都相切的圆的直径等于这两条平行线间的距离。
（x/）与等边三角形的两边相切的圆必定与第三边相切。
（7）过切点的直径垂直于切线。
例1:匕；1： Ull ^T/ AB x ZC=90°,以AC为直径巴G €交■斗边门卡DQE〃AB交BC于E 求证：DE是圆O的切线分析：要证DE是OO的切线，只要证明DE经过OO 的半径的外端并且垂直于这条半径•由于点D在
OO上，因此连结OD，只要证明DE丄OD・证明：连结OD
•••OE〃AB，
AZ1 = Z2, Z3=Z4, 又
V0A=0D,
AZ1=Z3.
••• Z2=Z4 在ZkOCE和
AODE中OC=OD, Z2=Z4,
OE=OE AAOCE^AODE ・
••• ZC=Z90°
••• ZODE=90°,即DE 丄0D・
•••DE是00的切线。
C E
例）2:已知：如图△ ABC中AD丄BC, AD=-yBC , E, F 分别是AB, AC的中点，AD与EF相交于H, 求证：以EF为直径的0 O于BC相切
分析：要证BC与O O相切•因为并不知道BC过。
O上哪一点所以只.十□口能作圆心O到BC的垂线段OG然后证明OG 等于。
O的半径证明：作OG丄BC,垂足为G
VE, F分别是ABj AC的中点••・EF〃BC, KEF=yBCo 是
AD的中点，即HD=-iAD.
VAD=-1BC.
AAD=EF
•••HD=-^EF
VAD 丄BC，OG丄BC, EF/7BC,
•••OG=HD=寺EF
•••OG是G>0的半径。
以EF为直径00的与BC相切
D
H E
例3: 如图△ABC中ZO 90°?AC = 12cm,BC=16cm G»O的直径MN在AB上，且分别切AC于D，BC于E 求MN
的长
分析：可以根据切线的性质，构造相似三角形利用相似三角形对应边成比例的性质，建立方程求解。
解：连结OD, OE,设圆的半径为R.
••• 00分别切人（3皿于砂
••• OD=OE=R,OD 丄AC,OE 丄BC，又VZC= 90°>
••• DC=OE=RQD 〃BC.
OD AD R 12-R
解得，R= cm.
••• MN=爷cm.
A
O
D E
12
N
巩固练习
(1)已知半径为2cm的0O外一点P,且PO=4cm, PQ切0O于Q,
则ZOPQ= —；
(2)两个同心圆的半径分别是3cm和5cm,大圆的弦AB和小圆相
切贝H AB=8cm :
(3)/ABC中，ZA=90(，,AB=AC,以A为圆心的圆切BC于D,若
BC=6cm,则0A的半径等于『Cm ；o (4)PA，PB都是G»O的切线A，B是切点•若ZP=48°则
ZAOB=__；
⑸已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB
和CD相等，且AB与小圆相切于E
求证：CD与小圆相切
(6)已知：如图QO交OA于C，弦BC=AC,ZA=30°求证：AB
是OC的切线
(7) 如图,Z ABC 中，ZC=90°,AC=12cm,BC=6cm 点O在AB
上OO分别切AC.BC于E，F・
求％的半径
已知:如图，AB 是G»O 的直径，BC 是0O 的切线;廉 为BQC 平行于弦AD (1)求证：DC 是OO 的切线；
(2)若ZDAB=60°,求ZADC 的度数；(3)若
AB 长为4,点D 在半圆上运动，设AD 长为X ，点A 到直 线 CD 的距离为Y 试求出Y 与X 之间的函数关系式并求出 自变量X 的取值范围；
⑻)连踏盹畤径敬是切域趣脚点 •(点齢》的切线 • …Bite 八2
公位置时無敲xii 回簷并证明
你的结 论。
/. /ABD S /ADF
• AD_ AB 日仃 X 4
•• AF" AD 即 ¥ =X 射线BE 上运动到什
丄 2
••• Y= yx z E
1、若AB 是00的直径，点C 在00±, 过C 引直径AB 的垂线，垂足是D,点D 分这条直径成2 : 3两部分，如果OO 的 半径等于5,贝!|BC 二 __________ o
2、已知OO 的弦CD 丄苴径AB,垂足 为P,且AP=3, AB=30,那么CD 等于 ( )
A. 9
B.3V10
C.18
D. 6^/10 割线，交。
O 于A, B 两点，若PT=4,la 3、PT 切OO 于T, PAB 为经过圆心
O
4、如图，AE, AD和BC分别切OO于E, D, F o如果AD=20,则AABC的周长为（）
5、如图，00的直径为10,弦AB的长为8,
M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是（）
6.巳知：AB旻圖O的直徑，C旻
AB 延长缆上的一点, CD切
DE丄AB于点E。
求证：ZCDB = ZEDB
D
O E B
7、巳知：AB是
圖O的直徑，AC
DE切圖0于点E, 切圖0于点A,
夾AC于点D。
求证：AD=CD
B
卅詡磁•舲丄dd
XXX: Y按邕
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UOJ SMNVm。