三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)

三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。

正切函数x y tan =的图象与性质：定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，值域为R最小正周期是π，在)2,2(ππππ+-k k 上单调增没有对称轴，对称中心为)0,2(πk ，奇函数二．正弦型函数)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的图象 方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将x y sin =图象向左)0(>ϕ或向右)0(<ϕ平移ϕ个单位，得到)sin(ϕ+=x y 的图象； 伸缩变换：纵坐标不变，将)sin(ϕ+=x y 图象上所有点的横坐标缩短)1(>ω或伸长)10(<<ω到原来的ω1倍，得到)sin(ϕω+=x y 的图象，此时函数周期为ωπ2=T ；振幅变换：横坐标不变，将)sin(ϕω+=x y 图象上所有点的纵坐标伸长)1(>A 或缩短)10(<<A 到原来的A 倍，得到)sin(ϕω+=x A y 的图象，此时函数的最值分别为A 、A -；方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换：纵坐标不变，将x y sin =图象上所有点的横坐标缩短)1(>ω或伸长)10(<<ω到原来的ω1倍，所得函数x y ωsin =的图象，此时函数的周期为ωπ2=T ；平移变换：将x y ωsin =图象向左)0(>ϕ或向右)0(<ϕ平移ωϕ个单位，得到)sin(ϕω+=x y 的图象 振幅变换：同上解三角形1．解三角形：（1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<<C B A 、、0，0sin >A ，C B A sin )sin(=+， C B A cos )cos(-=+，2cos 2sin C B A =+，2sin 2cos CB A =+，ππ<-<-B A 2．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为ABC ∆的外接圆半径 3．余弦定理：在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 ， 其变式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222224．三角形的面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三角恒等变换例题精讲点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定点评：如果根据αtan 的值求αsin 、αcos 的值，则需考虑α的象限，这里把1写成αα22cos sin +构造关于αsin 、αcos 的齐次式，解法干净利索点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。

点评：正切的和差角公式把)tan(βα±、βαtan tan ±、βαtan tan 联系到一块，任一项都能由另两项表示，如)tan tan )(tan(tan tan βαβαβα-+=+1点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦点评：此题主要考查ααcos sin ±与ααcos sin 之间的关系：θθθθcos sin 21)sin (cos 2±=±常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变sin163sin 223sin 253sin313+=_____；常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意 根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。

三角函数的图象与性质说明：（1）伸缩变换不会改变ϕ的值，只是将x 变为x ω；（2）若ω相同，就不用做伸缩变换，若ω不同，就一定要做伸缩变换；若ϕ相同，就不用做平移变换，若ϕ不同，就一定要做平移变换；（2）左右平移的量要看发生在自变量x 上的变化。

三．复合函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质 最 值：B A +和B A +-；单调性：若0>ωA ，则正向讨论，即令≤-22ππk ϕω+x 22ππ+≤k ，可求得函数的单调增区间；若0<ωA ，则反向讨论，即令≤+22ππk ϕω+x 232ππ+≤k ，可求得函数的单调增区间周 期：最小正周期是ωπ2=T对称性：函数B x A x f ++=)sin()(ϕω的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令1)sin(0±=+ϕωx ，可求得函数)(x f 的所有对称轴0x x =； 令0)sin(0=+ϕωx ，可求得函数)(x f 的所有对称中心),(0B x点拨：三角函数的值域、最值求法（1）b x a y +=sin (或b x a y +=cos )型：利用三角函数的有界性；（2）x b x a y cos sin +=型：利用幅角公式转化为)sin(ϕω+=x A y 形式，再利用有界性； （3）c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束；（4）d x c bx a y ++=sin sin 型：分离常数，利用三角函数的有界性（5）dx c bx a y ++=cos sin 型：数形结合法，这里用到直线斜率的几何意义，也可用纯代数法求法（6）c x x b x x a y +⋅+±=cos sin )cos (sin 型：换元t x x =±cos sin ，要注意变量t 的范围点拨：（1）利用降幂公式、幅角公式把已知函数转化为B x A y ++=)sin(ϕω形式，从而得到周期； （2）根据图象变换知识画出函数图象可以直观得到函数周期。

13.已知函数()sin(),(9,0,||,)2f x A ax A x R πϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）当2[6,]3x ∈--时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值。

解三角形例题精讲___________条件点评：最大角决定三角形的形状，由余弦定理得，较小两边的平方和与最大边的平方的差决定最大角是锐角、直角和钝角。

点评：与三角形形状相关的几个结论:（1）在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形（2）在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆为等边三角形 （3）在ABC ∆中，若C c A b B a sin cos cos =+，则ABC ∆为直角三角形（4）在ABC ∆中，若C B C B A sin sin )cos (cos sin +=+，则ABC ∆为直角三角形c2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为 （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）32.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是3.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A 、10 B 、10 C 、10 D 、155.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.2 B. 2 C. 12 D. 12-6.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C （D ）347.已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 2- (C) 2(D) 1 8.若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 129.函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ．10.在ABC ∆中，若CB A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 11.设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）252413.已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) （B ）二、填空题14.函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .15.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．16.在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=41-，则b=_______。