最优组合比例的计算
最优投资组合--马科维茨投资组合理论
最优投资组合--马科维茨投资组合理论<代码已经过期，其中爬⾍链接已经失效>⼀：马科维茨投资组合理论投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。
投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。
投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。
⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。
投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。
其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。
⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。
所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。
⼆：求解最优投资组合过程本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。
利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：本⽂实现最优投资组合的主要步骤：1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益2：得到标准差最⼩时的期望收益3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。
4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重三：实证数据⽤例：1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）stocks=['601166', #兴业银⾏'600004', #⽩云机场'300099', #精准信息'601328', #交通银⾏'601318', #中国平安'601398', #中设股份'000333', #美的集团'600036', #招商银⾏'600016', #民⽣银⾏'601818'] #光⼤银⾏1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）revs=np.log(data/data.shift(1))3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：4：最优投资组合步骤：4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益def max_sharpe(weights):return -getPortfolioInformation(weights)[2]opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+000.00000000e+00 5.15579333e-16]# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化def min_variance(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]4.3：获取有效边界4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：def min_sd(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1]tvols = []infor_min_sd=[]#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：for tret in trets:cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差tvols = np.array(tvols)ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段evols = tvols[:ind_min_sd]erets = trets[:ind_min_sd]tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)x2 = sci.splev(y2, tck)evols = tvols[ind_min_sd:]erets = trets[ind_min_sd:]tck = sci.splrep(evols, erets)x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)y3 = sci.splev(x3, tck)plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()结果显⽰如下4.3.2：获取有效边界曲线图：plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML5.1： B-Spline样条曲线的参数tck = sci.splrep(evols, erets)5.2： B-Spline样条曲线函数def f(x):return sci.splev(x, tck, der=0)5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数def df(x):return sci.splev(x, tck, der=1)5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00def fun(x, risk_free_return=0.00):e1 = risk_free_return - x[0]e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])e3 = x[1] - df(x[2])return e1, e2, e35.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zoneX = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])plt.figure(figsize=(12, 6))#圆点为随机资产组合plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)#带⼊公式a+b*x求得y,作图plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)plt.grid(True)plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.xlabel('expected volatility')plt.ylabel('expected return')plt.colorbar(label='Sharpe ratio')plt.show()#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)结果图如下：6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：rev_result=f(X[2])flag=0temp=abs(trets[0]-rev_result)length=len(trets)for i in range(1,length):if abs(trets[i]-rev_result)<temp:temp=trets[i]-rev_resultflag=iweight_result=infor_min_sd[flag]['x']all=0 #最终为 1.0for i in range(10):all=all+weight_result[i]print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]故最终投资股票是：0.04802 #⽩云机场0.85880 #交通银⾏0.09318 #民⽣银⾏。
4.6-4.7最优生产要素组合
F（K，L） （K） L） 2K L F（K，L） 2 （
所以，该企业规模收益不变。
1 2
1 2
1 2
1 2
• （2）企业利润最大时，企业处于均衡状态，满足均衡 MPL 条件
MRTS LK MPK
1
1
r
1 1
所以：
1 1 2 2 2 2 MPL K L ，MPK K L 2 2 MPL K MPK L r
练习题
1、若厂商总成本为24元，由AB 可知L、K的价格为何？ 2、生产20单位的产量的最低成 本是多少？ 3、其最优要素组合是什么？ 4、等成本线由AB平行移到CD， 表明总成本由24元增至多少？ 5、如果有效使用32元成本，则 产量应为多少？（大约） 6、在E点上，MRTSLK是多少？ 7、是规模递增、递减或不变？ 8、这个函数一定是固定比例生 产函数吗？ K
1、等斜线——S线
等斜线是一组等产量线中两种要素的边际技术替代
率相等的点的轨迹。
K
C B A
S
Q3 Q2 Q1
L
O
2、扩展线 在生产要素价格、生产技术不变的条件下，当生产成本或者 产量变化时，会形成一系列不同的生产均衡点，这些均衡点的 轨迹就是扩展线。
-----扩展线一定是等斜线。 ----扩展线表示的是企业进行长期生产计划时必须遵循的路线。 K
C3 C2 C1
C
B
N
Q3 Q2 Q1
0
L
练习
• 已知某企业的生产函数为Q=L2/3 K1/3，劳动的价 格W=2，资本的价格r=1，求： （1）当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L、 K和Q的均衡值？ （2）当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L、K 和C的均衡值？
投资学基础讲义 第7章 最优风险资产组合
第7章最优风险资产组合7.1分散化与组合风险•投资组合的风险来源：·来自一般经济状况的风险(系统风险)·特别因素风险(非系统风险) 图7.1 组合风险关于股票数量的函数图7.2 组合分散化7.2 两个风险资产的组合设某一风险资产组合P 由长期债券组合D 和股票基金E 组成2222222222()()() 2(,)(,)211P D D E E P D D E E D E D E D E DE D E P D D E E D E D E DEDE E r w E r w E r w w w w Cov r r Cov r r w w w w σσσρσσσσσσσρρ=+=++=⇒=++-≤≤Q 则有：又：∴ρ越大，组合P 的方差越大 三个风险资产的组合112233()()()()p E r w E r w E r w E r =++2222222112233121,2131,3232,3222p w w w w w w w w w σσσσσσσ=+++++分散化的效果：如果协方差为负，组合的方差会降低，即使协方差为正，组合的标准差依然低于两个证券标准差的加权平均，除非两个证券是完全正相关221() DE P D D E E P D D E Ew w w w ρσσσσσσ==+=+若，则有：即：结论：ρ=1时组合P 的风险就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均。
221() -0,1DE P D D E E P D D E E D D E E E DD E D D E D Ew w w w w w w w w ρσσσσσσσσσσσσσσ=-=-=-=⇒==-=++若，则有：即：令结论：ρ=-1组合P 的风险可降至零11 1DE P D D E Ew w P ρσσσρ-<<<+<若，则有：结论：时组合的风险可有一定程度降低表7-1两个共同基金的描述性统计表7.2 不同相关系数下的期望收益与标准差图7.3组合期望收益关于投资比例的函数图7.4 组合标准差关于投资比例的函数最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低。
最优要素组合计算题
最优要素组合计算题若市场需求曲线为Q=120-5P,求价格P=4时需求价格的点弹性并说明怎样调整价格才能使得总收益增加。
解:当价格P=4时,需求量Q=100。
根据需求价格弹性系数的定义有Ea=-dQ/dPxP/Q=5x4/100=0.2由于价格弹性系数小于1,即缺乏弹性故提高价格会使得总收益增加。
已知厂商的生产函数为Y=10L-3L2,其中L为雇用工人数。
求:①厂商限定劳动投入量的合理区域?②若企业生产的产品价格P=5,现行工资率r=10,企业应雇用多少工人?解:①由生产函数可以求得厂商的平均产量和边际产量APl=(10L-3L2)/L=10-3L(1)MPL=10-6L(2)当平均产量与边际产量相交,即APL=MPL时,决定最低的劳动投入量:将(1)、(2)代入,10-3L=10-6L得L=0当边际产量为零,即MP:=0时,决定劳动投入量的最大值:10-6L=0得L=5/3可见,该厂商的合理投入区为[0,5/3]。
②厂商雇用劳动的最优条件为10-6L=0得L=5/3可见,该厂商的合理投入区为[0,5/3]。
②商雇用劳动的最优条件为PxMPL=n 5(10-6L)=10 L=4/3即劳动的最优投入量为4/3个单位32厂商的生产函数为Y=24L/2K2/3,生产要素L和K的价格分别为n=1和rk=2。
求:①厂商的最优生产要素组合?②如果资本的数量K=27.厂商的短期成本函数?③厂商的长期成本函数?解:①根据生产要素最优组合的条件MPU/n=MPk/rK得(12L 1/2K23)/1=(16L1/2K-2/3)/2得2L=3K,即为劳动与资本最优组合。
②短期成本函数由”下列二方程组所决定:y=f(L,K)c=rL+rxK即y=24L1/2x272/3 c=L+2x27解得c=(y/216)2+54③长期成本函数由下列三条件方程组所决定:y=f(L,K)c=rL+rxK MP/n=MPk/rk即y=24L1/2K2/3 c=L+2K2L=3K从生产函数和最优组合这两个方程中求得L=y6/7/15362/7和K=(2/3)x(y6/7/153627)代入到第二个方程中得到厂商的成本函数为c=5/(3x153627)xy6/7。
实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策
实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel 应用。
二、预备知识（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。
（二）实验理论预备知识现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。
该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。
投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。
该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。
1、理论假设（Ⅰ）市场上存在n ≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。
{}12(,,,)T n ωωωωω=,代表投资到这n 种资产上的财富（投资资金）相对份额，它是n 维列向量，有11=∑=ni i ω，允许0<i ω，即卖空不受限制。
(Ⅱ) 用e 表示所有由n 种风险资产的期望收益率组成的列向量。
12(,,,)T n e R R R R == （1）p r 表示资产组合的收益率，)(p r E 和)(p r σ分别为资产组合p 的期望收益率和收益率标准差。
∑=⋅=⋅=ni ii Tp e r E 1)(μωω (2)(Ⅲ)假设n 种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。
)。
这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=nn n n n n Q σσσσσσσσσ212222111211 （3）由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n 维列向量a ,都有0T a Qa >。
C4-投资组合分析
3.适度组合规模的实证研究
（1）Evans & Archer(JOF,1968)的研究：适度组合规模≈ 16。
（2）Wagner & Lau( FAJ,1971)的研究： （a）适度组合规模≈ 15，超过15并不能显著降低组合风险；
简单组合的收益和风险（1960.6－1970.5）
（b）证券等级越高（低风险），组合风险越低，收益越低；反之， 证券等级越低（高风险），组合风险越高，收益越高。 不同等级证券组合的收益和风险（Ｋ＝２０）
二、投资组合理论的意义 1、理论价值
（1）提供解决投资最优组合选择的科学理论和方法； （2）为资产定价模型（CAPM）提供重要的理论基础。
2、应用价值
（1）资产组合管理（如基金管理）的“圣经”； （2）基金管理立法的依据：规定基金的持股比例； 《证券投资基金管理暂行办法》（1997，11） 《关于加强证券投资基金监管有关问题通知》
k
k
k
四、传统投资组合分析——简单投资组合
1.传统投资组合的问题——过度与适度组合规模
（1）扩大组合规模有助于减少组合风险，但当组合规模达到一 定规模时，组合风险趋于稳定，不再继续下降。
（2）组合的管理成本（信息费用、交易费用等）随组合规模的 扩大而增加。
2.适度组合规模原理—— 寻求“最优”的组合规模
按EP分组所得的组合风险与规模关系图 按EP分组所得的组合收益与规模关系图
（组合收益的分组效应不显著）
<4>DP: 不发股利公司的股票组合的系统性风险最高，收益率也 最高；高DP组合的系统性风险最低，但其收益率处于中等水平而 不是最低。
按DP分组所得的组合风险与规模关系图 按DP分组所得的组合收益与规模关系图
管理经济学_3 四川大学
《管 理 经 济 学》 刘 馨
6
短期：至少一种投入要素是固定的时间框架。 长期：所有的投入要素都是变动的时间框架。 短期——研究的是某种投入要素变动的收益率。 长期——研究的是厂商生产规模的收益率。
对企业来说，短期与长期不是绝对的，而是 相对的概念。
《管 理 经 济 学》 刘 馨
7
实例：
《管 理 经 济 学》 刘 馨
23
生产的三个阶段:
TP A y=y1 O AP MP AP O L L 1 2 L3 K L L1 边际产量曲线的最高点 L2 平均产量曲线的最高点 L3 边际产量曲线的0值点 一阶段：0~L1 MP递增 二阶段：L1~L3 MP递减 三阶段：L3~ MP为负
L MP 合理的生产区域：L2~L3
《管 理 经 济 学》 刘 馨
40
二、等成本曲线
等成本线：在一定的要素价格上，代 表具有相同成本水平的所有要素组合。 设企业支付金额为C0，PLL+PKK=C0 PL代表劳动价格，PK代表资本价格。 K=C0/PK - PL /PK * L
《管 理 经 济 学》 刘 馨
41
实例：生产2000吨饮料需要耗费生产成本M万元，分别 用于固定资产折旧和可变成本消耗， 即 M＝K· k +L· L 于是 K＝M/ Pk L=M / PL P P 然后将K点和L点连接起来，就是生产成本线A。
《管 理 经 济 学》 刘 馨
12
问题：
根据以上的分析，企业准备调整有限资 源在这三种产品上的分配，应该如何调整？
《管 理 经 济 学》 刘 馨
13
四、技术进步
考虑技术进步的生产函数：
组合权重计算公式的
组合权重计算公式的组合权重计算公式及其应用。
在金融学和投资领域，组合权重计算公式是一个非常重要的概念。
它可以帮助投资者确定在不同资产之间分配资金的比例，从而最大化投资组合的收益或者降低风险。
本文将介绍组合权重计算公式的基本概念，以及其在投资组合管理中的应用。
首先，我们来看一下组合权重的定义。
组合权重是指在一个投资组合中，每种资产所占的比例。
通常用百分比来表示，比如某种股票在一个投资组合中所占的比例是30%。
组合权重的计算公式是：W = (V / P) 100%。
其中，W是某种资产的权重，V是该资产的价值，P是整个投资组合的总价值。
这个公式可以帮助投资者确定在不同资产之间分配资金的比例，从而达到他们的投资目标。
在实际的投资组合管理中，组合权重计算公式有着广泛的应用。
首先，它可以帮助投资者确定资产配置的比例。
资产配置是指在不同资产类别之间分配资金的比例，比如股票、债券、房地产等。
通过使用组合权重计算公式，投资者可以确定每种资产在投资组合中的比例，从而实现更好的风险控制和收益最大化。
其次，组合权重计算公式还可以用于确定投资组合的风险水平。
不同资产有着不同的风险水平，通过计算每种资产在投资组合中的权重，投资者可以了解整个投资组合的风险水平。
这对于投资者来说非常重要，因为他们需要根据自己的风险偏好来确定投资组合的风险水平。
此外，组合权重计算公式还可以帮助投资者进行投资组合的优化。
通过调整不同资产在投资组合中的权重，投资者可以实现风险和收益之间的平衡，从而实现投资组合的最优化。
这对于那些追求更高收益或者更低风险的投资者来说，都是非常有帮助的。
最后，组合权重计算公式还可以用于监督和调整投资组合。
随着市场的变化，投资组合的权重也会发生变化。
通过定期使用组合权重计算公式，投资者可以监督投资组合的变化，并且及时进行调整，以适应市场的变化。
总之，组合权重计算公式是投资组合管理中非常重要的工具。
它可以帮助投资者确定在不同资产之间分配资金的比例，从而实现更好的风险控制和收益最大化。
组合优化及算法
背包问题
• 给定n个容积分别为ai，价值分别为ci的物 品.设有一个容积为b的背包，如何以最大 的价值装包？
平行机排序问题
• M个完全相同的机器，n个相互独立的工件， 加工时间互不相同，每个工件只需在任一 台机器上不中断建工一次，如果安排加工 方案，才能使预定的加工时间最短？
定义 若存在一个多项式函数g(x)和一个验证算法H，对一类判 定问题A的任何一个“是” 实例I，都存在一个字符串S是I的 可行解，满足其输入长度d(S)不超过g(d(I))，其中d(I)为I的输 入长度，且算法H验证S为实例I的可行解的计算时间f(H)不超 过g(d(I))，则称判定问题A是非确定多项式的。
计算复杂性的概念
多项式时间算法 例 构造算法将n个自然数从小到大排列起来
算法 输入自然数a(1),a(2),…,a(n). for (i=1;i<n;i++) for (j=i+1;j<=n;j++) if (a(i)>a(j)){ k=a(i);a(i)=a(j);a(j)=k; }
基本运算的总次数(最坏情形）：2n(n-1)=O(n2)
例 线性规划问题(LP)的判定形式——LP判定问题：
给定一个实数值z，(LP)是否有可行解使其目标值不超过z？ 即：给定z，是否有 {x|cT x z, Ax b, x 0}?
对任何一个优化问题， 可以考虑其三种形式：
最优化形式（原形：最优解） 计值形式（最优值）
难度降低
判定形式（上界）
就有效算法的存在性而言，通常认为三种形式等价！
算法 – 定义
定义：算法是指一步步求解问题的通用程序，它是 解决问题的程序步骤的一个清晰描述.
3第三讲 最优风险资产组合
这种偏差来自于证券分析的差异。如果证券分析质量很差，那 么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于用低质量证 券分析生成的资本配置线（垃圾进-垃圾出）
最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正 的竞争在于证券分析精确性上的角逐
分散化的威力
因为
2 P
wi w jCov(ri , rj )
构造拉格朗日函数
n n 1 n n L wi w j Cov(ri , rj ) ( wi E (ri ) E (rp )) ( wi 1) 2 i 1 j 1 i 1 i 1
然后对每个变量wi求导，并令导数值等于0
w Cov(r , r ) E (r ) 0(i 1, 2, , n)
风险资产的最小方差边界
马科维茨模型
min s.t.
1 n n wi w j Cov(ri , rj ) 2 i 1 j 1
w E (r ) E (r )
i 1 n i i p
n
w 1
i 1 i
方差前面的系数1/2只是为了计算方便而已，它使得最后得出的 结果更加整齐
马科维茨模型（续）
卖出更多的保险意味着增加风险投资的头寸，当投资于更多收 益不相关的资产时，夏普比率升高，但是因为风险资产比例上 升，整体风险也会上升
保险原理（续）
保险原理解释为“风险集合后损失的概率会降低”，从数学上是 正确的，因为夏普比率上升，但是将损失概率的降低和总风险 的降低混为一谈却是错误的
风险共享
马科维茨资产组合选择模型是组合管理的第一步：确认有效的 组合集，即风险资产有效边界
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最优组合比例的计算
最优组合比例是指在给定的资产组合中，通过权衡不同资产的比例，使得投资者可以获得最大的预期收益或最小的风险。
计算最优组合比例是投资组合理论的重要内容，对投资者在构建投资组合时具有指导意义。
下面将从资产选择和组合权重两个方面介绍最优组合比例的计算方法。
首先，资产选择是构建投资组合的第一步。
在资产选择时，投资者需要考虑不同资产的预期收益和风险，并确保资产之间的相关性较低，以达到资产组合的多元化。
常见的资产类别包括股票、债券、黄金和房地产等。
投资者通常可以通过查阅历史数据、分析资产基本面和技术面等方法来评估不同资产的预期收益和风险。
在资产选择时，投资者也可以引入有效前沿理论，根据不同资产之间的预期收益和风险构建有效前沿曲线，以辅助最优组合比例的计算。
其次，组合权重是计算最优组合比例的核心内容。
通常可以使用均值-方差模型来计算最优组合比例。
均值-方差模型基于假设，即资本市场中的投资者追求的是预期收益最大、风险最小的投资组合。
根
据这一假设，均值-方差模型通过计算资产的预期收益、方差和协方差来评估不同组合的预期收益和风险。
常见的均值-方差模型包括马克维茨模型和一些衍生模型。
马克维茨模型是投资组合理论的重要基础，它通过最小方差求解方法来计算最优组合的比例。
该方法的基本思想是，通过权衡预期收益和风险来选择不同资产的比例，使得组合的方差最小。
具体步骤包括以下几个方面：
1.收集资产的历史数据，包括预期收益率和协方差矩阵，协方差矩阵可用来度量资产之间的相关性。
2.计算资产的预期收益率和方差，可以使用历史数据的均值和标准差来近似计算。
3.构建有效边界，即通过不同比例的资产组合计算出不同组合的预期收益和方差。
有效边界上的组合是预期收益最大、方差最小的组合，构成最优组合比例。
4.通过选择最优组合比例，构建最优投资组合。
需要注意的是，马克维茨模型的计算方法存在一定的局限性。
首先，它基于正态分布假设，即资产收益率符合正态分布。
然而，实际市场中的资产收益率往往并不满足正态分布的假设。
其次，协方差矩阵的计算也具有一定的不确定性，特别是在样本数据有限的情况下。
因此，在实际应用中，投资者需要根据实际情况进行适当的修正和调整。
总之，最优组合比例的计算是投资组合理论的重要内容，它通过资产选择和组合权重的计算来帮助投资者构建最优的投资组合。
投资者可以根据资料分析和均值-方差模型等方法进行计算，并在实际操作中灵活调整。
同时，投资者也应该意识到最优组合比例的计算方法存在一定的局限性，需要根据实际情况进行适当的修正和调整。