2022年中考数学专题复习：解直角三角形的应用题 精选(word版、无答案)
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
精品_九年级数学中考大题_解直角三角形应用
中考数学大题--解直角三角形应用1.如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁,一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?2.如图,某风景区内有一古塔AB,在塔的北面有一建筑物,冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，•此时塔在建筑物的墙上留下了高3•米的影子CD ；而在春分日正午光线与地面的夹角是450，此时塔尖A 在地面上的影子E•与墙角C 有15米的距离（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度（结果保留根号）3.如图,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为600，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为450,两栋楼之间的距离为30m ，求电梯楼的高BC 为多少米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈ 732.13≈）4.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为600.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米．(i=1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)5.如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为450,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)6.如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)7.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为600，铁塔底部B的仰角为450．已知塔高AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0.1m，3≈1.732）．8.如图,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数据计算回答:小敏身高1.78米,她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米,他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）9.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中,AB⊥BD,∠BAD=18o，C在BD上,BC=0.5m.根据规定:地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.（结果精确到0.1m）参考数据：Sin180=0.31,Cos180=0.95,tan180=0.325新10.一中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时,测量朝西教学楼前的旗杆AB 的高度.如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的坪地C 处，测得影长CE=2m ，DE=4m ，BD=20m ，DE 与地面的夹角为α=300．在同一时刻，测得一根长为1m 的直立竹竿的影长恰为4m ．•根据这些数据求旗杆AB 的高度．（可能用到的数据：2≈1.414,3≈1.732，结果保留两个有效数字）11.如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼.甲船以每小时215千米的速度沿西偏北30°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。
微专题10 解直角三角形实际应用之四大模型++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
原型
【等量关系】BC为公共边
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变式
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
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【针对训练】
8.(2024·江西中考)图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建
筑,其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图2,“大碗”的主
2.(2024·济宁三模)如图,已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2,如果它把物
3
体送到离地面3米高的地方,那么物体所经过的路程为_________米.
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3.(2024·淄博二模)如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠
在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面
∠AFE=58°,BF的延长线交AD于点E,求建筑物AD的高度(结果保留小数点后一
位).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
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【解析】根据题意可知四边形BEDC是矩形,
∴DE=BC=1.5 m.
∵tan∠ABE= ,tan∠AFE= ,
尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
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(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索OA的长度;
(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放,秋千摆动到另一侧与竖
直方向夹角为β的地方OA″,两次位置的高度差PQ=h.根据上述条件能否求出秋千
绳索OA的长度?如果能,请用含α,β和h的式子表示;如果不能,请说明理由.
2023 年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用 解答专题提升训练题(含答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答专题提升训练题（附答案）1．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳篷，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳篷．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳篷，且AB＝1.5m，遮阳篷与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳篷的宽度CD．2．万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）3．海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．（1）求ME的长；（2）转动AP，当∠P AC＝53°时，①求点C的上升高度；②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）4．大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B'处，请人不断测量他的影子B'C'．当他的影子B'C'和身高A'B'相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A 与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上．聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．5．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？6．如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC；（2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD；（3）在BC上取一点P，使tan∠BAP＝．7．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）8．如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）9．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，两条等长的钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量∠BAC＝100°，车位锁的底盒BC＝60cm．（1）求AB的长；（结果精确到0.1）（2）若一辆汽车的底盘高度为26cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan，40°≈0.84）10．图1是某校花的警示牌，可近似地看成由一个正方形和矩形拼接而成．现将其简化抽象成图2，量得正方形ABCD的边长为40cm，矩形EFGH的边FG＝AB，EF＝16cm．（1）连接BF，CG，直接写出BF与CG的关系：；（2）若点D到点G所在的水平线的垂线段为DM，点E为BC的中点，∠HGM＝50°，求点A到直线GM的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）11．图1是货物传送机械上的一种翻转装置，它可以使物体在传送带上实现翻转．图2是其截面简化示意图，已知连杆OA＝50cm，载物直角面A﹣B﹣C中∠ABC＝90°，其中点O固定，点B在水平杆OM上左右滑动，AB＝BC＝30cm．当载物面BC与水平杆OM重合时为初始位置，载物面BC与水平杆OM垂直时完成翻转．（1）直接写出点B与点O的之间距离d的取值范围是；（2）当点B由初始位置向右滑动10cm时，求载物面BC与水平杆OM的夹角∠CBM的（结果精确到0.1°，参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.18．）度数．12．如图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA＝OB＝OC＝20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM＝60m．（1）在图2中，若∠BOM＝20°，则∠COM的度数为，点B到地面的距离可表示为；（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数）13．如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知DE，DC在初始位置，DE＝DC＝60cm，点B、C、G在同一直线上，AB⊥BG，∠A＝46°，∠DCG＝95°．（1）当DE，DC在初始位置时，求点D到AC的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点E，D分别从初始位置运动到点E'，D'，假设E'、D'、C 三点共线，求此时点E上升的竖直高度．（结果保留整数）（参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97）14．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝28cm，面板DE＝28cm，若DE始终与AB平行．（1）直接写出∠ABC，∠BCD，∠CDE之间的数量关系；（2）若∠ABC＝∠BCD＝∠CDE，电脑显示屏宽EF＝26cm，且∠DEF＝105°，求笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）15．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）16．道闸杆，在生活中很常见．又称为八角杆，经过铝合金挤压成型．后经喷涂，贴红色反光膜而成．主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站．停车场、小区等．用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆．也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆CD平行于地面且距离地面的高度BC为1米．（1）一辆长是4.20米．宽是180米高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路AB 的中心线进入停车场．则道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杆落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．17．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．18．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．20．小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现：我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，楼房的影子会最长，如果这一天正午有太阳照射，那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层，层高3米，南、北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你，你将建议父母选择第几（该市区所在纬度约是32.5°N，冬至日的正午太阳高度角为90°层以上？说明你的理由．﹣32.5°﹣23.5°＝34°，sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y＝﹣60（n﹣15）2+16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元，请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．参考答案1．解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．2．解：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．3．解：（1）由图1可知，P A＝AB＝10（cm），图3中，PG＝PC＝40（cm），∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），∴ME的长为20cm；（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．∵∠A＝53°，AP＝10cm，∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．∴．∴AC＝45.2cm，∴C上升了4.8cm．②根据题意如图：当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：DF＝（cm），∵C上升了4.8cm，∴FS＝4.8cm，∴EF＝（cm），∵EH∥DI，∴△FES∽△FDT，∴，∴，∴DT≈7.7cm，由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），∴点D与点I之间的距离为19.4cm．4．解：∵金字塔正方形底座的边长为230米，∴0B＝＝115（米），∴OA＝0B+AB＝115+22.2＝137.2（米），根据题意可得Rt△AOP是等腰直角三角形，∴OA＝PO＝137.2米．答：该金字塔的高度为137.2米．5．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．6．解：（1）如图，线段AC即为所求．（2）如图，点E即为所求．（3）如图，点P即为所求．7．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，在Rt△BCT中，BT＝BC•sin50°≈61.6（cm），∵EG＝170×0.6＝102cm，∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），∵四边形DHTG是矩形，∴DH＝GT＝10.4（cm），在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）答：AD的长约为12.0cm．8．解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．过点A作AH⊥OF，垂足为点H．在Rt△OAD中，∵sin∠AOD＝，∴AD＝AO⋅sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．同理可得OD＝16（cm）．由OB＝7，得BD＝9（cm）．在Rt△ABD中，．答：窗钩AB的长度约等于15cm．9．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，BC＝60cm，∴BH＝HC＝BC＝30（cm），在Rt△ABH中，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，∴AB＝≈≈38.9（cm）；（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin40°≈38.9×0.64＝24.896（cm），∴24.896＜26，∴当车位锁上锁时，这辆汽车能进入该车位．10．解：（1）如图1中，结论：BF＝CG，BF∥CG．理由：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∵AB＝FG，∴FG＝BC，FG∥BC，∴四边形BCGF是平行四边形，∴BF＝CG，BF∥CG．故答案为：BF＝CG，BF∥CG．（2）如图2中，过点A作AW⊥GM于W，过点D作DQ⊥AW于Q，过点C作CT⊥DM于T，过点H作HJ⊥GM于J，交CT于K．∵BE＝EC＝20cm，BC＝EH＝40cm，∴CH＝20（cm），在Rt△HGJ中，HJ＝GH•sin50°≈12.26（cm），在Rt△CKH中，KH＝CH•cos50°≈12.86（cm），在Rt△CDT中，DT＝CD•sin50°≈30.64（cm），在Rt△AQD中，AQ＝AD•cos50°≈25.72（cm），∵四边形DQWM，四边形MTKJ都是矩形，∴QW＝DM，TM＝JK＝HJ+KH，∴QW＝DM＝DT+KH+HJ＝12.26+12.86+30.64＝55.76（cm），∴AW＝AQ+QW＝55.76+25.72≈81.5（cm）．11．解：（1）初始位置时，∠ABO＝90°，故OB＝，完成翻转时，OB＝OA+AB＝80，∴40≤d≤80，故答案为40≤d≤80；（2）由（1）知，初始位置时OB＝40cm，所以向右滑动10cm时，OB＝50cm，如图，作AH⊥OM，垂足为H，设HB＝xcm，∵OA2﹣OH2＝AB2﹣HB2＝AH2，∴502﹣（50﹣x）2＝302﹣x2，解得：x＝9，∴，∴∠ABH≈72.5°，∴∠CBM＝90°﹣72.5°＝17.5°．12．解：（1）∵∠BOC＝120°，∠BOM＝20°，∴∠COM＝∠BOC﹣∠COM＝120°﹣20°＝100°，过点B作OM的垂线，交OM于点E，在Rt△OBE中，OB＝20m，∴OE＝OB•cos∠BOE＝20cos20°，∴EM＝OM﹣OE＝60﹣20cos20°，故答案为：100°，60﹣20cos20°；（2）如图，当风车的三个叶片顺时针旋转90°后，∠AOM＝130°，∠BOM＝110°，∠COM＝10°，∴此时点A最高，过点A作AD⊥MO，交MO的延长线于点D，则∠AOD＝180°﹣∠AOM＝50°，在Rt△AOD中，，即OD＝20×cos50°≈12.86（m），∴DM＝12.86+60≈72.9（m），∴风车最高点到地面的距离约为72.9m．13．解：（1）如图2中，过点D作DH⊥AC于H．∵∠B＝90°，∠A＝46°，∴∠ACB＝44°，∴∠DCH＝180°﹣∠ACB﹣∠DCG＝41°，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin41°＝60×0.66≈40（cm），∴点D到AC的距离为40cm．（2）如图3中，过点D作DH⊥AC于H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝CD•cos41°＝60×0.75≈45（cm），∵CE′＝120cm，EC＝90cm，∴时点E上升的竖直高度＝（120﹣90）•sin44°≈21（cm）．14．解：（1）如图2﹣1中，结论：∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°．理由：过点C作CT∥DE，∵AB∥DE，∴CT∥AB∥DE，∴∠CDE+∠DCT＝180°，∠ABC+∠BCT＝180°，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE＝∠ABC+∠BCT+∠DCT+∠CDE＝360°．（2）如图2﹣2中，连接BD，过点C作CJ⊥BD于J，过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FT⊥HE交HE的延长线于T．∵CD＝CB，∠BCD＝120°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∵∠CDE＝∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∵EH⊥AB，∴∠BHE＝90°，∴四边形BDEH是矩形，∴EH＝BD＝2DJ＝2•CD•cos30°＝28≈48.44（cm），在Rt△EFT中，∠FET＝105°﹣90°＝15°，∴TE＝EF•cos15°＝26×0.97≈25.43（cm），∴TH＝TE+EH＝48.44+25.43≈73.9（cm）．∴笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离为73.9cm．15．解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG＝x米，由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝x（米），∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米），在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，即EG＝，∴x﹣7.7＝，解得：x＝，∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）．16．解：（1）如图，点E为AB的中点，则BE＝AB＝1.5米，在BE上取点F，使EF＝0.9米，则BF＝BE﹣EF＝1.5﹣0.9＝0.6（米），过点F作FP⊥AB，交DC为点H，在FP上截取FG＝1.80米，则四边形HFBC是矩形，故有HF＝BC＝1米，∴HG＝FG﹣HF＝1.8﹣1＝0.8（米），在Rt△GHC中，HC＝0.6米，HG＝0.8米，∴tan∠CGH＝，∴∠CGH＝37°，即∠GCH＝90°﹣37°＝53°，∴道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转53°，小货车才能安全通过．（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为2x辆，根据题意，得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的根，当x＝6时，2x＝12，答：进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为12辆．17．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．18．解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．19．解：（1）作EH⊥AC于H，则四边形EHCD是矩形，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan71.6°＝3.01xm，在Rt△AHE中，∵tan∠EAC＝，∴CD＝EH＝AH•tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m；（2）设AC＝xm，∵四边形EHCD是矩形，∴DE＝CH＝6m，∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m，∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315，解得：x＝39，∴舰岛AC的高度为：39m．20．解：（1）过点B作BE⊥MF于点E，由题意得，∠ABE＝34°，BE＝60米，∴tan34°＝，即ME＝60×0.7＝42（米），∴BD＝EF＝17×3﹣42＝9（米），9÷3＝3（层），答：至少选择3层以上．（2）由题意得，﹣60（n﹣15）2+16375≤13000，解得n≤7.5，∵当n＝15时，y最大，∵n＞3，∴n可取4，5，6，7，∴可以购买4层到7层的楼房．。
2023年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练+
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）2．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB ＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动．（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2．sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）3．美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽CD．如图所示，小组成员选取的点A，B是桥上的两点，点A，E，C在河岸的同一直线上，且AB⊥AC．若，AE间的距离80米，在B点处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求这段河的宽度CD．（结果保留根号）4．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）5．如图1，将一个直角三角形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．7．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．8．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）9．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）10．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）12．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）13．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）15．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．（1）求BD的长．（2）求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果均取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）16．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）17．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边A 处测得河对岸的同学B恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：．课题测量水城河两岸的宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量方案方案一方案二方案三测量方案示意图测量说明点C，D在点A的正东方向，DE⊥AD．点C，D在点A的正东方向．点C在点A的正西方向，点D在点A的正东方向．测量数据∠ACB＝60°，∠DCE＝30°，CD＝10.2m．∠ACB＝60°∠ADB＝30°，CD＝11.8m．∠ACB＝60°，∠ADB＝30°；CD＝23.5m．（1）哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；（2）请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）参考答案1．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．2．解：（1）①如图，过点C作CF⊥DE于F，过点C、A分别作DE的平行线和垂线相交于点G，在Rt△CDF中，∠CDF＝60°，CD＝70mm，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm），即点C到直线DE的距离为35mm；②当∠DCB＝70°时，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDF＝60°，又∵∠DCB＝70°，∴∠ACG＝180°﹣70°﹣60°＝50°，在Rt△ACG中，AC＝AC﹣BC＝115﹣35＝80（mm），∠ACG＝50°∴AG＝AC•sin50°≈80×0.8＝64（mm），∴点A到直线DE的距离为AG+CF＝64+35≈124（mm）；（2）把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，旋转后的图形如图③所示，在Rt△B′C′D中，B′C′＝35mm，C′D＝CD＝70mm，∴tan∠C′DB′＝＝0.5，又∵tan26.6°≈0.5，∴∠C′DB′＝26.6°，∴∠CDC′＝60°﹣26.6°＝33.4°，故答案为：33.4°．3．解：如图，过点B作BF⊥CD于F，则AB＝CF，AC＝BF，∵，AE＝80米，∴AB＝20米＝CF，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，设DF＝x，则BF＝x＝AC，∴EC＝AC﹣AE＝（x﹣80）米，在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，CD＝（20+x）米，EC＝（x﹣80）米，∵tan60°＝，∴＝，解得，x＝40+10，经检验，x＝40+10是原方程的根，∴DF＝（40+10）米，∴CD＝CF+DF＝（40+30）米，答：这段河的宽度CD的长为（40+30）米．4．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．5．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（厘米），∴BH＝BC﹣HC＝7（厘米）；（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH•tan∠ABC≈7×0.18≈1.26（厘米），答：木桩上升了大约1.26厘米．6．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，∴∠ACB＝∠AGB，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB，∴∠DAB＝∠AGB，∴∠DAB+∠BAG＝90°，∴AD⊥AO，∵OA是半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M，∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°，∵BC∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝45°，∴OM＝OG＝，∴筒车在水面下的最大深度为3﹣≈0.9（m）．7．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．8．解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．9．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．10．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．512．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．13．解：（1）如图，连接AE，过点E作EM⊥AC于M，由题意可知，CF＝100cm＝ME，AC＝170cm，BC＝145cm，EF＝70cm＝MC，∴AM＝170﹣70＝100（cm），在Rt△AEM中，AM＝100cm，ME＝100cm，∴∠MAE＝∠AEM＝45°，∴从启动开始，到小朋友头顶E处感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5（s），答：从启动开始，4.5s小朋友头顶E处感受到空调风；（2）如图，连接BE，则BM＝145﹣70＝75（cm），在Rt△BEM中，∵tan∠BEM＝＝0.75，∴∠BEM＝37°，∴∠MBE＝90°﹣37°＝53°∴小朋友的头顶E处感受到空调风的时长为﹣＝0.8（s），答：小朋友的头顶E处有0.8s的时间感受到空调风；（3）如图，当BE绕着点B旋转到BE′时，所用时间为＝3.7（s），所以该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了时长为0.8+3.7×2＝8.2（s），答：该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了8.2s．14．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．15．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∴BC＝AB＝16cm，∴BD＝BC+CD＝16+84＝100（cm）．（2）作DM⊥BA于点M，DN⊥EF于点N，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，即＝，∴DM＝50，∵∠F＝∠M＝∠DNF＝90°，∴四边形NFMD为矩形，∴NF＝DM＝50，DN∥FM，∴∠NDB＝∠DBM＝60°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDN＝∠BDE﹣∠NDB＝15°，∴在Rt△DEN中，sin∠EDN＝，即sin15°＝，∴EN＝70sin15°，∴EF＝EN+NF＝50+70sin15°≈105（cm）．16．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sin A＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．17．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，则OE＝FG，∠FOE＝90°，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴∠DOE＝∠COD＝30°，∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），∴FG＝OE＝60cm，∵OA⊥OD，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，∴∠AOF＝∠DOE＝30°，在Rt△AOF中，OA＝120cm，∴AF＝OA＝60（cm），∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵OB∥CD，∴∠BOC＝∠OCD＝60°，在Rt△MKO中，OM＝40cm，∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），在Rt△MNK中，MN＝80cm，∴NK＝＝＝20（cm），∵OB＝120cm，∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，在Rt△OML中，∠COD＝60°，∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，∴N′L＝＝＝20（cm），∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，∵OB′＝OB＝120cm，∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．18．解：（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，∴CD与水平地面所成的角的度数为35°，∴∠DCM＝35°，在Rt△DCM中，DC＝15cm，∴CM＝DC•cos35°≈15×0.819≈12.3（cm），∴显示屏所在部分的宽度约为12.3cm；（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，∵CE＝2ED，DC＝15cm，∴CE＝CD＝10（cm），∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝10（cm），∴OA＝CE＝10cm，∵OA∥CE，∴四边形ACEO是平行四边形，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴四边形ACEO是矩形，∴∠ACE＝90°，AC＝OE＝10cm，∵∠DCM＝53°，∴∠ACH＝180°﹣∠ACE﹣∠DCM＝55°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝35°，在Rt△AHC中，AH＝AC•cos35°≈10×0.819＝8.19（cm），∵点C到地面的距离为60cm，∴镜头A到地面的距离＝8.19+60≈68.2（cm），∴镜头A到地面的距离约为68.2cm．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：（1）第一个小组的数据无法计算河宽，理由如下：∵第一小组给出的数据为BD的长，△ABC和△CDE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，∴第二小组的数据无法计算河宽；（2）第二个小组的解法：∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴BC＝CD＝11.8m，∴AB＝BC•sin60°＝11.8×≈10.2（m）．第三个小组的解法：设AB＝xm，则AC＝，AD＝，∴+＝23.5，解得x≈10.2．答：河宽约10.2m．。
中考数学关于解直角三角形的18道经典题
中考数学关于解直角三角形的18道经典题1、如图，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 解：延长CD 交AB 于G ，则CG=12（千米）依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米） 在Rt △PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC ·tan ∠P =3×tan60°=33∴12-CD=12-33≈6.8（千米） 答：这座山的高约为6.8千米.2、如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).答案：(10分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E在Rt △ABE 中,∠BAE= 60, ∴∠ABE= 30 ∴AE ＝21ＡＢ31032021=⨯=∴BE ()()303103202222=-=-=AE AB∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ 45, ∴EF ＝BE ＝30 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈133、施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．参考数据cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95AB12千米P C D G60°（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?解：(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC AB =25.44≈0.94， …………………………………3分 ∴∠D ≈20°． ………………………………………………………………………1分 （2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， ……………………………3分 共需台阶28.9×100÷17=170级． ………………………………………………1分4、在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图， 若 60ABC 10,AC 4,AB =∠==, 求B 、C 两点间的距离.解：过A 点作AD ⊥BC 于点D ， …………1分在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2分 ∵AB=4,∴BD=2, ∴AD=23. …………4分 在Rt △ADC 中，AC=10，∴CD=22AD AC -=12100-=222 . …………5分 ∴BC=2+222 . …………6分 答：B 、C 两点间的距离为2+222. …………7分5、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东NM 东北BCAlCBA17cm（第19题） A BCF60°，且与A相距83的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．答案解：（1）由题意，得∠BAC=90°，………………（1分）∴2240(83)167BC=+=．…………（2分）∴轮船航行的速度为41671273÷=时．……（3分）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，……（6分）∴,DF BDEF CE=∴3220343EFEF+=，∴EF=8．……（7分）∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．6、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)答案（1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1分Rt△ABD中，AD=AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°FEDlAC北东M NABE FQ P ∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分 解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分 在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分7、如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）答案 (1)相等30,6030BEQ BFQ EBF EF BF ∠=∠=∴∠=∴=....................................2分 又6060AF P BFA ∠∠=∴∠=在AEF 与△ABF 中,,EF BF AFE AFB AF AFAFE AFB AE AB=∠=∠=∴≅∴=...........................................................................5分 （2）法一：作AH PQ ⊥，垂足为H 设 AE=x 则AH=xsin74°HE= xcos74° HF=xcos74°+1 ...............................................................................................7分tan60Rt AHF AH HF=中，所以xsin74°=（xcos74°+1）tan60°即0.96x=(0.28x+1)×1.73所以 3.6x≈即AB 3.6km≈法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，因为EF=1, 所以 EG=3在Rt△AEG中376,cos760.24 3.6 AEG AE EG∠==÷=÷≈答: 两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km8、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，AB45°60°C E D∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高． ……………………………………………3分 （2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．…………………………………3分9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．解：∵在Rt △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3 ∴DA ＝3 …………2分 在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°∴tan60°=CAAD∴CA =33 …………4分 ∴BC=CA －BA =(33－3)米答：路况显示牌BC 的高度是(33－3)米 ………………………6分10、永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈，第19题图A45°60°结果保留整数）．解：根据题意，可知45ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，50DC =.在Rt △ABC 中，由45BAC BCA ∠=∠=︒，得BC AB =. 在Rt △ABD 中，由tan ABADB BD∠=， 得3tan tan 60AB AB BD AB ADB ===∠︒. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又 ∵ BC BD DC -=，∴ 350AB AB -=，即(33)150AB -=. ∴ 11833AB =≈-.答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分11、小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．25.连结AN 、BQ∵点A 在点N 的正北方向，点B 在点Q 的正北方向 ∴l AN ⊥ l BQ ⊥--------------------------1分 在Rt △AMN 中：tan ∠AMN=MNAN∴AN=360-----------------------------------------3分 在Rt △BMQ 中：tan ∠BMQ=MQBQ∴BQ=330----------------------------------------5分 过B 作BE ⊥AN 于点E 则：BE=NQ=30∴AE= AN －BQ -----------------------------------8分 在Rt △ABE 中,由勾股定理得：222BE AE AB +=22230)330(+=AB∴AB=60（米）12、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直.已知装饰画的高度AD 为0.66米， 求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到1°）；⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC （精确到0.01米）.解：⑴ ∵AD ＝0.66，∴AE ＝21CD ＝0.33. 在Rt △ABE 中，………………1分 ∵sin ∠ABE ＝AB AE ＝6.133.0， ∴∠ABE ≈12°. ………………4分∵∠CAD ＋∠DAB ＝90°，∠ABE ＋∠DAB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠ABE ＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12°. ………………5分 ⑵ 解法一：在Rt △∠ABE 中， ∵sin ∠CAD ＝ADCD， ∴CD ＝AD ·sin ∠CAD ＝0.66×sin12°≈0.14. ………………7分ACD EBABCD第19题图解法二： ∵∠CAD ＝∠ABE ， ∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∴△ACD ∽△BEA. ………………6分 ∴AB ADAE CD =. ∴6.166.033.0=CD . ∴CD ≈0.14. ………………7分∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是0.14米.………………8分13、如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第23题图解：过M 作MN ⊥AC ，此时MN 最小，AN ＝1500米1、（2010山东济南）图所示，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC 3求线段AD 的长．解：∵△ABC 中，∠C =90º，∠B =30º，∴∠BAC =60º，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD =30º， ··················· 1分 ∴在Rt △ADC 中，cos30ACAD =︒············· 2分=3×3··········· 3分=2 . ·············· 4分14、热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）答案： 解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点 ……………1分由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD =60°, AD = 60m在Rt △ACD 中，∠CAD = 45°, AD ⊥BC∴ CD = AD = 60 ……………………3分 在Rt △ABD 中，∵BDtan BAD AD∠=……………………4分 ∴ BD = AD ·tan ∠BAD= 603 ……………………5分∴BC = CD+BD= 60+603 ……………………6分≈ 163.9 (m) …………………7分答：这栋高楼约有163.9m ． …………………8分 （本题其它解法参照此标准给分）15、如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并PD CBA求出最大值．22．（1）在Rt ABC ∆中，5sin B =，25AB =， 得5AC AB =，∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =． …… 3分（2）∵PD ∥AB ，∴ABC ∆∽DPC ∆，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则12DC x =，122AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ∆=⋅=-⋅=-+=--+ ∴当2x =时，y 的最大值是1． ……… 8分16、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）答案：解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=， 则34AD x=， ∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° = BD CD， 则1110BD x=， ∴1110BD x =. ∵AD ＋BD = AB ， B37° 48° D CA 第19题图∴31180 410x x+=．解得：x≈43．17、在市政府广场进行了热气球飞行表演，如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan,80.037cos,60.037sin≈︒≈︒≈︒73.13≈）解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=31233660tan==︒CD≈20.76．……5分在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=37tan⨯AD≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）．………8分答：气球应至少再上升15.6米．…………………………9分18、图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．【答案】解：根据题意得：DE=3.5×16=56,AB=EF=16∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠ CAB∴CB=AB=16.∴CG=BCsin30°=8CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.∴塔吊的高CH的长为69m.BACD。
【浙教版】2022年九年级(上)期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用(方位角问题)(原卷)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练解直角三角形的应用（方位角问题）1．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：√3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？2．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18√2km/ℎ的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向．(1)求此时渔船与灯塔B的距离．(2)若渔船继续向东行驶，还要行驶多少千米与B的距离达到最小值．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）3．（2022·浙江宁波·一模）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向．(1)直接写出∠ACB的度数是；(2)测量发现∠BAC=20°，A岛与C岛之间的距离AC=20海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4．（2021·浙江丽水·一模）如图，某海岸边有B，C两个码头，C码头位于B码头的正东方向，距离B码头60海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距离B码头45海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）5．（2022·浙江·一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D 点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据√3≈1.732）6．（2022·浙江金华·一模）某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛北偏西30°方向上，距A岛120海里．有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛南偏东75°方向的C处．(1)求∠BCA的度数．(2)求BC的长．7．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70∘方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45∘方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70∘≈0.94,cos70∘≈0.34,tan70∘≈2.75,√2≈1.41）(1)求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25∘继续航行，通过计算说明船是否安全？8．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．如图（1），在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD∠BC于点D，则sinB=ADc ，sinC=ADb，即AD＝c sin B，AD＝b sin C．于是c sin B＝b sin C，即bsinB=csinC．同理有：csinC =asinA，asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）9．（2020·浙江衢州·九年级期末）某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m 到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）10．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m 到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．(1)求AC的距离：(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C 地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m 区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：√3≈1.73,√2≈1.41,√6≈2.45,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75）．11．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）如图，一位自行车爱好者沿宿鸭湖湖边正东方向笔直的公路BC骑行，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶12min 后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向，如果此自行车爱好者的速度为60km/h，求建筑物A到公路BC的距离．（结果保留根号）【分母有理化：√3+1=√3−1(√3+1）)(√3-−1)=√3−12】12．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的B处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往C岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知C岛在基地A的南偏东α的方向，且在B处南偏东β的方向，巡逻快艇从B处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：tanα=158，sinβ=45）13．（2022·山东青岛·九年级期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C 地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：√2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．15．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，√3≈1.732．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC=3千米，灯塔B到航线l的距离为BD=4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：√3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．18．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．19．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）20．（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校二模）如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，√3≈1.732，√2≈1.414，√6≈2.449）21．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）22．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图，海中有一个小岛A，它周围8n mile 内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60∘方向上，航行12n mile 到达D点，这时测得小岛A在北偏东30∘方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？24．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A 出发向东航行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）25．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）26．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r 为10(3+√3)海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√5海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．(1)求A、P之间的距离AP；(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．27．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为60√2海里的D处拦截到该可疑船只．(1)求点A到直线CB的距离；(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：√3≈1.73）28．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB，BC，CA跑步（小路的宽度不计），观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B 在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)求坡面CB 的坡度；(2)求基站塔AB 的高．30．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A ，B ，C 三个港口，B 港口在C 港口正西方向33.2nmile （nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在B 港口北偏西50°方向且距离B 港口40nmile 处，在A 港口北偏东53°方向且位于C 港口正北方向的点D 处有一艘货船，求货船与A 港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）。
中考数学解直角三角形练习
中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、 熟知300、450、600角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。
4、 通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。
5、 了解同角三角函数的平方关系。
sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、 熟知直角三角形中：300角的性质。
中招考点1、 锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。
2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。
3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。
典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（ ）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。
故应选D.。
2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（ ） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。
3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（ ）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。
因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（ ）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析： 因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53； 不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。
2023年数学中考试题精选：解直角三角形应用(一)
1.（2023.营口21题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B地在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程。
（参考数据：√2≈1.41，√6≈2.45）2.（2023.本溪铁岭辽阳22题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F 在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33）3.(2023.大连21题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景，已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC=10.4m，BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？（结果保留整数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）4.（2023.贵州省22题）贵州旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m，索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F. （图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）。
中考专题训练(解直角三角形应用题)—解析版
答：这两座建筑物顶端 C 、 D 间的距离为 20 39m ．
【解答】解：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，由题意得： BCD = 30 ，设 BC = x ，则：
在 RtBCD 中， BD = BC sin 30 = 1 x ， CD = BC cos 30 = 3 x ；
2
2
AD = 30 + 1 x ， 2
则 AD = AE + EB = 20 3 + 20 = 20( 3 + 1)(m) ，
在 RtADC 中， A = 30 ， DC = AD = (10 + 10 3)m ．
2 答：塔高 CD 为 (10 + 10 3)m ．
测得屋檐 E 点的仰角为 60 ，房屋的顶层横梁 EF = 12m ， EF / /CB ， AB 交 EF 于点 G （点 C ， D ， B 在同一
∴tan30°＝ x ， x+6
解得 x≈8.22， 根据题意可知： DM＝MH＝MN+NH， ∵ MN＝AC＝10， 则 DM＝10+8.22＝18.22， ∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）． 答：建筑物 CD 的高度约为 19.8m．
9．（2020·四川眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 20 米的发射塔 AB ，如 图所示，在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30 ，向小山前进 80 米到达点 E 处，测得塔顶 A 的仰角为 60 ，求小山 BC 的高度．
AD2 + CD2 = AC 2 ，即： (30 + 1 x)2 + ( 3 x)2 = 702 ，
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解直角三角形应用分类中考试题精选
类型一俯仰角问题
1．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
2.如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
3．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
类型二方位角问题
4、在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A 相距km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
5．（如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60 3千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．
（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？
6.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
7、钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区,不允许它国船支进入.如图7，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方向距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，其间多次发出警告，2小时后海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告.
（1）当日本渔船收到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？（4分）
（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度、原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（5分）
（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.3121.431.7）
类型三坡度坡角问题
8．（如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的
坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
9．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米．（i=1：3是指坡面
的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取
一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
类型四生活中问题
11.如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠
BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm
伞架DE DF AE AF AB AC
长度36 36 36 36 86 86
（1）求AM的长．
（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
12．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的
截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈
0.9325，结果保留两位小数）
13．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO
的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．。