数值线性代数
第四章线性方程组的求解
1.2.2
For j=k+1,…, n
aij- aik akj aij(新) bi - aik bk bi (新)
*常用|akk|≤
步骤 2. 步骤 3.
bn /ann xn For k=n-1,…,1 3.1 3.2
(回代)
bk s For j=k+1,…,n
b1( 0 ) (1) b2 (1) bn
注意：若a11（0） ＝0，因为 det（A）0，在A的第1列元素中至 少有某ai1（0） 0将i行与第1行交换，再作第1步 。
(0 a11 ) 假定已完成k－1步消元， ( 0) ( 0) ( A( k 1) , b( k 1) ) ( A ,b ) (0 a12 ) (1 a22)
迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格 式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。
举例
x 2 x2 2 x3 2 例：直接法解线性方程组 1 2 x1 3 x2 3 x3 4 4 x1 x2 6 x3 3
1 2 2 2 ( A, b) 2 3 3 4 4 1 6 3 2 2 1 2 0 1 7 8 0 0 61 61
解：
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 11
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
第四章 解线性方程组的直接法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
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线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
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直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
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定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
数值代数和数值方法的研究进展
数值代数和数值方法的研究进展数值代数和数值方法是现代计算机科学中非常重要的一个分支，也是数学、计算机科学、应用科学、工程学等许多学科领域的交叉点。
它研究的主要问题是如何使用计算机来解决数学问题。
数值代数和数值方法的研究可以追溯到20世纪初期。
当时，人们已经开始着手解决线性方程组、非线性方程、插值、微分方程等问题。
早期的研究主要基于手算，因此计算机的出现极大地推进了数值代数和数值方法的发展。
在过去的几十年中，数值代数和数值方法得到了飞速发展，主要得益于计算机硬件和软件技术的进步。
它们广泛地应用于工程、科学、金融等领域，其中最重要的应用之一是数值模拟。
数值代数和数值方法所涉及的问题非常广泛，其中最基本的是数值线性代数问题。
线性代数问题是计算科学中最基本、最重要的问题之一。
由于现代科学技术中涉及到的数据量通常是巨大的，因此用数值代数的方法处理线性代数问题是很必要的。
数值线性代数的经典问题包括矩阵分解、求解线性方程组、特征值和特征向量计算等等。
最近几十年来，数值代数领域进展非常迅速，新算法层出不穷。
一些经典的数值代数算法逐渐被淘汰，新算法已经成为了主流。
比如，计算最小二乘解的QR 分解方法已经被我们熟知，但是现在矩阵分解算法中的SVD、LU 分解方法已成为主流。
此外，随机矩阵论、稀疏矩阵技术等当前比较热门的领域，也在推动数值代数领域的发展。
除了数值线性代数问题以外，数值方法还有许多其他的问题值得研究。
比如，在微积分、概率论和统计学等领域，通过数值方法计算基本函数的一些性质是非常有用的。
通过小规模数值计算，我们可以研究新的数学概念，比如奇异性、复杂性等等。
数值代数和数值方法的研究对于解决实际问题具有重要的意义。
在工程和物理学领域，我们可以用数值方法来模拟自然过程，使得我们可以更好地了解和控制这些过程。
在经济学和金融领域，利用数值方法可以计算出复杂的金融衍生品的价格，从而更准确地评估投资风险。
总的来说，数值代数和数值方法的研究对于提高科学计算水平和解决实际问题都具有极其重要的意义。
浅论数值线性代数课程的教学改革
２ ０ １ ３年 第 ６期 （ 总第 １ １ ０期 ）
２课 程 内容的 改革
２ ． １优化 理论 内容 夯 实知识基 础
或者 简单 的 、 有 特 点 的 高级 方 阵 。但 如 果 学 生 学 了 数学 软件 Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ或者 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ， 就 会很 容易 地用
需要借助计算机语言编程解决 ， 这就是 为什么必须
开设 实验 课 的原 因所在 。
一
般地 ， 可将实 验分 为基 础性 和创 新性实 验 等 。
提纲 ， 提醒同学们复习相关知识 ， 预 习新的知识 ， 从 而扫除学习障碍 ， 提高学习效果。
从 内容上讲 ， 数值线 性代 数 主要包 括三 大 问题 ：
和 当前 学 生的特 点 ， 从教 学 内容 、 教 学方 法、 考核 形 式三 方 面对 该课 程 的教 学 改 革进行 了初 步探 讨 与 研
究。
关键词 ： 数值 线 性代 数 ； 教 学 内容 ； 教 学 方法 ； 考 核 形式
中图分 类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ０文献 标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ０ ０ ８— ３ ８ ７ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ７ ５— ０ ４
数值线性代数课程 的基础是数学分 析与微分 方程（ 或高等数 学） 、 高等代数 （ 或线性代数） ， 要学 好数值线性代数课程 ， 必须对 以上的有关 内容 比较
熟悉 。这就 需要 教师在 授课前 列 出复 习摘要 和授课
命 令解 决 问题 。对 于 复 杂 的数 值 代数 问题 ， 一 般 还
数值线性代数是综合性大学、 理工科大学 、 高等 师范院校计算数学、 应用数学 、 工程计算专业本科生
数值代数方法及其应用
数值代数方法及其应用数值代数是数学中的一个分支，旨在通过计算和近似方法解决代数问题。
它结合了代数、数值计算和计算机科学的概念和技术，为科学研究和工程应用提供了强大的工具。
本文将介绍数值代数方法的基本原理、常用技术和应用领域。
一、数值代数方法简介数值代数方法是研究如何通过数值计算求解代数问题的学科。
它的核心思想是用数值计算的方式近似求解代数方程组、计算矩阵的特征值和特征向量等。
数值代数方法基于线性代数和数值分析的基本理论，通过算法和计算机程序实现。
数值代数方法的主要目标是提供一种有效、准确的计算方法，解决实际问题中的线性和非线性代数问题。
它在科学计算、工程模拟、金融建模等领域发挥着重要作用。
常用的数值代数方法包括线性方程组的直接解法、迭代解法、特征值问题的求解方法等。
二、常用的数值代数方法1. 线性方程组的直接解法线性方程组是数值代数中常见的问题之一，它的解决涉及到矩阵的运算和数值计算。
常用的直接解法包括高斯消元法、LU分解法等。
这些方法通过将线性方程组转化为等价的上三角或下三角矩阵，从而求解方程组的解。
2. 迭代解法当线性方程组规模较大时，直接解法的计算量较大。
此时可以使用迭代解法，通过反复迭代逼近线性方程组的解。
常用的迭代解法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
这些方法通过计算矩阵的逆或逼近逆，逐步接近线性方程组的解。
3. 特征值问题的求解方法特征值问题在物理、化学、工程等领域中都有广泛的应用。
求解特征值问题涉及到矩阵的特征向量和特征值的计算。
常用的方法包括幂法、反幂法、QR方法等。
这些方法通过迭代计算矩阵的特征向量和特征值，从而求解特征值问题。
三、数值代数方法的应用领域数值代数方法在众多领域中都有着广泛的应用。
以下是数值代数方法在几个典型领域中的应用示例：1. 工程应用工程领域中常常需要求解大规模线性方程组，如结构力学问题、电路问题等。
数值代数方法提供了高效、准确的计算方式，可以快速求解这些问题，为工程设计和优化提供支持。
keryolv子空间迭代法
Krylov 子空间迭代法一、背景介绍Krylov 子空间迭代法是一种数值线性代数方法，用于求解大型稀疏线性方程组或特征值问题。
它的基本思想是通过逐步构建 Krylov 子空间来逼近方程组的解或特征向量，从而减少计算复杂度并提高求解效率。
Krylov 子空间是由矩阵 A 和给定的向量 b 生成的向量空间。
在 Krylov 子空间迭代法中，我们将选择一个合适的初始向量 x0，并在每一次迭代中构建一个新的Krylov 子空间，直到满足收敛条件为止。
二、Krylov 子空间迭代法的基本原理Krylov 子空间是通过向量 b 和矩阵 A 的乘积逐步构建而成的。
给定一个 n 维向量 b 和一个n×n 的矩阵 A，我们可以定义一个 Krylov 子空间 K(m, A, b) 如下：K(m, A, b) = span{b, Ab, A^2b, …, A^(m-1)b}其中 span 表示向量的线性组合，A^k 表示矩阵 A 的 k 次幂。
在 Krylov 子空间迭代法中，我们通过迭代的方式来逼近方程组 Ax = b 的解 x，或者求解特征值问题Av = λv。
我们首先选择一个初始向量 x0，并构建初始的Krylov 子空间 K(1, A, b) = span{b}。
然后，我们通过增加 Krylov 子空间的维数来逼近解或特征向量。
在每一次迭代中，我们选择一个新向量 v_k，使其满足以下条件：v_k ∈ K(k, A, b) v_k ⊥ K(k-1, A, b)其中⊥ 表示正交。
我们可以使用基于正交化过程的方法，如Arnoldi 迭代法或 Lanczos 迭代法，来实现这一目标。
通过迭代构建 Krylov 子空间，我们可以逐渐改善逼近解或特征向量的精度，直到满足收敛条件为止。
三、Krylov 子空间迭代法的主要算法Krylov 子空间迭代法主要包括以下几个步骤：1. 选择初始向量在迭代过程中，需要选择一个合适的初始向量 x0。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是研究用计算机和数学方法解决数学问题的一门学科，其核心是通过数值计算方法求解数学问题。
数值分析广泛应用于科学计算、工程计算以及实际问题的数值模拟和优化等领域。
本文将从数值方法的基本原理、数值线性代数、非线性方程求解、插值和曲线拟合、数值微分和数值积分、数值常微分方程等方面对数值分析进行总结。
数值方法的基本原理是将需要求解的数学问题转化为离散的数值计算问题。
数值方法主要包括近似计算、误差分析和收敛性研究。
近似计算通过选择适当的数值计算方法和算法，对原始问题进行精确程度有限的近似计算。
误差分析是研究数值计算和解析解之间的差别，包括截断误差和舍入误差。
收敛性研究是研究离散数值计算方法的收敛性，即当步长趋于零时，数值计算结果趋于解析解。
数值线性代数是数值分析的重要内容之一、数值线性代数主要研究线性代数方程组的数值解法。
常见的数值解法包括高斯消元法、LU分解法、Cholesky分解法等。
解线性代数方程组的数值方法可以分为直接法和迭代法两类。
直接法通过有限次数的计算求得方程组的解，而迭代法是通过求解逐步逼近方程组的解。
非线性方程求解是数值分析的另一个重要内容。
非线性方程求解的目标是找到方程的根，即方程的解。
常见的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法、割线法和迭代法。
这些方法根据不同的原理和特点，对非线性方程根的进行逐步逼近，最终得到根的近似值。
插值和曲线拟合是利用已知数据点确定未知数据点的数值计算方法。
插值方法通过已知数据点之间的连线来估计未知数据点的值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
曲线拟合是通过已知数据点拟合出一条曲线，使得该曲线在已知数据点上与原始数据最接近。
最小二乘法是常用的曲线拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离来得到最佳拟合曲线。
数值微分和数值积分是数值分析的基础性内容。
数值微分是通过差商的定义计算函数在特定点的导数值。
常见的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告
（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞范数条件数（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111111011001ΛΛO O MM M O OΛ,先随机地选取n R x ∈,并计算出x A b n =;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组,假定计算解为∧x 。
试对n 从5到30估计计算解∧x 的精度,并且与真实相对误差作比较。
解(1)分析:利用for 使n 从5循环到20,利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ;先将算法2、5、1编制成通用的子程序,利用算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =,对TAB -=求解,得到∞-1A的一个估计值v v =~;再利用inf),(A norm 得到∞A ;则条件数inf),(1A norm v A A K *==∞∞-。
另,矩阵A 的∞范数条件数可由inf),(A cond 直接算出,两者可进行比较。
程序为1 算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =function v=opt(B)k=1;n=length(B); x=1、/n*ones(n,1);while k==1 w=B*x;v=sign(w); z=B'*v;if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; elsex=zeros(n,1);[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end2 问题(1)求解 ex2_1for n=5:20A=hilb(n);B=inv(A、');v=opt(B);K1=v*norm(A,inf);K2=cond(A,inf);disp(['n=',num2str(n)])disp(['估计条件数为',num2str(K1)])disp(['实际条件数为',num2str(K2)])end计算结果为n=5估计条件数为943656实际条件数为943656n=6估计条件数为29070279、0028实际条件数为29070279、0028n=7估计条件数为985194887、5079实际条件数为985194887、5079n=8估计条件数为33872789099、7717实际条件数为33872789099、7717n=9估计条件数为16、422实际条件数为16、422n=10估计条件数为35353368771750、67实际条件数为35353368771750、67n=11估计条件数为1232433965549344实际条件数为1232433965549344Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=12估计条件数为3、9245e+16实际条件数为3、9245e+16Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=13估计条件数为1、2727e+18实际条件数为1、2727e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=14估计条件数为4、8374e+17实际条件数为4、8374e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=15估计条件数为4、6331e+17实际条件数为5、234289848563619e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=16估计条件数为8、3166e+17实际条件数为8、3167e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 6、244518e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 6、244518e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=17估计条件数为1、43e+18 实际条件数为1、43e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18估计条件数为2、5551e+18 实际条件数为2、8893e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19估计条件数为2、411858563109357e+18 实际条件数为2、411858563109357e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20估计条件数为2、31633670586674e+18 实际条件数为6、37335273308473e+18结果分析随着矩阵阶数增加,估计值误差开始出现,20,17,16,15 n 时估计条件数与实际值存在误差;且条件数很大,Hilbert 矩阵为病态的。
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数值线性代数
数值线性代数是线性代数在计算机科学领域中的应用，主要涉及通过数值方法解决线性代数问题。
线性代数作为数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际应用中，很多问题可以转化为线性代数问题，并且通过数值线性代数方法可以高效地求解。
一、数值线性代数的基本概念
1. 向量和矩阵
向量是线性代数中的基本概念，可以用来表示空间中的一个点或者一个方向。
矩阵是由若干个向量组成的数据结构，是线性变换的表达方式。
数值线性代数中的基本运算包括向量的加法、乘法，以及矩阵的加法、乘法等。
2. 线性方程组和矩阵求逆
线性方程组是数值线性代数中常见的问题，可以表示为Ax=b的形式。
其中，A是一个矩阵，x和b是向量。
求解线性方程组可以通过矩阵求逆的方法来实现，即通过计算A的逆矩阵来求解线性方程组。
然而，矩阵求逆的计算复杂度较高，因此常用的数值方法包括高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
3. 特征值和特征向量
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，可以用来描述矩阵的性质和变换。
特征值表示矩阵在特定方向上的放大或缩小倍数，特征向量表示这个方向。
计算矩阵的特征值和特征向量可以通过特征值分解或者幂迭代等方法来实现。
二、数值线性代数的算法与应用
1. 高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性方程组的常用数值方法。
通过初等变换将线性方程组化为简化行阶梯形，从而求解线性方程组的解。
高斯消元法可以通过列主元素选取来减小误差，并且在计算机中可以采用矩阵形式来表示。
2. LU分解法
LU分解法是解决线性方程组的另一种常用数值方法。
通过将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，可以简化线性方程组的求解过程。
LU分解法可以提高计算效率，并且在矩阵不变时可以重复使用。
3. 迭代法
迭代法是一种近似求解线性方程组的数值方法。
通过不断迭代更新解向量，直到满足收敛条件为止。
常用的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
4. 特征值分解与奇异值分解
特征值分解和奇异值分解是矩阵分析中常用的数值方法。
特征值分解将一个方阵分解为特征值和特征向量的乘积，可以用于求解特征值和特征向量。
奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，可以用于求解矩阵的奇异值。
三、数值线性代数的优化和挑战
1. 数值稳定性
数值线性代数在求解过程中会受到数值计算的精度限制，可能会引入误差。
数值稳定性是指计算结果对初始数据的扰动不敏感。
在数值线性代数中，考虑数值稳定性是提高算法效果和减小误差的关键。
2. 并行计算
在大规模线性代数问题中，串行计算往往无法满足计算需求。
并行计算是指在多个处理器上同时进行计算，以提高计算效率。
数值线性代数中的并行计算可以通过矩阵分块和并行迭代等方法来实现。
3. 大规模问题
随着科学计算和工程应用的发展，数值线性代数也面临着越来越大规模的问题。
大规模问题需要考虑内存和计算资源的限制，以及高效的存储和计算方法。
结语
数值线性代数是线性代数在计算机科学中的重要应用，通过数值方法解决线性代数问题。
本文简要介绍了数值线性代数的基本概念、算
法与应用，以及相关的优化和挑战。
随着计算机技术的发展，数值线性代数在实际应用中发挥着重要作用，对于科学计算和工程问题的求解具有重要意义。