任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解任意角的概念．

2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

★备考知考情

1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，

考查三角函数求值问题．

2.三角函数的定义与向量等知识相结合，

考查三角函数定义的应用．

3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P47

知识点一角的概念

(1)分类⎩⎪⎨

⎪⎧

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.

《名师一号》P47 对点自测 1、2 注意：

1、《名师一号》P48 问题探究 问题1、2

相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．

角的表示形式是唯一的吗？

角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x |x ＝k ·360°－90°，k ∈Z}，也可以表示为{x |x ＝k ·360°＋270°，k ∈Z}． (补充)

2、正角 > 零角 > 负角

3、下列概念应注意区分

小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角

1）终边落在x轴非负半轴上的角

{x|x＝2kπ，k∈Z}

2）终边落在x轴非正半轴上的角

{x|x＝2kπ+π，k∈Z}

终边落在x轴上的角

{x|x＝kπ，k∈Z}

3）终边落在y轴非负半轴上的角

{x|x＝2kπ+π

2

，k∈Z}

4）终边落在y轴非正半轴上的角

{x|x＝2kπ+3π

2

，k∈Z}

终边落在y轴上的角

{x|x＝kπ+π

2

，k∈Z}

(2) 象限角（自己课后完成）

知识点二弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角

叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：

360°＝2π弧度；180°＝π弧度；

②弧长公式：l＝|α|r；

③扇形面积公式：S扇形＝1

2

lr和

1

2

|α|r2.

关键：基本公式180︒

→=rad

π

《名师一号》P47 对点自测3

注意：

1、《名师一号》P48 问题探究问题3

在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？

不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，不可混用．

2、弧长公式与扇形面积公式

（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）

弧长公式||l r α= 扇形面积公式1

2

S lr =

(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）

知识点三 任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)． (补充)

1

2、各象限角的三角函数值符号规律：

(补充)关键：立足定义

正弦……一二正，横为零

余弦……一四正，纵为零

正切……一三正，横为零，纵不存在

3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）

知识点三任意角的三角函数

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的

正弦线，余弦线和正切线．

《名师一号》P47 对点自测6

注意：

《名师一号》P48 问题探究问题4

如何利用三角函数线解不等式

及比较三角函数值的大小？

(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期．

(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性．

也可以利用相应图象求解

二、例题分析：

（一)角的表示及象限角的判定

例1.《名师一号》P48 高频考点例1

(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

(2)已知α是第三象限角，求α

2

所在的象限．

【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．

(2)把α写成集合的形式，从而α

2

的集合形式也确定．

解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为

{α|α＝2kπ＋π

3

，k∈Z}，

当角的终边在第三象限时，角的集合为

{α|α＝2kπ＋4

3

π，k∈Z}，

故所求角的集合为

{α|α＝2kπ＋π

3

，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋

4

3

π，k∈Z}

＝{α|α＝kπ＋π

3

，k∈Z}．

(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋3

2

π(k∈Z)，