平面直角坐标系(对称)
初一数学平面直角坐标系知识点总结
初一数学平面直角坐标系知识点总结初一数学平面直角坐标系知识点总结在日复一日的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺整理的初一数学平面直角坐标系知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
初一数学平面直角坐标系知识点总结1平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初一数学平面直角坐标系知识点总结2平面直角坐标系的用用很广，可以用坐标表示地理位置，也可以用坐标表示平移。
平面直角坐标系在平面“二维”内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。
简称直角坐标系。
平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为X轴(x-axis)，取向右方向为正方向;纵轴为Y轴(y-axis)，取向上为正方向。
坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。
X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限(quadrant)，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。
一般情况下，x轴和y轴取相同的单位长度。
点的坐标建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标(coordinate)。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
平面直角坐标系的性质
平面直角坐标系的性质平面直角坐标系是数学中常用的一种坐标系统，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
在这个坐标系中，我们可以用有序数对来表示平面上的点，其中第一个数表示横坐标，第二个数表示纵坐标。
平面直角坐标系的性质具有以下几个方面：一、坐标轴及正方向平面直角坐标系由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y 轴。
在这个坐标系中，x轴向右延伸为正方向，y轴向上延伸为正方向。
在数学中，我们约定x轴和y轴的正方向可以任意选取，但在同一平面上，坐标轴的正方向是一致的。
二、原点平面直角坐标系中的原点是坐标轴的交点，用符号O表示。
原点的坐标为(0, 0)，表示x轴和y轴的交点。
在坐标系中，原点是唯一确定的，而且它是平面上的特殊点。
三、四象限根据平面直角坐标系的性质，可以将平面分为四个象限。
第一象限是x轴和y轴的正方向都是正的坐标值的区域；第二象限是x轴负方向为负，y轴正方向为正的区域；第三象限是x轴和y轴的负方向都是负的坐标值的区域；第四象限是x轴正方向为正，y轴负方向为负的区域。
四、对称性平面直角坐标系具有对称性。
即对于坐标系中的任意一点P(x, y)，点P关于x轴对称的点为P'(x, -y)，关于y轴对称的点为P'(-x, y)，关于原点的对称点为P'(-x, -y)。
这种对称性在分析平面上的图形及求解问题时非常有用。
五、距离公式和斜率公式在平面直角坐标系中，我们可以通过距离公式和斜率公式来计算两个点之间的距离和直线的斜率。
两点之间的距离公式为：√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)；直线的斜率公式为：斜率k = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别表示两点的坐标。
总结：平面直角坐标系是一种常用的数学工具，它具有坐标轴及正方向、原点、四象限、对称性以及距离公式和斜率公式等性质。
在解决平面几何问题、代数问题和分析几何问题时，我们经常使用平面直角坐标系的性质来推导解答。
人教版数学九年级上册23.2.3关于原点对称的点的坐标教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
人教版数学九年级上册23.2.3关于原点对称的点23.2.3节，关于原点对称的点的坐标。教学内容主要包括以下两点：
1.理解并掌握平面直角坐标系中原点对称的概念。
2.学会求一个点关于原点对称的点的坐标，并能够运用这一性质解决实际问题。
具体内容包括：
-原点对称的定义及性质；
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生们将在坐标纸上标出点A(3, 4)，然后通过折叠或旋转的方式找到它关于原点对称的点A'，并验证坐标计算的正确性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“原点对称在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《关于原点对称的点的坐标》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在平面直角坐标系中，是否思考过如何找到一点关于原点对称的点？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索原点对称的奥秘。
（3）实际问题的解决：将原点对称性质应用于实际问题，学生可能难以找到解决方法，需要引导和启发。
举例：在坐标平面上，找到两个点关于原点对称的点，求出这两对点的距离相等的关系。
平面直角坐标系对称问题
下面这些图形是不是轴对称图形？为什么？
返回
轴对称图形: 轴对称图形:
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
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练习
达
标
题
达
标
题
判断题: 判断题:
1、飞机图不一定是轴对称图形。 2、半圆有无数条对称轴。 （ （ ） ）
选择题: 选择题:
1、 有( )条对称轴。 )条对称轴。 A. 5 B. 10 B.小 B.小 C. 1 C.日 C.日 2、下面汉字( 、下面汉字( )是轴对称图形。 A.字 )是轴对称图形。 A.字
操作题: 操作题:（画出下面图形的对称轴）
返回
判断题: 判断题:
1、飞机图不一定是轴对称图形。 2、半圆有无数条对称轴。
√ （ ）
（× ）
选择题: 选择题:
1、 有( A )条对称轴。 )条对称轴。 A. 5 B. 10 B.小 B.小 C. 1 C.日 C.日 2、下面汉字( C )是轴对称图形。 A.字 、下面汉字( )是轴对称图形。 A.字
简单的轴对称图形１
轴对称图形
自学提示：
1、读一读（书上100~101页的内容） 页的内容） 读一读（书上100~101页的内容 2、做一做（书上的实验） 做一做（书上的实验） 3、想一想（通过实验，你有哪些 想一想（通过实验， 发现？） 发现？）
练习
自学提示：
1、读一读（书上100~101页的内容） 页的内容） 读一读（书上100~101页的内容 2、做一做（书上的实验） 做一做（书上的实验） 3、想一想（通过实验，你有哪些 想一想（通过实验， 发现？） 发现？）
关于对称轴对称的两个点的坐标关系
关于对称轴对称的两个点的坐标关系对称轴是我们在几何学中经常遇到的一个概念，它是指一个平面图形中的一条直线，将这条直线两侧的图形完全重合。
在图形中，对称轴是一条非常重要的线，它不仅可以用来描述图形的对称性，还可以用来求解对称轴上两个点的坐标关系。
对称轴上的两个点是指在对称轴上对称的两个点。
如果我们知道了其中一个点的坐标，那么我们就可以通过对称轴的性质来求出另一个点的坐标。
下面，我们将通过一些实例来说明对称轴上两个点的坐标关系。
实例1：在平面直角坐标系中，有一条对称轴y=2，一个点A（3，4）在对称轴上方，求对称轴上对称的点的坐标。
解：首先，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的纵坐标是相等的。
因为点A在对称轴上方，所以它的纵坐标比对称轴的纵坐标大，即4>2。
因此，对称轴上对称的点的纵坐标也是2+2=4。
然后，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的横坐标的和是相等的。
因为点A在对称轴上方，所以它的横坐标比对称轴的横坐标大，即3>0。
因此，对称轴上对称的点的横坐标应该是3-2=1。
因此，对称轴上对称的点的坐标为（1，4）。
实例2：在平面直角坐标系中，有一条对称轴x=-3，一个点B（2，-1）在对称轴左侧，求对称轴上对称的点的坐标。
解：同样地，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的横坐标是相等的。
因为点B在对称轴左侧，所以它的横坐标比对称轴的横坐标小，即2<-3。
因此，对称轴上对称的点的横坐标应该是2-(-3)=5。
然后，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的纵坐标的差是相等的。
因为点B在对称轴左侧，所以它的纵坐标比对称轴的纵坐标小，即-1<0。
因此，对称轴上对称的点的纵坐标应该是0-(-1)=1。
因此，对称轴上对称的点的坐标为（5，1）。
通过以上两个实例，我们可以看出，对称轴上对称的两个点的坐标关系是非常简单的，只需要利用对称轴的性质，就可以求出另一个点的坐标。
对于对称轴的应用，我们还可以通过对称轴的性质来判断一个点是否在对称轴上，或者通过对称轴的性质来求解图形的对称中心等问题。
平面直角坐标系与轴对称变换专题
第三讲 平面直角坐标系与轴对称变换专题第一节：直角坐标系与轴对称变换知识点回顾知识点一：轴对称、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是 重合 的，那么就称这样的图形为轴对称图形。
这条直线称为 对称轴 ， 对称轴 一定为直线。
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成 轴对称 ，两个图形中的对应点叫 对称点 。
知识点二：轴对称图形的性质1、轴对称图形的对应线段 相等 ，对应角 相等 ，对应点的连线被对称轴垂直平分 。
轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在 对称轴 上。
2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的 大小 和 形状 ，只改变图形的位置 ，新旧图形具有对称性。
例2：（2009湖北荆门）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB =（ ）A ．40° B．30° C．20° D．10°解析： 有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。
本题中，将∠A 折叠，出现了轴对称，∠CA ′D =∠A ，因为∠A =50°，所以∠CA ′D =50°。
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =90°-∠A =40°。
∠CA ′D 是△ A ′B D 的一个外角，等于∠A ′DB 与∠B 之和，所以∠A ′DB =∠A ′DB -∠B =50°- 40°=10°。
应选择D 。
2.（2009湖南郴州）点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ． (3,5)B ． (5,3)C ．(3,5)D ． (3,5)【答案】D知识点三：中心对称、中心对称图形1、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 一定角度 后能与自身 重合 ，这种图形叫中心对称图形，该点叫作 旋转中心 。
平面直角坐标系中的轴对称图形 -八年级数学上册课件(沪科版)
y
4
3D
C
2
1
B
关于 x 轴 对称的点的坐标 的特点是：
-5 -4
-3
-2
-1
O -1
A11
2
3B14
5x
-2
横坐标相等，纵坐标互为相反数. 已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
-3
- D1
4
C(3,3)
C1
D(1,3)
关于x轴对称 的点的坐标
A1( 1,-1 )
B1( 3,-1 ) C1( 3,-3 )
2
C3，D3，并写出它们的坐标.
1A
B
-5 -4 -3
B3
-2 -1A-O13
1 2 3 4 5x
-2
已知点坐标
A(1,1)
C2
B(3,1)
-3
D2-
4
C(3,3)
D(1,3)
关于原点对称 的点的坐标
A2( -1,-1)
B2( -3,-1) C2( -3,-3)
D2( -1,-3)
探究 2
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形
1、线段的垂直平分线的定义 经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线. 又叫做线段的中垂线.
2、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线.反过来成轴对称的两个图形中，对应点 的连线被对称轴垂直平分. 3、轴对称图形的性质
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3). 猜想：已知点 P(x,y)，它关于 原点 对称点的坐标为 P3(-x,-y )
平面直角坐标系对称变换
平面直角坐标系对称变换【摘要】平面直角坐标系对称变换是一种重要的数学概念，通过在平面直角坐标系下进行对称变换，可以改变图形的位置、形状和大小。
本文将介绍关于平面直角坐标系的基本概念，平面对称变换的定义以及其意义，同时讨论了各种对称变换方法和如何进行平面直角坐标系对称变换。
对称变换在几何学和工程学等领域有着广泛的应用，能够简化问题的求解过程并提高计算效率。
平面直角坐标系对称变换不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中也起到了重要的作用。
展望未来，随着科学技术的不断发展，平面直角坐标系对称变换将继续在更多领域展现其重要性，成为数学研究和工程实践中不可或缺的一部分。
【关键词】平面直角坐标系对称变换、对称变换、基本概念、定义、意义、方法、应用领域、重要性、未来发展。
1. 引言1.1 什么是平面直角坐标系对称变换平面直角坐标系对称变换是指在平面直角坐标系中，通过某种规则将图形围绕某个中心点或轴进行对称操作，从而得到新的图形。
这种变换通常可以分为对称轴对称和点对称两种形式。
对称轴对称是指当图形绕着一条直线旋转180度时，图形和原图形完全一致；而点对称是指当图形围绕一个点旋转180度时，图形和原图形完全一致。
在平面几何学中，对称变换是一种非常重要的变换方式。
通过对称变换，我们可以更好地理解图形的性质、特点和关系。
对称变换可以帮助我们简化问题，找出规律，从而更加高效地解决一些复杂的数学问题。
对称变换还可以美化图形，增加图形的美感和艺术性，使得图形更加优雅和动人。
平面直角坐标系的对称变换是一种非常有趣且实用的数学概念，对于我们理解几何学、数学建模、图形设计等领域具有重要意义。
通过对称变换，我们可以更深入地探索数学世界的奥秘，同时也可以在实际应用中发挥其巨大的作用。
1.2 对称变换的重要性对称变换在平面直角坐标系中起着重要的作用，它能够帮助我们更好地理解和描述几何形体的特性和性质。
通过对称变换，我们可以将一个图形沿着某条直线、某个点或某个平面进行镜像、旋转或平移，从而得到新的图形。
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A(0,3)
x
0
C(0,-3) B(-3,-5)
D(3,-5)
作图： 2、 如图，作出三角形ABC关于原点对称 的图形三角形A’B’C’；并写出它们的坐标。
思考题
在平面直角坐标系中,已知三个点的 坐标分别为A1(1,1)、A2(0,2)、A3(-1,1) 一只电子蛙位于坐标原点处,第一次电子 蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1, 第二次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心 的对称点P2,第三次电子蛙由P2点跳到以A3 为对称中心的对称点P3 。按此规律,电子 蛙分别以A1, A2, A3为对称中心继续跳下 去.问当电子蛙跳了2011次后,电子蛙落点 的坐标是P2011（ )
横坐标互为相反数,纵坐标相等。 点 M（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y)
练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的 (5,6) 。 坐标为_______
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称， 则a=_____, 2 b =_____ -5 。
探究3：
探究2：
y 5 B (-2,3) 4 3 2
描出点B（-2，3）
C（-3，-4）
A (2,3)
·
·
2
思考：关于y轴对称
的点的坐标具有怎样的 关系？
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 3 4 5 x
· C(-3, -4)
-4
D(3, -4) ·
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特点是:
F（x,y）
B’（-4,0）
F’（-x,-y）
称：三角形A’OB’ 与三角形AOB 关于原点轴对称
作图：1、在平面直角坐标内，已知点A（0，3）与点C关于
x轴对称，点B（-3，-5）与点D关于y轴对称，写出点C，D的 坐标，并把这些点按A--B--C--D--A顺次联结起来，观察所得图 形的形状。 y
巩固练习 1、完成下表
点A的坐标 点A关于x轴的对称点 点A关于y轴的对称点 (-5, 6) (3,-2) (-4, -3) (-4, 3)
(-5, -6) (3,2) (5, 6)
(-3, -2) (4, -3) (-3,2) (4, 3)
点A关于原点的对称点 (5, -6)
2、已知点P(2a,3b)与点P’(8,6).
Y
描出点B（3，-2）
·
A(-3,2)
3 2 1
O
-4 -3 -2 -1 -1 -2
-3
1 2
B(3,-2)
·
3
4
5 X
思考：关于原点对称的
点的坐标具有怎样的关 系？
归纳:关于原点对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数。
点 M（x,y）关于原点对称的点的坐标为 （-x，-y）
(2)如图，三角形A1B1O是由三角形AOB经过某种变换后 得到的图形，观察点A与点A1、点B与点B1的坐标之间的 关系。三角形中任意一点E的坐标为（x,y），点E经过这 种变换后得到点E1,点E1的坐标是什么？ A（2,3） A1（-2,3）
B（4,0）
E（x,y）
B1（-4,0）
E1（-x,y）
归纳：关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数。
点 M(x,y)关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的 (-5,-6) 。 坐标为__________ 2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称， -2 5 。 则a=_____, b =_____
探究1： 描出点
平面直角坐标系
纵轴 y 这些点的横、纵坐标有什么特点？
A （ 2 ， 3）
C(-1,4)
B（2，-3） C（-1，4） D（-1，-4）
-4 -3 -2
·
5 4 3 2 1
你还能找出这样的点吗？ A（2，3） ·
-1
0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
x 横轴
· D（-1，-4)
-4
· B（2，-3）
课本P80，拓广探索 11.(1)如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变 换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系。 三角形中任意一点M的坐标为（x,y），点M经过这种 变换后得到点N,点N的坐标是什么？ A（2,3） C（2,-3）
M（x,y）
N（x,-y）
称：三角形COB与 三角形AOB关于 x轴对称
4 b=____ -2； 若点p与点p’关于x轴对称，则a=____
-4 b=____ 2 ； 若点p与点p关于原点对称，则a=_____ b=____
3、根据下列点的坐标的变化，判断它 们进行了怎样的变换： ⑴（－１,３） ⑵（－５,－４） ⑶（３,４） ⑷（１,０） （－１,－３） （５,４） （－３,４） （－１,０）
称：三角形A1OB1与 三角形AOB关于 y轴对称
（3)如图，三角形A’OB’是由三角形AOB经过某种变换后 得到的图形，观察点A与点A’、点B与点B’的坐标之间的 关系。三角形中任意一点F的坐标为（x,y），点F经过这种 变换后得到点F’,点F’的坐标是什么？ A（2,3） A’（-2,-3）
B（4,0）
课堂小结
你有什么收获？ 你还有什么困惑？
作业：练习册
谢谢，指导
(x, -y) 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______ (-x, y) 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______ (-x, -y) 点（x, y）关于原点对称的点的坐标为______
口诀：关于哪轴对称哪不变 关于原点对称全部变
小游戏
一个同学说一个坐标及哪个 对称，让另一个同学说出其对称 的坐标
练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于原点对称，则点Q的 坐标为__________。 (5,-6)
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于原点对称， 则a=_____, b =_____。
2
5
平面直角坐标系内对称点坐标的特点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数