图形的旋转专题

图形的旋转

旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度 （小于周角）后能

与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形 ，这个定点叫做旋转中心• 注意:①旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。 ② 在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。 ③ 旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针） 基本类型： ⑴正三角形类型

在正A ABC 中，卩为厶ABC 内一点，将厶ABP 绕A 点按逆时针方向旋转 60° , 使得AB 与AC 重合。经过这样旋转变化，将图 （1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条 线段集中于图（1-1-b ））中的一个厶P'CP 中，此时△ P'AP 也为等边三角形。

题型一：利用图形的旋转求线段长

例1•如图，P 为等边三角形 ABC 内一点，/ BPC 等于 150°，PC=5，PB=12，贝U PA 的长为 •

解析:将厶BPC 绕C 点顺时针旋转60°连接PP ， •••/ PCP' =60° CP=CP'， •••△ PCP'是等边三角形， •••/ AP C=z BPC=150， • / AP P=150-60°=90°， 又••• PP ，=PC=5 AP =BP=12

•••在 Rt △ APP 中，PA= J AP 7

A

C

PP'2 13

B

题型二：利用图形的旋转求角的大小

例 4.如图，在△ABC 中，ACB 90°，BC=AC, P 为

△ABC 内一点

，且 PA=3，PB=1，PC=2， 则

BPC 的度数是 _______________ .

A

解析：将厶BCP 绕B 逆时针旋转90°，连接PP ,

•••/ PCP =90，CP=CP ，

• △ PCP 是等腰直角三角形， •/ CPP =45： PP' . CP 2 CP'2 2 2 .

又••• BP' PA=3，PB=1，

... BP'2 PB 2 PP'2，即 P'PB=90°. •- BPC=135°

C

P'

C

B

图(1-1-a) A

E ---------------------- r 图(1-1-b) 点评：解此题的关键是：把 PA PB PC 放在“同一个四边形”中, 作出

辅助线构造等边三角形是解本题的关键。 例2•如图，点P 是正方形ABCD 内一点，

AP=1，PB=、2 , / APB=135o ，贝U PC 的 长等于 例5.如图，P 为正方形ABCD 内一点, PB=2 , PC=3，则/ APB = _______

PA=1,

P

⑵正方形类型 在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将△ ABP 绕B 点按顺时针方 向

旋转900，使得BA 与BC 重合。经过旋转变化，将图 （2-1-a ）中的PA 、PB 、 三条线段集中于图（2-1-b ）中的△ CPP'中，此时△ BPP'为等腰直角 三角形。

PC B

解析:如图，把△ PBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ ABP • AP =PC BP =BP=1 故厶 PBP • P'PB 45°，P'P BP 2+BP'2 APP'= APB P'PB 90°

图(2- 1-a) 在 RtVAPP'中，AP' . PP? +AP 2

••• PC 5

点评：解此题的关键是：把 PA PB PC 放在 作出辅助线构造等腰直角三角形是解本题的关键。 图(2-1-b) ⑶等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 A ABC 中， C 点按逆时针方向旋转900

,使得AC 与BC 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）

中的一个厶P' CP 为等腰直角 三角形。 C 90o , P 为 A ABC 内一点，将 A APC 绕 “同一个四边形”

中,

例3.如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与BD 互相垂直，若 AB=3，BC=4，CD=5，贝U AD 的 长为（） A. 3 2

B.4

C. 2 3

D. 4 • 2

£

B

图(1-1- b) 解析:在 Rt △ AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2； Rt △ DOC 中可得：DO 2=DC 2- CO 2; ••• AD 2=AO 2+DO 2=AB 2- BO 2+DC 2- CO 2=18， 即可得AD=、18 3 2，故选A . 思考题：如图，将厶ABC 绕顶点A 顺时针旋转

60o 后，得到△ ABC ,且C'为BC 的中点，则 C'D:DB'=()

A.1:2

B.1:2

2 C.1:

3 D.1:3

解析:将厶APB 绕B 点顺时针旋转90°并连接PE , •••将△ APB 绕B 点顺时针旋转 90°:得厶BEC , :丄BEC ^△BPA ，/ APB= / BEC , • △ BEP 为等腰直角三角形，•/ BEP=45 , •/ PB=2 , • PE= 2 2 •/ PC=3 , CE=PA=1 ,

• PC 2=PE 2+CE 2，即/ PEC=90 ,

_

"

B 、4

C • / APB= / BEC= / BEP+ / PEC=45 +90° =135°. E (”)

例6.如图，已知O 是等边三角形△ ABC 内一点， / AOB 、/ BOC 、/ AOC 的度数之比为 6:5:4, 在

以OA 、OB 、OC 为边的三角形中，此三边 所对的角的度数是 _______________ .

解析：V/ AOB : / BOC : / AOC=6 : 5： 4,

• / AOB=144 , / BOC=120 , / AOC=96 ,

将厶AOC 绕点A 顺时针旋转 •/ △ AO

AOC ,

• / AO B=/ AOC=96 , O' V / OAO =60° , AO=AO , • △ AOO 是等边三角形，

• OO =AO ,

60°得到A AO B ,连接OO , B=OC AO =AO ,

OC 为边长构成的三角形,

• △ BOO 即是以 OA , OB , V/ AOO = / AO O=60 ,

• / BOO =84° / BO O=36 , / O' BO=60, 思考题：如图，在等边△ ABC 中，点E 、D 分别为AB 、

BC 上的两点，且 BE=CD , AD 与CE 交于点M ，则

AME ()

A. 60°

B.120°

C. 135°

D. 150°

B D C