圆专题教案(初中数学)

圆专题

圆相关的知识点

【知识要点一：垂径定理】——轴对称

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论：

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理共5个结论，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC

=弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。 【知识要点二：圆心角定理】——中心对称

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，

弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中：

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论；

即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 中任意1个条件推出其他3个结论。

B

D

O E A

C

A

B

C

O D

F E

圆周角和圆心角的关系

【知识要点三：圆周角定理】

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角

∴2AOB ACB ∠=∠

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角

∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒

注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。

A

B

C

O

A

B

C

O

D

A

B

C

O

【知识要点四：三角形的外接圆】

1．______________________________________________确定一个圆．

2．在⊙O 上任取三点A ，B ，C ，分别连结AB ，BC ，CA ，则△ABC 叫做⊙O 的________________；⊙O 叫做△ABC 的_______________；O 点叫做△ABC 的_______，它是△

ABC _________________的交点．

3．锐角三角形的外心在三角形的_______部，钝角三角形的外心在三角形的____________部，直角三角形的外心在________________． 【知识要点五：直线与圆的位置关系】 直线和圆相交，即d _________ r ； 直线和圆相切，即d _________ r ； 直线和圆相离，即d _________ r . 【知识要点六：切线长定理】

切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 推论：圆外切四边形两组对边的和相等。

已知圆I 是四边形ABCD 的内切圆，E/F/G/H 分别是AD/AB/BC/CD 的切点； 【知识要点七：弧长及扇形的面积】

弧长公式:ι=，其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位。

由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C=2πR ，所以1°的

圆心角所对的弧长是

×2πR ，即，可得半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长ι

=．圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的，所以圆心角是n °的扇形面积是S

扇形=πR 2

．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R 带

平方，分母为360；而弧长公式中半径R 不带平方，分母是180）．已知S 扇形、ι、n 、R 四

180R

n π3601180R

π180R n π3601

360n

1

量中任意两个量，都可以求出另外两个量．扇形面积公式S扇=ιR，与三角形的面积公式

2

有些类似．只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R看作高就比较容易记了．

圆中的模型

圆——综合小题

7．如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC 交于点E ，有如下结论：① PA=PB+PC ，②

111

PA PB PC

=+

;③ PA ·PE=PB ·PC ．其中，正确结论的个数为（ ）。 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个

8、如图，以半圆的一条弦BC 为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若

DB AD ＝3

2

，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）．

A ．54

B ．34

C ．24

D ．4

9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，BC ＝2，O ，H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A ．387

37-π

B ．

38734+π C ．33

4+π D ．π

B

A

C

D

O