第一册正余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的图象课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解: （1） y=sinx+1, x∈[0,2π] 列表
x
0
sinx sinx+1
解: （1） y=sinx+1, x∈[0,2π] 列表
x
0
sinx 0 1 0 -1 0 sinx+1
解: （1） y=sinx+1, x∈[0,2π] 列表
x
0
sinx 0 1 0 -1 0 sinx+1 1 2 1 0 1
特别强调
1. 周期函数的周期常常不止一个，如
都是y=sinx的周期
事实上，
常数 都是它的周期
2. 周期T中最小正数叫做f(x)的最小正周期(有些周 期函数没有最小正周期).
3.若无特别说明，周期指函数的最小正周期
三、作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象
三、作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象 法一：单位圆法
与 x 轴的交点 图像的最高点 图像的最低点
法二、用五点法作y=sinx , x∈[0, ]的简图
x
0
2
3
2
2
sin x
法二、用五点法作y=sinx , x∈[0, ]的简图
x
0
2
3
2
2
sin x 0
1
0
-1
0
y
1
. (0, 0) O -1
.( , 1) 2
2
3
.( , 0) 2
2
.
x
(2 , 0)
一、正弦函数、余弦函数的定义:
实 数
在弧度制下
唯一确定
正
角
弦
一一对应
一对多
值
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象+教案-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章 三角函数5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教学设计一、教学目标1.理解正弦函数、余弦函数图象的画法2.借助图象变换，了解函数之间的内在联系3.通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给我们的学习带来的好处，并熟练地画出一些简单的函数的图象 二、教学重难点 1、教学重点正弦函数、余弦函数的图象 2、教学难点利用单位圆画出正弦函数的图象 正弦函数与余弦函数图象间的关系 三、教学过程 1、新课导入回顾旧识正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则sin ,yMP r α== cos .xOM rα== 有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线. 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x +2π)=sin x ，cos(x +2π)=cos x 来表示.这说明，自变量每增加（减少）2π.正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程. 2、探索新知正弦函数的图象下面先研究函数y =sin x ，x ∈R 的图象，从画函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象开始.用课件演示“正弦函数图象的几何图法” 教师引导学生交流讨论图象生成过程第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里12n =）等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里12n =）等份.第二步：在单位圆中画出对应于角πππ0,,,,,2π632（等价于“列表”）的正弦线.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象.思考：根据函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图像，你能想象函数y =sin x ，x ∈R 的图象吗？由诱导公式一可知，函数sin ,[2π,2(1)π],y x x k k k =∈+∈Z 且0k ≠的图象与y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y =sin x ，x ∈R 的图象.正弦曲线：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？π3π(0,0),(,1),(π,0),(,1),(2π,0)22-描出这五个点，y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.这五个关键点分别是图象的最高点，最低点，图象与x 轴的三个交点. 在精确度不太高时，常采用“五点法”作正弦函数的简图. 用“五点法”作正弦曲线的一般步骤：（1）先描出π3π(0,0),(,1),(π,0),(,1),(2π,0)22-这五个点；（2）把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到sin y x =在[0,2π]上的简图；（3）通过左、右平移（每次平移2π个单位长度）即得到正弦函数sin ()y x x =∈R 的图象.余弦函数的图象思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变化为余弦函数的图象？根据诱导公式πcos sin()2x x =+，可以把正弦函数sin y x =的图象向左平移π2单位长度即得余弦函数cos y x =的图象. 余弦曲线：余弦函数cos ,y x x =∈R 的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.教师：画余弦函数的简图，关键点是哪几个？ 余弦函数cos ,[0,2π]y x x =∈的图象中，五个关键点是：π3π(0,1),(,0),(π,1),(,0),(2π,1).22-在精确度不太高时，常采用“五点法”作余弦函数的简图.用“五点法”作余弦曲线的一般步骤：（1）先描出π3π(0,1),(,0),(π,1),(,0),(2π,1)22-这五个点；（2）把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到cos y x =在[0,2π]上的简图；（3）通过左、右平移（每次平移2π个单位长度）即得到余弦函数cos ()y x x =∈R 的图象.例1 画出下列函数的简图：（1）1sin ,[0,2π];y x x =+∈（2）cos ,[0,2π]y x x =-∈ 解：（1）按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来：（2）按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来.思考：你能利用函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象，通过图象变化得到y =1+sin x ，x ∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y =cos x ，x ∈[0,2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y =－cos x ，x ∈[0,2π]的图象？能，以函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y =1+sin x ，x ∈[0,2π]的图象.能，以函数y =cos x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x 轴的对称图象，所得图象即函数y =－cos x ，x ∈[0,2π]的图象.3、课堂练习1.用“五点法”作2cos 1y x =-在[0,2π]上的图象时，应取的五点为( )A.(0,1),π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,(π,1)-,3π,02⎛⎫⎪⎝⎭,(2π,1)B.(0,1),π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,(π,3)-,3π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2π,1)C.(0,1),(π,3)-,(2π,1),(3π,3)-,(4π,1)D.(0,1),π316⎛⎫ ⎪⎝⎭,π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0,π2，π,3π2,2π .代入解析式可得五个点的坐标分别为(0,1) ,π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,(π,3)- ,3π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,(2π,1)，故选B.2.用“五点法”作出函数12sin ,[π,π]y x x =-∈-的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间.1;y >②1y <.(2)若直线y a =与12sin ,[π,π]y x x =-∈-的图像有两个交点，求a 的取值范围. 【答案】列表如下：xπ-π2-0 π2πsin x 0 -1 0 1 0 12sin x -131-11（1）由图像可知，图像在直线1y =上方部分时1y >，在直线1y =下方部分时1y <, 所以①当(π,0)x ∈-时，1y >；②当(0,π)x ∈时，1y <. (2)如图所示，当直线y a =与12sin ,[π,π]y x x =-∈-的图像有两个交点时，13a <<或11a -<<，所以a 的取值范围是(1,1)(1,3)-⋃.4、小结作业小结：正弦曲线、余弦曲线的几何画法和五点法. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、复习引入二、画正弦函数、余弦函数的图象 1.利用正弦线画正弦函数的图象 2.利用图象变换画余弦函数的图象 三、应用举例 例1四、归纳小结。
5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第1课时)课件高一上学期数学
π
的图象向右平移 个单位长度,得到
2
g(x)的图象.
3.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( B )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析 当 x=0 时,y=1;当
当
3π
x= 时,y=2;当
2
π
x=2 时,y=0;当
x=π 时,y=1;
x=2π 时,y=1.结合选项中的图象可知 B 正确.故选 B.
π
3
2
2π
0
1
1
2
3
规律方法
用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]
上的简图的步骤.
(1)列表:
x
0
sin x(或cos x) 0(或1)
y
π
2
1(或0)
b(或A+b) A+b(或b)
π
3π
2
2π
0(或-1)
-1(或0)
0(或1)
b(或-A+b)
解 将 y= 1-cos 2 化为 y=|sin x|,
即 y=
sin(2π ≤ ≤ π + 2π,∈Z),
-sin(π + 2π < < 2π + 2π,∈Z).
因此首先作出函数y=sin x的图象,然后将图象在x轴下方的部分翻折到上
方即可得到函数y=|sin x|的图象,其图象如图所示.
x的取值集合为
解析 当
π
2
,m),则m=
2π
4π
{x∣ 3 +2kπ<x< 3 +2kπ,k∈Z}
第5章-5.3.1-正弦函数、余弦函数的图象与性质高中数学必修第一册湘教版
图5.3.1-9
知识点2 正弦函数、余弦函数的性质
例2-2 (2024·北京四十四中期中)若函数 = sin 和 = cos 在区间上都是增函数，
则区间可以是( D
A. 0,
π
2
)
B.
π
,π
2
C. π,
3π
2
D.
3π
, 2π
2
【解析】函数 = sin 和 = cos 在区间D上都是增函数，则区间D为
性质：值域为[0,1]；是偶函数；周期为π ；
π
π
在区间[− + π, π] ∈ 上单调递增，在区间[π, + π] ∈ 上单调递减.
2
2
例12 (2024·江西省宜春市宜丰中学月考)函数 = cos ⋅ ln
上的图象大致为( B
)
A.
B.
【解析】 − = cos − ⋅ ln
1 = −1 ，又 1 = − −1 ，因此 1 = −1 = 0，故C正确;对于D，
1
2
= −
3
2
，所以
1
2
+
3
2
= −
3
2
+
3
2
= 0，故D错误.
知识点4 正弦型函数 = + 及余弦型函数 = +
的性质
例4-7 (2024·山西省晋城一中月考)函数 = 2sin
2 3
3
π
此时− ≤ sin 2 + ≤ 1,
2
3
π
∴ − 3 ≤ 2sin 2 + ≤ 2.
3
∴ 函数 = 2sin 2
正弦函数余弦函数的图象【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
O
x
“五点法”画正弦、余弦函数图象：
正弦函数、余弦函数图象的画法：
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
画出函数
的简图：
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正弦函数、余数函数的图象 画出函数
5 y=1+sinx，x [0, 2 ] 则 解 集 是 { x | + 2 k x + 2 k ,k Z } . 正弦函数、余弦函数图象的画法：
的简图. 正弦函数、余数函数的图象
探究4：类比于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？请将它们的坐标填入下表，然后作出
的简图.
-1 0 函数在[0,2π]
范围1 以外0的图象-与1 此y范围的图象有什么关系呢?
-1 0
1 0 -1 2
y1sinx
1
210
1
正弦函数、余弦函数图象的画法：
y
-
-
1
1-
6 -4 -34
-2 2 -
oo
-1-
-1
2 2
43
4 6 5
6xx
函 数 y s in x x R 的 图 象
正弦曲线
探究2：你能利用学过的知识作y=cosx的 图象？
ycox ssix n()， xR
2
结 论 :把 正 弦 函 数 ysinx,xR 的 图 象 向 左 平 移
个 单 位 ， 得 到 余 弦 y 函 数 ycosx,xR 的 图 象 .
【课堂小结】
1.代数描点法（误差大）
正余弦函 数图象 的作法
2.几何描点法（精确但步骤繁） 3.五点法（重点掌握）
4.平移法
其中五点法最常用，要牢记五个关键点的坐标.
人教A版数学必修第一册 5-4三角函数的图象与性质5-4-2正弦函数、余弦函数的性质 课件
2
10
4
A. cos 3 > sin 1 > sin 7
2
10
4
B. cos 3 > sin 7 > sin 1
2
4
10
C. cos 3 < sin 1 < sin 7
2
10
4
D. sin 7 < cos 3 < sin 1
4
2
10
四 求正、余弦函数的值域与最值
例8
与三角函数有关的函数的值域（或最值）的求解思路 1.求形如y＝asin x+b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性 （-1≤sin x≤1）求解. 2.对于形如y＝Asin （ωx+φ）+k（A，ω≠0）的函数，当定义域为R时 ，值域为［-|A|+k，|A|+k］；当定义域为某个给定的区间时，需确定 ωx+φ的范围，结合函数的单调性确定值域.
训练题
1. ［2020·南昌新建一中高一期末］已知函数f（x）＝-sin 2x+asin x+1. （1）当a＝1时，求函数f（x）的值域. （2）若当a>0时，函数f（x）的最大值是3，求实数a的值.
解：（1）当a=1时，f（x）=-sin2x+sin x+1，
令t=sin x，
-1≤t≤1，则y=-t2+t+1=-
图象
定义域 值域
周期性 奇偶性
R ［-1，1］ 最小正周期为2π
奇函数
y＝cos x
R ［-1，1］ 最小正周期为2π
偶函数
单调性
最值 图象的 对称性
在［（2k-1）π，2kπ］（k∈Z）上是增函数； 在［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z）上是减函数
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1
第一册正余弦函数的图象
第一册正余弦函数的图象第一册正余弦函数的图象河南省说课
大奖赛
高中新教村《数学》第一册（下）
§4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）
正弦函数、余弦函数的图象
单位：河南省济源市第一中学
作者：石 明 秀
时间：2000年9月9日一、教材分析：
本节课是高中新教材《数学》第一册（下）§4.8《正弦函数、
余弦函数的图象和性质》 的第一节，是学生在已掌握了一些基本函
数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法．为今
后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研
究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是
至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用．
二、学情分析：
在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描
点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，
加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因
为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。
2
动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。
三、教学目标：
依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标：
知识目标是：1．理解几何法作图原理（难点）；
2．掌握五点法作图（重点）；
3．了解三角函数图象的变换作图．
能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析
问题、
解决问题的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想．
发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和
勇于
探索、勇于创新的精神，提高综合素质．
四、设计理念：
教无定法，贵在得法．诱思探究学科教学论认为：在教学思想
上是启发式，在教学过程上是探究式，在教学价值上是发展式。德国
教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于
激励、唤醒、鼓舞．为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参
与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学
活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣．采用启发、引
导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法；教给学生“多动手、
勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法．体现“教
3
师是主导，学生是主体”的教学原则．使学生不但“学会”而且“会
学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学
的学习兴趣．也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人
才的需要．
五、教学程序：
本节课的教学过程设计，主要是从“三性”即“课堂流程的可操
作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整
个教学过程作如下安排：
教学程序图如下：
第一部分：导入．先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，
再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣．指出这种形状的曲
线就是今天要研究的正、余弦函数的图象．如何作出该曲线呢？
以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带
着问题，有目的地参与下列教学活动．
第二部分：几何法作图．引导学生在单位圆中作出特殊角的三角
函数线，并进行平移，描点作图．先作出 y＝sinx(x∈[0，2π])和
y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出 y＝
sinx，x∈R的图象．同法得出 y=cosx，x∈R的图象．
第三部分：多媒体展示．教师利用多媒体展示用Flash动画制作
的，规范作图过程和步骤,统一认识y＝sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx(x
∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的
长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。
4
第四部分：“五点法”作图．曲线形成后，让学生观察图象的形
状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤．
第五部分：总结．让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目
标，教师再补充．这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知
识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用．
如此设计，联系了新旧知识，体现了从特殊到一般，再由一般
到特殊的认知规律.在这种螺旋式上升的过程中，学生将通过自己的
亲自动手实践,不仅学到本节课的知识，而且还将提高思维水平和认
知能力．同时也体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材
料,研究获本质,思维促发展"的教学思想．同时在教学过程中配以多媒
体课件的展示，图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使
学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率．
为了突破几何法作图这个难点，制作了多媒体课件，将 y＝
sinx，x∈R
和 y＝cos x，x∈R图象的作法分解为三个问题来解决，降低了
难度．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成
过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣，调动学生
的积极性(通过教学也的确是这样的)．及时让学生跟着演示作图，提
高学生的动手能力、模仿能力、创造能力．直观的动画，不仅使学生
愉快地接受新知识，而且将激发学生的创造性思维和想象力，使学生
充分发挥其思维潜能，拓展思维空间．
用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点．第一步设疑：
5
“几何法作图．由于取点个越多，画出的图象也就比较精确，但也较
为麻烦．在精确度要求不高的前提下，能否少定一些点，作出其简图
呢？”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心，激起学生强烈的求知
欲．第二步引导：让学生观察正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]和余弦
函数y＝ cosx，x∈[0，2π]的图象，启发哪些点对决定图象的形状
起着关键的作用呢？引导学生寻找出五个关键点．体现教师的主导作
用；第三步小结：让学生分组讨论，互相补充，归纳出五点法作图步
骤．教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题，然后
小结：“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图，对于
以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用．这样设计体现了
“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为
教学的主体．
应用：画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx x∈［0,2π］;
(2)y=－cosx x∈［0,2π］.
解:(1)按五个关键点列表:
利用正弦函数的性质描点画图(如下图).
(2)按五个关键点列表:利用余弦函数的性质描点作图(如下图).
反馈练习:
1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和
y=cosx,x[－ , ]的简图.通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就
可以得到前者?
6
2.观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间:
(1)sinx＞0 (2)sinx＜0 (3)cosx＞0 (4)cosx＜0
（例题、练习都用课件展示）
本节例题仍选用教材上的例题，但解答除“五点法”之外，又引
导学生利用函数图象的平移对称变换来作图．通过一题多解，可帮助
学生加深对知识的认知程度，培养灵活的思维方式．学会遇到新问题
时，善于调动所学过的旧知识，运用新旧知识间的联系，增强分析问
题和解决问题的能力．
反馈练习设计层次分明：练习1为巩固基础知识型，对课堂内容
知识的再认识(五点作图及图象变换);练习2为提高能力型,是对正(余)
弦函数图象的灵活运用，由易到难，体现因材施教重效果,循序渐进
促发展的教学理念．
最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达
到发展和升华，能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫，提高
综合素质．
六、板书设计：(略)
七、布置作业：(略)