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第九章 概率与统计初步

一、计数原理 1、 （分 数）加法原理：完成一件事情，有 n 法，在第 1 法中有 m1

种不

同的方法，在第 2 法中有 m2 种不同的方法，⋯⋯在第 n 法中有 mn 种不同的

方法，那么完成 件事情，共有： N m1 m 2 mn 种不同的方法； 2、 （分步 数） 分步乘法原理： 完成一件事情， 需要分成 n 个步 ， 做第 1 步有 m1 种 不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，⋯⋯做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么 完成 件事情，共有： N m1 m2 mn

种不同的方法；

3、 区分做事情的方法是“分 ” 是“分步”主要看能否一步做完，能 一步做完的 就是分 （用加法原理） ，不能一步做完的，就是分步（用乘法原理） ；

二、排列与组合

1、 排列数公式：从 n 个不同的元素中取出 m m n 个不同元素的所有排列的个数，

叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个不同元素的排列数，用符号 Amn 表示，且：

m n n 1 n 2 n m 1 , m n A n

2 n 的 乘：自然数 1 到 n 的 乘 ，叫做 n 的 乘， 作： n!

，且： 、

n! n n 1 n 2 2 1 , 规定：0！ 1 m n! 易知排列数公式也可写 为： An

n m !

3、 合数公式：从 n 个不同的元素中取出 m m n 个不同元素的所有 合的个数， 叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个不同元素的 合数，用符号 m n n 1 n 2 n m 1

mA n

C n m m 1 m , m n

m! 2 2 1

C mn 表示，且：

0 , 规定：Cn 1

合数公式也可写 ： m n! C n

n m ! m!

4、 合数的两个性 ： 1 C mn C nn m 2 C nm 1 C nn m C mn 1

5、 排列与 合的区 ：排列与 序有关； 合与 序无关。

第 1 页 三、概率 1、 基本概念 （ 1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象； （ 2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以 明确知道的， 并且这些可能结果不止一个； 每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生； （ 3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母 A 、B 、 C

表示； （ 4） 必然事件： 在一次随机试验中必然要发生的事件， 用 表示（ 读作“omiga ”，对应的小写希腊字母是“ω” ）；

（ 5） 不可能事件： 在一次随机试验中不可能发生的事件， 用 表示（ 读作“ fai ”）；

（ 6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件； （ 7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件； 2、 频数与频率

1 n 次重复试验中，事件 A 发生了 m 次 0 m n ， m 叫做事件

A 发 （ ） 频数：在

生的频数； （ 2） 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的频数在试验总次数中所占的比例

m

，

n 叫做事件 A 发生的频率；

3、 概率

（ 1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附件， 那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：； （ 2） 概率的性质：

i. 对于必然事件 ： P 1

ii. 对于不可能事件 ： P 0

iii. 0 P A 1 4、 古典概型

（ 1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；

（ 2） 概率：设试验共有 n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件 A 包含 m 个基本事件，那么事件发生的概率为：

P A A包含的基本事件 m

基本事件总数 n

（ 3） 事件的“交” ：“ A B ”表示 A、 B 同时发生，记作： AB ； （ 4） 事件的“并” ：“ A B ”表示 A、 B 中至少有一个会发生，又称为事件 A 与事 件 B 的和事件；

第 2 页 （ 5） 事件的“否” ： A 表示事件 A 的对立事件；（ A 读作 a bar，“A 拔”）

（ 6） 互为对立的事件： 若事件 A 是事件 B 的对立面， 且 A B , A B

;（对

立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件 A 与 B 有且仅有一个发生）

（ 7） 互斥事件（互不相容事件） ：不可能同时发生的两个事件，即： A B ；（对

立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件） （ 8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的可能

性的大小， 即在事件 A 发生的情况下， 事件 B 发生的概率等于事件 B 原来的概率， 那么称事件 A 与事件 B 相互独立； ( 事件 A 发生与否，不影响事件 B 的概率 )

（ 9） 若 A 、 B 是互斥事件，则： P A B P A P B

（ 10）若 A 、 B 是对立事件，则： 1 P A P B ，即： P A 1 P A （ 11）若 A 、 B 不是互斥事件，则： P A B P A P B P A B （ 12）若 A 、 B 是相互独立事件，则： P A B P AB P A P B 四、总体、样本与抽样方法 例 1：为了了解全校 1120 名一年级学生的身高情况，从中抽取 100 名学生进行测量； 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例 1 中“全校 1120 名一年级学生的身高” 是总体； 2、 个体：组成总体的每一个对象；例 1 中“全校每一位一年级学生的身高”是个体； 3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例 1 中“抽取的 100 名一年级学生的身高”是

样本； 4、 样本容量：样本所含个体的数目；例 1 中“ 100”是样本容量； 5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；

6、 说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，

且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组 成时，常采用分层抽样；

五、用样本估计总体

1、 样本均值： x 1 x1 x2 xn

n

样本方差： S2 1 x1 2 2 x

n

2

2、 x x2 x x

n

3、 样本标准差： S 1

x1 x 2 2 xn x

2 x2 x

n 4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；

第 3 页 5、 作频率分布直方图的方法：①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形， 它的高等于该组的频率 /组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。

注：频数是指各组内数据的个数； 每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；

例：作出表格 1 中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索） 表格 1

分 组 频 数 频 率 频率 / 组距 [150.5 ，153.5 ） 4 0.04 0.013

[153.5 ，156.5 ） 8 0.08 0.026

[156.5, 159.5) 8 0.08 0.026 [159.5, 162.5) 11 0.11 0.036 [162.5, 165.5) 22 0.22 0.073 [165.5, 168.5) 19 0.19 0.063 [168.5, 171.5) 14 0.14 0.046 [171.5, 174.5) 7 0.07 0.023 [174.5, 177.5) 4 0.04 0.013 [177.5, 180.5) 3 0.03 0.01 合 计 100 1

如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来， 就得到 一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图

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