北师大必修4数学7.平面向量应用举例
高中数学第二章平面向量27向量应用举例课件北师大版必修4
解法二：(1)∵所求直线与向量 a＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝15(x－2)， 即 x－5y－7＝0. (2)∵所求直线与向量 a＝(5,1)垂直， ∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝－5(x－2)， 即 5x＋y－9＝0.
对直线 l：Ax＋By＋C＝0 的方向向量及法向量的两点说明 (1)设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P→1P2＝ (x2－x1，y2－y1)及其共线的向量 λP→1P2均为直线的方向向量．显 然当 x1≠x2 时，向量(1，yx22－ －yx11)与P→1P2共线，因此向量(1，－AB) ＝B1(B，－A)为直线 l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B， －A)为直线 l 的方向向量．
又因为点 M(x0，y0)在圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 上， 所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 所以(2x)2＋(2y)2＝4，即 x2＋y2＝1， 所以点 N 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
——易错警示——
向量在几何应用中的误区
【例 5】
在 △ ABC
中，
已
知向
量
→ AB
(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用 向量 表示； ②转化为 向量问题 的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
[答一答] 3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？
提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为 数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学 模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的 数值去解释一些物理现象．
高中数学 北师大必修四 2.5平面向量应用举例课件
思考7：如果不用向量方法，你能证明上 述结论吗？
探究（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置
关系？
交于一点
思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE
相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点
P，你有哪些办法？
A
证明PC⊥AB.
夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的
关系如何？
F
| F1 |
|G | 2 cos 2
θ
F1
F2
θ∈[0°，180°)
G
思考5：上述结论表明，若重力G一定， 则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物 理学背景下，这个函数的定义域是什么？ 单调性如何？
| F1 | | G | , θ∈[0°，180°)
D
C
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2. b Aa B
思考4：利用 | AC |2 (AC)2 ，若求| AC | 需要解决什么问题？
思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2， 如何求a·b？ | AC | 等于多少？
a b 1 , | AC | 6 2
思考6：根据上述思路，你能推断平行四 边形两条对角线的长度与两条邻边的长 度之间具有什么关系吗？
E F
P
B
D
C
思考3：设向量PA a，PB b，PC c， 那么PC⊥BA可转化为什么向量关系？
A
E
Fa
c·(a－b)＝0.
P
bc
B
D
C
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观 点可分别转化为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
高中数学 第2章 平面向量 7 向量应用举例学业分层测评 北师大版必修4
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 平面向量 7 向量应用举例学业分层测评 北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2【解析】 因为直线l 的法向量为(m,2)，由题意得(m,2)(1－m,1)＝0， 所以m (1－m )＋2＝0，解得m ＝2或－1. 【答案】 D2．点P (1,2)到直线l ：5x －12y －7＝0的距离d ＝( ) A ．2 B ．4 C.12D ．3【解析】 d ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2. 【答案】 A3．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA →与OB →关于y 轴对称，向量a ＝(1,0)，则满足OA →2＋a ·AB →＝0的点A (x ，y )的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋y 2＝0 D ．x 2＋(y －1)2＝1【解析】 因为OA →与OB →关于y 轴对称，所以OB →＝(－x ，y )， 所以OA →2＝x 2＋y 2，AB →＝OB →－OA →＝(－2x,0)， 所以OA →2＋a ·AB →＝0可表示为x 2＋y 2＋(1,0)·(－2x,0)＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.【答案】 B4．已知△ABC 满足AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【解析】 由题意得，AB →2＝AB →·AC →＋AB →·CB →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →， ∴△ABC 是直角三角形． 【答案】 C5．如图2－7－3所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 中点，若DE →⊥AC →，则DE →＝( )图2－7－3A ．52 B ．23 C ．3D ．2 2【解析】 如图，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，E (2,0)．设AD ＝m .则D (0，m )，C (4，m )． ∵DE →⊥AC →，∴DE →·AC →＝0， 而DE →＝(2，－m )，AC →＝(4，m )， ∴8－m 2＝0，即m 2＝8， ∴|DE →|＝22＋m 2＝12＝2 3. 【答案】 B 二、填空题6．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(2，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位长度)．设开始时点P 的坐标为(－1,1)，则3秒后点P 的坐标为________．【解析】 设点A (－1,1)，3秒后点P 运动到B 点，则AB →＝3 v ，所以OB →－OA →＝3 v ，所以OB →＝OA →＋3v ＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)． 【答案】 (5，－8)7．河水的流速为2m/s ，一艘小船以10 m/s 的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________ m/s.【解析】 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，|v 1|＝2，|v |＝10.因为v⊥v 1，所以v·v 1＝0， 所以|v 2|＝|v －v 1|＝v 2－2v·v 1＋v 21 ＝100－0＋4＝104＝226. 【答案】 2268．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.【导学号：66470060】【解析】 选CA →，CB →为基底，则AD →＝CA →＋12CB →，BE →＝－CB →＋13CA →，∴AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－CA →＋12CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－CB →＋13CA →＝－13CA →2－12CB →2＋76CA →·CB →＝－13－12＋76×1×1×cos 60°＝－14.【答案】 －14三、解答题9．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)． (1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.【解】 (1)由题意得AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以AB →⊥AC →，即∠A ＝90°.因为|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°.(2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)． 又因为A (1,2)，所以AM →＝(1，－2)， 所以|AM →|＝12＋－22＝ 5.10.如图2－7－4，已知Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，M 在OB 上，且OM ＝1，N 在OA 上，且ON ＝1，P 为AM 与BN 的交点，求∠MPN .图2－7－4【解】 设OA →＝a ，OB →＝b 且AM →， BN →的夹角为θ，则OM →＝12b ，ON →＝13a .又∵AM →＝OM →－OA →＝12b －a ，BN →＝ON →－OB →＝13a －b ，∴AM →·BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b ＝－5，|AM →|＝10，|BN →|＝5，∴cos θ＝－55·10＝－22. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.又∵∠MPN 即为向量AM →，BN →的夹角，∴∠MPN ＝3π4.[能力提升]1．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上【解析】 由OP →＝3OA →－OB →2，得2OP →＝3OA →－OB →，即2(OP →－OA →)＝OA →－OB →， 即2AP →＝BA →＝－AB →， 即AP →＝－12AB →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 【答案】 B2．(2016·宝鸡高一检测)设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15 B ．45 C.14D ．13【解析】 如图(1)所示，过P 作PE ∥AC ，交AB 于点E ，过P 作PF ∥AB ，交AC 于点F ，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，(1) (2)由平面向量基本定理及AP →＝25AB →＋15AC →，可知AF →＝15AC →，|PE |＝|AF |，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪PE AC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AF AC ＝15，又因为Rt △ACD ∽Rt △EPO ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪PO CD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PE AC ＝15，S △ABP S △ABC ＝12|AB ||PO |12|AB ||CD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PO CD ＝15， 如图(2)所示，同理可证S △ABQ S △ABC ＝12|AB ||QG |12|AB ||CH |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪QG CH ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪QM AC ＝14，所以S △ABP S △ABQ ＝15S △ABC14S △ABC ＝45.【答案】 B3．如图2－7－5所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 和OB 交点P 的坐标为________．图2－7－5【解析】 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP →＝OP →－OA →＝(4t －4,4t )， AC →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线得(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0， 解得t ＝34，∴OP →＝(4t,4t )＝(3,3)， ∴P 点坐标为(3,3)． 【答案】 (3,3)4. (2016·柳州高一检测)如图2－7－6所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN＝14AB ，图2－7－6(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值． 【解】 (1)因为AN ＝14AB ，所以AN →＝14AB →＝14a ，所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b.因为BM ＝23BC ，所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ，所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b.(2)因为A ，O ，M 三点共线，所以AO →∥AM →. 设AO →＝λAM →，则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋23b －b ＝λa ＋⎝⎛⎭⎪⎫23λ－1b .因为D ，O ，N 三点共线，所以DO →∥DN →， 存在实数μ使DO →＝μDN →，λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ，b 不共线， ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →，OM →＝1114AM →，所以AO ∶OM ＝3∶11.。
向量应用举例课件-北师大版高中数学必修4
得x＝65， y＝85，
所以点 P 坐标为65，85.
所以| AP |＝ 652＋852＝2＝| AB|，即 AP＝AB.
2．[变条件，变设问]如图，在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对 角线 AC 的长． 解：设―A→D ＝a，―A→B ＝b，则―B→D ＝a－b，―A→C ＝a＋b， 而|―B→D |＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b ＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12， 又|―A→C |2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴|―A→C |＝ 6，即 AC＝ 6.
4 ． 过 点 A( － 1,2) ， 且 平 行 于 向 量 a ＝ (3,1) 的 直 线 方 程 为 __________．
解析：设点 P(x，y)是所求直线上的任意一点， 则 AP＝(x＋1，y－2)． ∴ AP∥a，∴(x＋1)－3(y－2)＝0. 即 x－3y＋7＝0.∴直线方程为 x－3y＋7＝0. 答案：x－3y＋7＝0
§7 向量应用举例
一、预习教材·问题导入 1．如何计算点 M(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离？ 2．直线的法向量的定义是什么？
二、归纳总结·核心必记
1．点到直线的距离公式
|ax0＋by0＋c|
点 M(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2＋b2 .
2．直线 l：ax＋by＋c＝0 的法向量 (1)与直线的方向向量 垂直 的向量称为该直线的法向量．
已知直线 l 经过点 A(1，－2)，且直线 l 的一个法向量 n＝(2, 3)， 求点 B(2, 3)到直线 l 的距离．
解：依题意得 AB＝(1,5)，由距离的向量公式 d＝
高中数学必修四《平面向量应用举例》PPT
限
时
所以A→F＝18，－5
8
3，
集 训 · 考
力
所以A→F·B→C＝18，－583·(1，0)＝18.故选 B.
提 升
考
点
探
究
·
考
法
归
纳
菜单
高考专题辅导与训练·数学（理科）
第一篇 专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、不等式
考
纲
解
读 ·
解答程序框图问题的关注点
真
题 回
(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图
·
考
法
归
纳
菜单
高考专题辅导与训练·数学（理科）
第一篇 专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、不等式
考
纲
解
读
·
真
题 回
解答平面向量问题的关注点
放
限
时
(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组
集 训
·
考
基底；同时注意共线向量定理的灵活运用.
力 提
升
考
点 探
(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向
第一篇 专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、不等式
考
纲
解 读
解析 (1)因为B→C＝A→C－A→B＝(2a＋b)－2a＝b，
·
真 题
所以|b|＝2，故 A 错误；
回
放
由于A→B·A→C＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝2×2×12＝
限 时
集
2，所以 2a·b＝2－4|a|2＝－2，所以 a·b＝－1，故 B，C
菜单
高考专题辅导与训练·数学（理科）
高中数学 第二章 平面向量数量积的应用例题讲解素材 北师大版必修4
平面向量数量积的应用平面向量的数量积及其性质是平面向量的重点内容，在平面向量中占重要的地位.利用平面向量的数量积及其性质可以处理向量的许多问题.下面举例归纳说明.一、求向量的长度（模） 求向量的长度的依据是：①2a a a =·；②设=a ()，x y ，则a = 例1 已知5ab ==，向量a 与b 的夹角为π3，求a b +，a b -． 解：依题意，得2225a a ==，2225b b ==，π125cos55322a b a b ==⨯⨯=·．∴+==a b ．同理，5a b -=.二、求解两向量的夹角问题求两非零向量a 与b 的夹角θ的依据是：①cos a b a b θ=·；②设a =11()，x y ，b =22()x y ，，则cos θ=例2 已知，a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，求a 与a b +的夹角．解：设a 与a b +的夹角为θ，由a b =，得22a b =． 又由22222b a b a a b b =-=-+·，212a b a ∴=·． 而222223a b a ab b a +=++=·，a b ∴+=，221()2cos θ++∴===+a a a a b a a b ， 0180θ≤≤，30θ∴=．三、判断两向量的垂直问题判断两向量垂直的依据是：①若a 与b 为非零向量，则0a b a b ⊥⇔=·；②设非零向量a =11()x y ，，b =22()x y ，，则⊥a b 12120⇔+=x x y y ．例3 已知(43)(32)22a b c a b d a b λλ=--=--=+=-+，，，，，，则当实数λ为何值时，向量c d -与a 垂直．解：22c a b d a b λλ=+=-+，，(2)(2)3c d a b a b a b λλλ∴-=+--+=-．(43)(32)a b =--=--，，，，3(43)(32)(12392)c d λλλ∴-=-----=-+-+，，，．若()c d a -⊥，则(123)(4)(92)(3)0λλ-+-+-+-=··，256λ∴=． 四、判断多边形的形状例4在平面四边形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，CD =c ，DA =d ，a b b c c d d a ===····，问该四边形ABCD 是什么图形？解：a b b c =··，()0b a c ∴-=·，即()b a c ⊥-；同理，()d a c ⊥-．由题意，显然有b d ∥；同理，a c ∥．∴四边形ABCD 是平行四边形．又()⊥-∴⊥，，b a c a c b a ∥．∴ 四边形ABCD 是矩形．五、求解最值问题例5 如图1，在Rt △ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时，BP CQ 的值最大？并求出这个最大值．解法一：如图2，AB AC ⊥，0AB AC ∴=·．AP AQ BP AP AB CQ AQ AC -=-=-，，，()()BP CQ AP AB AQ AC AP AQ AP AC AB AQ AB AC ∴=--=--+······22221()cos 2a AP AC AB a PQ BC a a θ=---=-+=-+··． 故当cos 1θ=，即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BP CQ ·的值最大，其最大值为0． 解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图3所示的平面 直角坐标系． 设AB c =，ACb =，则(00)(0)(0)A Bc C b ，，，，，， 且2PQ a =，BC a =．设点P 的坐标为()x y ，，则222()Q x y x y a --+=，，． ()()()(22)BP x c y CQ x y b BC c b PQ x y ∴=-=---=-=--，，，，，，，．22()()()()BP CQ x c x y y b x y cx by ∴=--+--=-++-·．22(2)()(2)cos 2PQ BCx c y b cx by a a PQ BC θ--+--===， 2cos cx by a θ∴-=．22cos BP CQ a a θ∴=-+·．故当cos 1θ=，即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BPCQ ·的值最大，其最大值为0． 六、求解探索性问题例6 已知点(12)A ，和(41)B -，，问能否在y 轴上找到一点C ，使90ACB ∠=，若不能，请说明理由；若能，求出C 点坐标．解：假设存在点(0)C y ，使90ACB ∠=，则AC BC ⊥．(12)(41)0AC y BC y AC BC =--=-+=，，，，·，4(2)(1)0y y ∴+-+=，220y y ∴-+=．而在方程220y y -+=中，0∆<，∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中数学 2.7向量应用举例课件 北师大版必修4
AB 10, AC 9t, BC 21t.
因为
所以 BC AC AB,
2
2
即 BC AC AB ,
所以B(2C12 t)2A=C(29t)22A-C2×A9Bt×1A0B×2.cos 120°+100.
第二十九页，共48页。
化简得36t2-9t-10=0,
即(3t-2)(12t+5)=0.
AP
因为 ∥a，所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0.
即所求直线方程为x－3y＋5＝0.
第十二页，共48页。
【补偿训练(xùnliàn)】求证直线l1:y=3yx-1与1 xl2:2
互
相垂直.
3
【证明】在y=3x-1中，分别令x1=0,x2=1，得y1=-1,y2=2.则
A(0,-1),B(1,2)是直线l1上的两个点，类似地，可得l2上的两点
(1, 4) 3
第三页，共48页。
【自主解答】(1)设M(x,y)是直线l上任(shàng rèn)一点， 则 =(x-1,y-1),
PM
又n⊥ ，故(4，-3)·(x-1,y-1)=0，即4x-3y-1=0.
答案：4PMx-3y-1=0
第四页，共48页。
(2)方法(fāngfǎ)一：直线l的k斜 率4 , 向量u(1=，4) 与直线l平行. ①设P是过A且与l平行的直线上的3 动点，P的坐3标是(x,y)，则
第二十页，共48页。
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos θ=
a b如，求三角形的面积用公式S= ab1sin C时，可能会利用 夹| a角|| b公| 式求出cos C，进而求出sin C2.
(5)向量的坐标(zuòbiāo)法，对于有些平面几何问题，如矩形、正 方形、 直角三角形等，可建立平面直角坐标(zuòbiāo)系，把向量用坐标 (zuòbiāo)表示， 通过代数运算解决几何问题.
高中数学 向量应用举例多媒体教学优质课件 北师大版必修4
直线的方向向量垂直的向量为该
直线的法向量.
o
.
P(x0,y0) M(x0,y0)
x
第十二页，共35页。
n A
B
n0
n
, A2 B2
. A2 B2
于是，点M x0 , y0 到直线
l : Ax By C 0的距离等于向量
PM在n0方向上射影的长度:
y
n
.
P(x0,y0) M(x0,y0)
向量和数到形
第三十四页，共35页。
不奋苦而求速效，只落得少日浮夸，老
来(lǎo lái)窘隘而已。
——郑板
桥
第三十五页，共35页。
F1Fsin30o
50
1 2
25
N
,
所以，摩擦力f 的大小为
f G F 1 80 25 0.02 1.1 N .
因此 f s fscos180o 1.1 20 1 22 J .
答 F和 f 所做的功分别是500 3J和-22J .
第二十七页，共35页。
技巧点拨： 1.将物理中的矢量用向量(xiàngliàng)表示， 2.找出向量(xiàngliàng)与向量(xiàngliàng) 的夹角， 3.利用向量(xiàngliàng)的数量积计算功.
第十八页，共35页。
课堂练习1
求下列各点到相应直线(zhíxiàn)的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0;
12 5
②P -2,0 , 4x + 3y -1 = 0 :
9 5
③P 0,0, 4x
+
7y
=
37;
37 65 65
④P -1,-2 , x + y = 0;
高中数学第二章平面向量7向量应用举例课件北师大版必修
规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理 问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量 的区别与联系． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的 加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形 法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功 抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
(2)由(1)得 F(x)＝x＋x 1＋x＝x＋1x＋1(0<x<1)，设 0<x1<x2<1，
则 F(x1)－F(x2)＝x1＋x11＋1－x2＋x12＋1
＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)1－x11x2 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由 0<x1<x2<1，得 x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0， 得 F(x1)－F(x2)>0，即 F(x1)>F(x2)． ∴F(x)在(0，1)上为减函数．
证明 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d. ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0. ∵B→C＝D→C－D→B＝d－c，∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0， ∴A→D⊥B→C.即 AD⊥BC.
则|F1＋F2|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C. 5
D．－ 5
答案 C
2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)， 则力F对物体作的功为________． 答案 4
北师大版高中数学高一必修4学案第二章7向量应用举例
向量应用举例预习课本P101～104，思考并完成以下问题1．如何计算点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离？2．直线的法向量的定义是什么？[新知初探]1．点到直线的距离公式点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝|ax0＋by0＋c|a2＋b2.2．直线l：ax＋by＋c＝0的法向量(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(b，－a)，则直线l的法向量n＝(a，b)．[点睛](1)与直线垂直的向量都是该直线的法向量，故任意直线的法向量都有无数多个．(2)若直线l的方程为y＝kx＋b，则其方向向量与法向量常分别设为(1，k)与(k，－1)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l的方向向量u＝(1，－2)，则其法向量为(2，－1) ()(2)直线的方向向量与法向量互相垂直()答案：(1)×(2)√2．直线3x－4y＋7＝0的方向向量a与法向量b可以为() A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C ．a ＝(4,3)，b ＝(3，－4)D ．a ＝(－4,3)，b ＝(3,4)解析：选C 直线Ax ＋By ＋C ＝0的一个法向量为(A ，B )，一个方向向量为(－B ，A )，故可知C 正确．3．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5 C. 5D.15解析：选C 由于F 1＋F 2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝(－2)2＋(－1)2＝ 5.4．过点A (－1,2)，且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为__________． 解析：设点P (x ，y )是所求直线上的任意一点， 则AP ＝(x ＋1，y －2)． ∴AP ∥a ，∴(x ＋1)－3(y －2)＝0.即x －3y ＋7＝0.∴直线方程为x －3y ＋7＝0. 答案：x －3y ＋7＝0向量在解析几何中的应用[典例] 已知A (2,3)，B (4，－5)，P (1,2)，求： (1)过点P 且方向向量为AB 的直线l 1的方程； (2)过点P 且法向量为AB 的直线l 2的方程； (3)过点P 且与A ，B 两点等距离的直线l 3的方程．[解] (1)由题意知AB ＝(2，－8)，故可设直线l 1的方程为－8x －2y ＋c 1＝0.① ∵点P (1,2)在直线l 1上，∴－8×1－2×2＋c 1＝0， ∴c 1＝12.即c 1＝12代入①式并化简，得直线l 1的方程为4x ＋y －6＝0. (2)设直线l 2的方程为2x －8y ＋c 2＝0.②∵直线l 2过点P (1,2)，∴2×1－8×2＋c 2＝0， ∴c 2＝14.将c 2＝14代入②式并化简，得直线l 2的方程为x －4y ＋7＝0.(3)设线段AB 的中点为M ，则点M 的坐标为M (3，－1)，PM ＝(2，－3)，又设N (x ，y )为直线l 3上任一点，则PN ＝(x －1，y －2)．由PM ∥PN ，得2(y －2)＋3(x －1)＝0，整理，得3x ＋2y －7＝0.与AB 平行的直线方程同(1)，为4x ＋y －6＝0.故满足条件的直线l 3的方程为4x ＋y －6＝0,3x ＋2y －7＝0.利用向量解决解析几何问题的方法(1)利用直线的方向向量和法向量求直线方程；(2)利用向量共线的条件处理解析几何中有关平行、共线等问题；(3)利用向量的数量积可以把有关长度、角度、垂直等几何关系转化为数量关系，从而解决问题；(4)利用平面向量的知识求动点的轨迹方程．[活学活用]已知直线l 经过点A (1，－2)，且直线l 的一个法向量n ＝(2,3)，则点B (2,3)到直线l 的距离是________．解析：依题意得AB ＝(1,5)，由距离的向量公式d ＝⎪⎪⎪⎪AB ·n |n |，可得d ＝|1×2＋5×3|22＋32＝1713＝171313.答案：171313向量在平面几何中的应用 BE ⊥CF .[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．BE ＝(－1,2)，CF ＝(－2，－1)．所以BE ·CF ＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， 所以BE ⊥CF ，即BE ⊥CF . [一题多变]1．[变设问]本例条件不变，证明AP ＝AB .证明：连接AP .建系同例题，设点P 坐标为(x ，y )， 则FP ＝(x ，y －1)，FC ＝(2,1)， 因为FP ∥FC ，所以x ＝2(y －1)， 即x ＝2y －2，同理，由BP ∥BE ，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝65，y ＝85，所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫65，85. 所以|AP |＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝2＝|AB |，即AP ＝AB .2．[变条件，变设问]本例条件变为“P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形”，求证：AP ⊥EF .证明：法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，BP ＝λBD ，则E (2，y )，F (x,2)，(x －2，y )＝λ(－2,2)，即x ＋y ＝2. 所以AP ·EF ＝(x ，y )(x －2,2－y ) ＝x 2－2x ＋y (2－y )＝x 2－2x ＋(2－x )(2－2＋x )＝0. 所以AP ⊥EF ，即AP ⊥EF .法二：如图，设AB ＝a ，DA ＝b ，由已知得，|a |＝|b |且a·b ＝0. 设DF ＝λa ，则CF ＝(λ－1)a ，DP＝λDB＝λ(a＋b)，CE＝λb，所以EF＝CF－CE＝(λ－1)a－λb，AP＝DP－DA＝λ(a＋b)－b＝λa＋(λ－1)b，AP·EF＝[λa＋(λ－1)b]·[(λ－1)a－λb]＝(λ2－λ)a2－(λ2－λ)b2＝0，所以AP⊥EF，即AP⊥EF.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用[典例]某人在静水中游泳的速度为4 3 km/h，水的流速为4 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解](1)如图①，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为OA＋OB＝OC，根据勾股定理，|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB－OA＝AB，在Rt △AOB 中，|AB |＝43，|OA |＝4，|OB |＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33， 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.利用向量解决物理问题的步骤[活学活用]如图，无弹性的细绳OA ，OB 的一端分别固定在A ，B 处， 同样无弹性的细绳OC 下端系着一称盘，且使得OB ⊥OC ， 试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大．解：如图，设OA ，OB ，OC 三根绳子的受力分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝0，a 与b 的合力为c ′＝a ＋b ，|c ′|＝|c |，在如图的平行四边形中，因为OC '⊥OB '，|B C ''|＝|OA '|，所以|OA '|＞|OB '|，且|OA '|＞|OC '|，即|a |＞|b |且|a |＞|c |，故绳OA 受力最大．层级一 学业水平达标1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为 ( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0解析：选A 设P (x ，y )是所求直线上除A 点外的任一点，则AP ·a ＝0，又AP ＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，当x ＝2，y ＝3时也成立， ∴所求的直线方程为2x ＋y －7＝0.3．已知△ABC 中，BC 边最长，AB ＝a ，AC ＝b ，且a·b ＞0，则△ABC 的形状为 ( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵a·b ＝|a |·|b |·cos ∠ABC ＞0， ∴cos ∠BAC ＞0，∴0°＜∠BAC ＜90°，又∵BC 边最长，则∠BAC 为△ABC 中最大的角，故△ABC 为锐角三角形．4．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0)D ．(0,9)解析：选A F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∵起点坐标为A (1,1)， ∴终点坐标为(9,1)．故选A.5．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12AC －AB ，∴2BD ＝⎝⎛⎭⎫12AC －AB 2＝142AC －AC ·AB ＋2AB ， 即142AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 6．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |等于________． 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案： 27．如图，作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1， |F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，则F 3的大小为________．解析：∵F 1，F 2，F 3三个力处于平衡状态， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， ∴|F 3|＝|F 1＋F 2| ＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝ 3.答案： 38．一艘船从点A 出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4 km/h ，则河水速度的大小为________km/h.解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成， 由向量加法的几何意义知，|v 水|＝ 42－(23)2＝2.答案： 29．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2， 求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2， 所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2， 所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1，F2分别对该质点所做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功．解：AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28(J)，F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23(J)．(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5(J)．层级二应试能力达标1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为() A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D l的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为() A．40 N B．10 2 NC．20 2 N D．10 3 N解析：选B|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N.3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为() A．lg 2 B．lg 5C．1 D．2解析：选D∵F1＋F2＝(1,2lg 2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次为△ABC的() A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析：选C由|OA|＝|OB|＝|OC|，知点O为△ABC的外心．如图，∵NA＋NB＋NC＝0，∴NB＋NC＝－NA.依向量加法的平行四边形法则，知|NA|＝2|ND|(D为BC的中点)，同理可得|NB|＝2|NE|，|NC|＝2|NF|，故点N为△ABC的重心．∵PA·PB＝PB·PC，∴(PA－PC)·PB＝CA·PB＝0，∴PB⊥CA，同理，得PC⊥AB，PA⊥BC，∴点P为△ABC的垂心．5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×12＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.答案：56．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．若AD ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝____________. 解析：作DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F .设AB ＝AC ＝1，则BC ＝DE ＝ 2.又∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32， ∴AD ＝AF ＋FD ＝⎝⎛⎭⎫1＋32AB ＋32AC ， ∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 327．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB ·AC 和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM |.解：(1)由题意得AB ＝(3，－1)，AC ＝(－1，－3)，AB ·AC ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.所以AB ⊥AC ，即∠A ＝90°.因为|AB |＝|AC |， 所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°. (2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)． 又A (1,2)，所以AM ＝(1，－2)． 所以|AM |＝12＋(－2)2＝ 5.8．如图所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)判断|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ， |F 2|＝|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大． (2)由|F 1|＝G cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若3x －2(x －a )＝0，则向量x ＝ ( ) A ．2a B ．－2a C.25a D ．－25a解析：选B 由题意知3x －2x ＋2a ＝0，故x ＝－2a . 2．若a 为任一非零向量，b 是模为1的向量，则下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1.其中正确的是 ( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B ①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两非零向量是否平行取决于方向是否相同或相反，故②错误；③显然正确；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误．故选B.3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于 ( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C 由题意知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ ( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 5．已知D 是△ABC 所在平面内一点，AD ＝713AB ＋613AC ，则BD ＝ ( ) A.713BC B.613BC C.137BC D.136BC 解析：选B 由题意，得BD ＝BA ＋AD ＝－AB ＋713AB ＋613AC ＝613(AC －AB )＝613BC ，所以选B. 6．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|＝|G |，则θ的值为( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选D 作OA ＝F 1，OB ＝F 2，OC ＝－G ，则OC ＝OA ＋OB ，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形， ∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为 ( ) A ．1 B.77C ．－1D.277解析：选A 设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a|a －2b |·|a |＝a 2－2a·b|a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1.8．如图，e 1，e 2为互相垂直的两个单位向量，则|a ＋b |＝ ( ) A ．20 B.10 C ．2 5D.15解析：选C 由题意，知a ＝－12e 1－72e 2，b ＝－32e 1－12e 2，所以a ＋b ＝－2e 1－4e 2， 所以|a ＋b |＝(－2e 1－4e 2)2＝4|e 1|2＋16e 1·e 2＋16|e 2|2＝20＝25，故选C.9．已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)使平面内的任一个向量c 都可以唯一表示成c ＝λa＋μb，则m的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3,3)解析：选B 由已知，知a 与b 不共线，即1×(2m －3)≠3m ，∴m ≠－3. 10. 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB ＝a ，AC ＝b ，AF ＝xa ＋yb ，则(x ，y )为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，12解析：选C ∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴F 是△ABC 的重心，则DF ＝13DC ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝AD ＋13(AC －AD )＝23AD ＋13AC ＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b ，∴x ＝13，y ＝13.11．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是 ( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：选B 法一：若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ，同理排除C ，D ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来．法二：因为a ＝(3,2)，若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ，同理排除C ，D ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2.12．已知Rt △ABC 的斜边AB 的长为4，点P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA ·PB 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，52 B.⎣⎡⎦⎤－52，52 C ．[－3,5]D ．[1－23，1＋23]解析：选C 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )， 其中a >0，b >0，由已知得a 2＋b 2＝16，x 2＋y 2＝1，所以PA ·PB ＝(a －x ， －y )·(－x ，b －y )＝x 2－ax ＋y 2－by ＝1－(ax ＋by )，令ax ＋by ＝t ， 由|t |a 2＋b2＝|t |4≤1得－4≤t ≤4，故PA ·PB 的取值范围是[－3,5]． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝________.解析：由题意，得a·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 514．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵c ⊥a ，∴c·a ＝0，∴(a ＋b )·a ＝0， 即a 2＋a·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°15．在平行四边形ABCD 中，AB ＝e 1，AC ＝e 2，NC ＝14AC ，BM ＝12MC ，则MN ＝________(用e 1，e 2表示)．解析：∵NC ＝14AC ＝14e 2，∴CN ＝－14e 2.∵BM ＝12MC ，BM ＋MC ＝BC ＝AC －AB ＝e 2－e 1，∴MC ＝23(e 2－e 1)，∴MN ＝MC ＋CN ＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 216．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52. 答案：－52三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的射影的数量为－1，求：(1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b .解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求． (2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3.18．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12.∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.19．(本小题满分12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0， (1)用OA ，OB 表示OC .(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解：(1)因为2 AC ＋CB ＝0， 所以2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0， 2OC －2OA ＋OB －OC ＝0， 所以OC ＝2OA －OB . (2)证明：如图，DA ＝DO ＋OA ＝－12OB ＋OA ＝12(2OA －OB )． 故DA ＝12OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．20．(本小题满分12分)如图，G 是△OAB 的重心，OG 的延长线交AB 于点M ，又P ，Q分别是边OA ，OB 上的动 点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG ＝λPQ ，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP ＝x OA ，OQ ＝y OB ，证明：1x ＋1y是定值．解：(1)OG ＝OP ＋PG ＝OP ＋λPQ ＝OP ＋λ(OQ －OP )＝(1－λ) OP ＋λOQ . (2)由(1)及OP ＝x OA ，OQ ＝y OB ，得OG ＝(1－λ)OP ＋λOQ ＝(1－λ)x OA ＋λy OB . ① ∵G 是△OAB 的重心，∴OG ＝23OM ＝23×12(OA ＋OB )＝13OA ＋13OB . ②由①②得⎣⎡⎦⎤(1－λ)x －13OA ＝⎝⎛⎭⎫13－λy OB ， 而OA ，OB 不共线，∴⎩⎨⎧(1－λ)x ＝13，λy ＝13，解得⎩⎨⎧1x＝3－3λ，1y ＝3λ，∴1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y是定值． 21．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线． (1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标． 解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ， 即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 则(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC . 设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )． ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， 当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ； 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。