高中数学高考专题28 推理与证明(解析版)
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)14：推理与证明
2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.d ≈ B．d C．d ≈ D．d ≈ 【答案】D 【解析】346b 69()d ,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021d a V A a B D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解28---命题与证明(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题28 命题与证明【知识要点】命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的形式：“如果…那么…”。
（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。
定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。
一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。
【考查题型】考查题型一判断是否命题及命题真假典例1．（2021·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）A 的算术平方根是2B ．数据2，0，3，2，3的方差是65C ．正六边形的内角和为360°D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】A.根据算术平方根解题；B.根据方差、平均数的定义解题；C.根据多边形的内角和为180(n 2)︒⨯-解题；D.根据菱形、梯形的性质解题．【详解】A. 2=，2，故A 错误；B. 数据2，0，3，2，3的平均数是20323=25++++，方差是 2222216(22)(02)(32)(22)(32)55⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 正确； C. 正六边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒，故C 错误；D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1．（2021·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．变式1-2．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-； （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1 【答案】C分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题， （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【详解】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．变式1-4．（2021·安徽中考真题）已知点,,A B C 在O 上．则下列命题为真命题的是（ ） A ．若半径OB 平分弦AC ．则四边形OABC 是平行四边形B ．若四边形OABC 是平行四边形．则120ABC ∠=︒C ．若120ABC ∠=︒．则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC【答案】B【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．【详解】A ．∵半径OB 平分弦AC ，∴OB ⊥AC ，AB=BC ，不能判断四边形OABC 是平行四边形，假命题；B ．∵四边形OABC 是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC 是菱形，∴OA=AB=OB ，OA ∥BC ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；C ．∵120ABC ∠=︒，∴∠AOC=120º，不能判断出弦AC 平分半径OB ，假命题；D ．只有当弦AC 垂直平分半径OB 时，半径OB 平分弦AC ，所以是假命题，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．考查题型二写一个命题的逆命题典例2．（2021·广东广州市·九年级二模）下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个角都是45，则这两个角相等C．有两边相等的三角形是等腰三角形D．菱形的对角线互相垂直【答案】C【分析】写出每个命题的逆命题，然后逐一判断逆命题的真假，即可．【详解】A.全等三角形的对应角相等的逆命题是：“对应角相等的三角形是全等三角形”，不成立；B. 两个角都是45，则这两个角相等的逆命题是：“两个角相等，则这两个角都是45°”不成立；C. 有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：“等腰三角形有两边相等”，成立D. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是：“对角形相互垂直的四边形是菱形”，不成立故选C．【点睛】本题主要考查命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的定义，菱形的性质，是解题的关键．变式2-1．（2021·莆田擢英中学九年级零模）下列命题中，逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．邻补角互补C．两直线平行，同位角相等D．互余的两个角都小于90°【答案】C【分析】先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假，即可．【详解】A．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；B．邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；D．互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；故选：C．【点睛】本题主要考查逆命题与真假命题，能写出原命题的逆命题是解题的关键．变式2-2．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 考查题型三 用反证法证明命题典例3．（2021·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若//AB CD ，且AB 、CD 被EF 所截，求证：AOF EO D '∠=∠以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，②依据理论依据1，可得//A B CD ''，③假设AOF EO D '∠≠∠，④AOF EO D '∴∠=∠．⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．证明步骤的正确顺序是（ ）A ．①②③④⑤B ．①③②⑤④C ．③①④②⑤D ．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设AOF EO D '∠≠∠，如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，∴//A B CD ''，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴AOF EO D '∠=∠．故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．变式3-1．（2021·浙江九年级其他模拟）能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3C ．a ＝2，b ＝3D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2【答案】B【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a ＞b 时，3a ＝2b ，∴命题“若a ＞b ，则3a ＞2b ”为假命题，故选：B ．【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．变式3-2．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“ABC 中，若A B C ∠∠∠>>，则A 60∠>”，第一步应假设()A ．A 60∠=B ．A 60∠<C ．A 60∠≠D ．A 60∠≤【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A ＞60°的反面有多种情况，应一一否定．【详解】解：∠A 与60°的大小关系有∠A ＞60°，∠A=60°，∠A ＜60°三种情况，因而∠A ＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A ＞60°”时，应先假设∠A≤60°．故选：D变式3-3．（2021·河北唐山市·中考模拟）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.变式3-4．（2021·浙江宁波市·九年级一模）能说明命题“若一次函数经过第一、二象限，则k+b ＞0”是假命题的反例是（ ）A ．y 2x 3=+B ．y 2x 3=-C ．y 3x 2=--D ．y 3x 2=-+【答案】D【分析】利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案．【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、二象限，则k＞0，b＞0或k＜0，b＞0，故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的证明举例，训练了学生对举反例法的掌握情况．。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：推理与证明、复数、算法(含答案)
推理与证明、复数、算法1．推理方法 （1）合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．[问题1] 图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：________.（2）演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论． 2．证明方法 （1）直接证明 ①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法． ②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．（2）间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法． （3）数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设____________． 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数． [问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： （1）(1±i)2＝±2i ； （2）1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ；（3）i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；（4）设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.5．算法（1）控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．（2）条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值． [问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a ＝341，那么判断框中可以是( )A ．k <4?B ．k >5?C ．k <6?D ．k <7?易错点1 复数的概念不明致误例1 若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．－7或－17易错点2 循环次数把握不准致误例2 执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.找准失分点 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误例3 用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d (n ∈N ＋)．找准失分点 本题的错因在于从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中，没有用到归纳假设．1．(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i2．(2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于()A ．18B ．20C ．21D ．403．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i 为纯虚数，则实数a 等于( )A ．－2B ．－13C ．12D ．25．(2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人6．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 8．(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．9．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.10．(2014·湖北)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.1．V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC 2．三角形三个内角都大于60° 3．－2 4．1 5．C1．A 2．4CBDABA 7．－20 8．21 9．b 2a 2 10．495。
高中高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明.docx
2017 年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老 成 的成 ．老：你 四人中有2 位 秀， 2 位良好，我 在 甲看乙、丙的成 ， 乙看丙的成 ，丁看甲的成 ．看后甲 大家 ：我 是不知道我的成 ．根据以上信息， （ ）.A ．乙可以知道四人的成B ．丁可以知道四人的成C ．乙、丁可以知道 方的成D ．乙、丁可以知道自己的成1．解析 四人所知只有自己看到，老 所 及最后甲 的 ．甲不知道自己成→ 乙、丙中必有一 一良（若 两 ，甲会知道自己成 ；两良亦然） .乙看了丙成 ，知道自己的成→ 丁看甲，甲、丁中也 一 一良，丁知道自己的成 ．故D.2.（ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响 国家的 号召，开 了一款 用 件 . 激大家学 数学的 趣，他 推出了 “解数学 取 件激活”的活 . 款 件的激活下面数学 的答案：已知数列 1， 1， 2， 1， 2，4， 1， 2， 4， 8，1， 2， 4， 8， 16 ， ⋯ ，其中第一 是20 ，接下来的两 是20 ， 21 ，再接下来的三 是 20 ， 21 ， 22 ，依此 推 .求 足如下条件的最小整数 N ： N100 且 数列的前 N 和 2的整数 .那么 款 件的激活 是（ ） .A. 440B. 330C. 220D. 1102. 解析 首 第1 ，接下来两 第2 ，再接下来三 第3 ，以此 推．n 1 nn 1 n100第 n 的 数 n ， n的 数和2，由 意得，N100 ，令2，1 2nn1得 n ≥ 14 且 n N *13 之后，第 n 的和 122，即 N出 在第， n 共的和2 1 2n2n12 nNn 1n1 n，若要使前 N和 2 的整数 ， 2的和 2k12与2 n互相反数， 即2k12n kN *，n ≥ 14， k log2n 3 ，得 n 的最小 n 29 ，k 5 ，29129 N25 440则.故选 A.题型 149归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型 151 演绎推理第二节证明。
高考数学二轮总复习专题训练二十八 几何证明选讲 理 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考专题训练二十八几何证明选讲(选修4－1)班级________时间是：45分钟分值：100分一、填空题(每一小题6分，一共30分)1．(2021·)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，那么BE＝________.解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC，知△ABE∽△ADC，∴＝，∴AE＝·AC＝＝2，∴BE＝＝＝4.答案：42.(2021·)如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直线BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，那么AF的长为________．解析：如下列图，∵A、E是半圆周上两个三等分点，∴△ABO和△AOE均为正三角形．∴AE＝BO＝BC＝2.∵AD⊥BC，∴AD＝＝，BD＝1.又∠BOA＝∠OAE＝60°，∴AE∥BD.∴△BDF∽△EAF，∴＝＝.∴AF＝2FD，∴3AF＝2(FD＋AF)＝2AD＝2，∴AF＝.答案：3．(2021·卷)如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，那么DE＝________.解析：连接AB，设BC＝AD＝x，结合图形可得△CAB与△CED相似，于是＝.即＝⇒x＝2.又因为AC是小圆的直径，所以∠CBA＝90°，由于∠CDE＝∠CBA，所以∠CDE＝90°.在直角三角形CDE中，DE＝＝＝6.答案：64．(2021·卷)如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，假设∠AEB＝30°，那么∠PCE＝________.解析：由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即＝，∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，那么EF＝________.分析：此题考察勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.答案：二、解答题(每一小题10分，一共70分)6．如图，△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)求证：B，D，H，E四点一共圆；(2)求证：CE平分∠DEF.证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点一共圆．(2)连接BH，那么BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点一共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如下列图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE 是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AF·AD.8．(2021·)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点一共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，那么△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点一共圆．9．，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点一共圆；(2)GH2＝GE·GF.证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC ＝180°，∴C，D，F，E四点一共圆．(2)由C，D，F，E四点一共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GC·GD ＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.10．(2021·课标)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点一共圆；(2)假设∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．解：(1)证明：连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点一共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点一共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.11.(2021·哈师大附中、东北师大附中、实验第一次联考)四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点一共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点一共圆．(2)∵Q、H、K、P四点一共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2021·教学质量调研)如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)假设AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠EAC.∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)证明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB，∴＝，∴FB2＝FA·FD.(3)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.∴∠D＝30°.∵BC＝6cm，∴AC＝2cm，∴AD＝2AC＝4cm.。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明
高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二 直接证明与间接证明 命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立， 即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立， 即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立， 即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0， 所以原不等式成立． 命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根． 证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾． 因此，所给三个方程不可能都只有一个实根． 教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确 答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m， 等式两边平方得3＋n m ＝9nm， 即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ， 所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9， 只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α， 因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9， 即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。
高中数学-推理与证明
高中数学-推理与证明M1 合情推理与演绎推理 11．M1[·山东卷] 观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．11．4n －1 [解析] 归纳可知，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.M2 直接证明与间接证明 16．[·湖南卷] N1(1)选修4-1：几何证明选讲 如图1-5，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F .证明：(i)∠MEN ＋∠NOM ＝180°； (ii)FE ·FN ＝FM ·FO .图1-5N3(2)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． N4、M2(3)选修4-5：不等式选讲 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(i)a ＋b ≥2；(ii)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 16．(1)证明：(i)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(ii)由(i)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO . (2)解：(i)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(ii)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.(3)证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(i)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，即a ＋b ≥2. (ii)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1.从而ab <1，这与ab ＝1矛盾，故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．21.D3、B11、M2[·湖南卷] 已知a >0，函数f (x )＝e ax sin x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点．证明：(1)数列{f (x n )}是等比数列；(2)若a ≥1e 2－1，则对一切n ∈N *，x n <|f (x n ) |恒成立．21．证明：(1)f ′(x )＝a e ax sin x ＋e ax cos x ＝e ax (a sin x ＋cos x )＝a 2＋1e ax sin(x ＋φ)， 其中tan φ＝1a ，0<φ<π2.令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋φ＝m π，即x ＝m π－φ，m ∈N *.对k ∈N ，若2k π<x ＋φ<(2k ＋1)π，即2k π－φ<x <(2k ＋1)π－φ，则f ′(x )>0； 若(2k ＋1)π<x ＋φ<(2k ＋2)π，即(2k ＋1)π－φ<x <(2k ＋2)π－φ，则f ′(x )<0.因此，在区间((m －1)π，m π－φ)与(m π－φ，m π)上，f ′(x )的符号总相反，于是当x ＝m π－φ(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－φ(n ∈N *)．此时，f (x n )＝e a (n π－φ)sin(n π－φ)＝(－1)n ＋1e a (n π－φ)sin φ.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋2e a [（n ＋1）π－φ]sin φ（－1）n ＋1e a （n π－φ）sin φ＝－e a π是常数， 故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝e a (π－φ)sin φ，公比为－e a π的等比数列．(2)由(1)知，sin φ＝1a 2＋1，于是对一切n ∈N *，x n <|f (x n )|恒成立，即n π－φ<1a 2＋1e a (nπ－φ)恒成立，等价于a 2＋1a <e a （n π－φ）a （n π－φ）(*)恒成立(因为a >0)．设g (t )＝e tt (t >0)，则g ′(t )＝e t （t －1）t 2.令g ′(t )＝0，得t ＝1.当0<t <1时，g ′(t )<0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t >1时，g ′(t )>0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增． 从而当t ＝1时，函数g (t )取得最小值g (1)＝e.因此，要使(*)式恒成立，只需a 2＋1a <g (1)＝e ，即只需a >1e 2－1.而当a ＝1e 2－1时，由tan φ＝1a ＝e 2－1>3且0<φ<π2知，π3<φ<π2.于是π－φ<2π3<e 2－1，且当n ≥2时，n π－φ≥2π－φ>3π2>e 2－1.因此对一切n ∈N *，ax n ＝n π－φe 2－1≠1，所以g (ax n )>g (1)＝e ＝a 2＋1a ，故(*)式恒成立．综上所述，若a ≥1e 2－1，则对一切n ∈N *，x n <|f (x n )|恒成立．M3 数学归纳法22．B3、M3、E7[·湖北卷] 已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n na n (n ∈N ＋)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n ，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n <e S n .22．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x . 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n ，即⎝⎛⎭⎫1＋1n n <e.①(2)b 1a 1＝1×⎝⎛⎭⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2×2×⎝⎛⎭⎫1＋122＝(2＋1)2＝32；b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32×3×⎝⎛⎭⎫1＋133＝(3＋1)3＝43.由此推测：b 1b 2…b na 1a 2…a n＝(n ＋1)n .②下面用数学归纳法证明②.(i)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立． (ii)假设当n ＝k 时，②成立，即b 1b 2…b ka 1a 2…a k ＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k(k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，②也成立．根据(i)(ii)，可知②对一切正整数n 都成立． (3)证明：由c n 的定义，②，算术-几何平均不等式，b n 的定义及①得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(a 1)11＋(a 1a 2)12＋(a 1a 2a 3)13＋…＋(a 1a 2…a n )1n＝（b 1）112＋（b 1b 2）123＋（b 1b 2b 3）134＋…＋（b 1b 2…b n ）1nn ＋1≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n （n ＋1） ＝b 1⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＋b 2⎣⎡12×3＋⎦⎤13×4＋…＋1n （n ＋1）＋…＋b n ·1n （n ＋1）＝b 1⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＋b 2⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1<b 11＋b 22＋…＋b nn ＝⎝⎛⎭⎫1＋111a 1＋⎝⎛⎭⎫1＋122a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋1n na n <e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n <e S n . 23．M3[·江苏卷] 已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 23．解：(1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，f (k ＋1)在f (k )的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：(i)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；(ii)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；(iii)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；(iv)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；(v)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立；(vi)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．M4 单元综合8．M4[·广东卷] 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于58．B [解析] 正四面体符合要求，因此n 可以等于4. 下面证明n ＝5不可能．证明：假设存在五个点两两距离相等，设为A ，B ，C ，D ，E .其中A ，B ，C ，D 构成空间的正四面体ABCD ，设其棱长为a .设G 为△BCD 的中心，则不难算出AG ＝63a ，BG ＝33a ，且AG ⊥平面BCD .如果点E 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，那么点E 一定在直线AG 上，且EB ＝a . 如果点E 在线段AG 上，那么在Rt △EBG 中，EG ＝BE 2－BG 2＝63a ，AG ＝63a ，此时A ，E 重合，所以点E 可能在AG 的延长线上．如果点E 在AG 的延长线上，此时EG ＝63a ，EA ＝263a ≠a . 综上所述，如果E 到正四面体的四个顶点的距离相等，那么点E 只能是正四面体的四个顶点之一．所以若空间中n 个不同的点两两距离相等，则正整数n 的取值至多是4. 15．M4[·福建卷] 一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．15．5 [解析] 1101101中x 1＝x 2＝x 4＝x 5＝x 7＝1，x 3＝x 6＝0，则x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，不满足方程组，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，满足方程组，所以推测x 4或x 5错误．又x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，不满足方程组，所以x 5错误，故k ＝5.7．[·泉州五校联考] 已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据该同学的发现，计算f ⎝⎛⎭⎫12015＋f ⎝⎛⎭⎫22015＋f ⎝⎛⎭⎫32015＋…＋f ⎝⎛⎭⎫20142015＝________． 7． [解析] f′(x)＝x 2－x ＋3，由f″(x)＝2x －1＝0得x ＝12，则⎝⎛⎭⎫12，1为y ＝f(x)的对称中心，故f ⎝⎛⎭⎫12015＋f ⎝⎛⎭⎫20142015＝f ⎝⎛⎭⎫22015＋f ⎝⎛⎭⎫20132015＝…＝2f ⎝⎛⎭⎫12＝2， 故f ⎝⎛⎭⎫12015＋f ⎝⎛⎭⎫22015＋f ⎝⎛⎭⎫32015＋…＋f ⎝⎛⎭⎫20142015＝2014. 8．[·武汉三调] 如图K522(1)所示，在平面几何中，设O 是等腰直角三角形ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR ＝2.类比以上结论，将其拓展到空间中，如图K522(2)所示，设O 是正三棱锥A -BCD 中底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，连接AO ，且过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有________．图K5228.1AQ ＋1AR ＋1AP＝3 [解析] 设O 到正三棱锥A-BCD 三个侧面的距离为d.易知V 三棱锥R- AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13×12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR. 又∵V 三棱锥R - AQP ＝V 三棱锥O - AQP ＋V 三棱锥O - ARP ＋V 三棱锥O - AQR ＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR·d ＝16(AQ·AP ＋AR·AP ＋AQ·AR)d ，∴16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ·AP ＋AR·AP ＋AQ·AR)d ， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝1d. 而V 三棱锥A - BDC ＝13S △BDC ·AO ＝13×34×2×33＝16， ∴V 三棱锥O - ABD ＝13V 三棱锥A - BDC ＝118， 即13·S △ABD ·d ＝13×12·d ＝118，得d ＝13， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP＝3. 6．[·江西师大附中模拟] 由棱长为1的正方体叠成的几何体如图K521所示，第1个几何体的表面积为6，第2个几何体的表面积为18，第3个几何体的表面积是36. 依此规律，则第n 个几何体的表面积是________.6．3n(n ＋1) [解析] 第1个几何体的表面积为6×1＝6，第2个几何体的表面积为6×(1＋2)＝18，第3个几何体的表面积为6×(1＋2＋3)＝36，由此可得第n 个几何体的表面积为6×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n ＋1)．。
高考数学二轮复习推理与证明专题训练习题(含答案解析)
高考数学二轮复习专题训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．则假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除 【答案】B2．设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论( ) A ． 21(2)2n f n +≥ B ． 2(2)2n n f +≥ C ． 22()2n f n +≥ D ．以上都不对 【答案】B3．用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0”其反设正确的是( )A ．b a ,至少有一个不为0B ． b a ,至少有一个为0C ． b a ,全不为0D ． b a ,中只有一个为0 【答案】A4．给出下面四个类比结论：①实数,,b a 若0=ab 则0=a或0=b ；类比向量,,若0=⋅，则=或= ②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,有2222)(b b a a b a +⋅+=+③向量2a =；类比复数z ，有22z z =④实数b a ,有022=+b a ，则0==b a ；类比复数z ，2z 有02221=+z z ，则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 5．若定义在正整数有序对集合上的二元函数(,)f x y 满足：①(,)f x x x =，②(,)(,)f x y f y x = ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(12,16)f 的值是( )A ．12B ． 16C ．24D ．48【答案】D6．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时，应假设( )A ．c b a ,,中至多一个是偶数B ． c b a ,,中至少一个是奇数C ． c b a ,,中全是奇数D ． c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C 7．由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与b a之间大小关系为( ) A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 【答案】B8．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 【答案】A9．在求证“数列2， 3， 5,不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法B ．综合法C ．反证法D ．直接法【答案】C 10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形【答案】C11．给出下列四个推导过程：①∵a ，b∈Ｒ＋， ∴（b ／a ）+（a ／b ）≥2=2; ②∵x ，y∈Ｒ＋，lgx+lgy ≥2;a ∈R ，a ≠0， ∴（4／a ）+a ≥2=4; x ，y R ，xy ＜0，（x ／y ）+（y ／x ）=-［（-（x ／y ））+（-（y ／x ））］≤-2=-2. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】D12．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 【答案】Ｂ第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．观察下列式子：213122+<，221151+234+<， 222111712348+++<⋅⋅⋅，由此可归纳出的一般结论是 ．【答案】14．三段论推理的规则为____________①如果p q ⇒,p 真，则q 真;②如果b a c b ⇒⇒,则c a ⇒;③如果a//b,b //c, 则a//c ④如果c a c b b a ⇒⇒⇒则,,【答案】②15．若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a2x ＋b2y ≥，当且仅当a x ＝b y时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝4x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为____________． 【答案】3516．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.【答案】100三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．【答案】（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，．N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ，MN ∴∥平面PAD ．(2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线，CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．18．若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【答案】假设12x y +<和12y x +<都不成立，则有21≥+y x 和21≥+xy 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾. 因此12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 19．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:给出如下变换公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X 将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ；如5→5+12=3，即e 变成c. ①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho②逆变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ； h →8→2×8-1=15→o ；x →24→2×24-26=22→v ； c →3→2×3-1=5→e故密文shxc 的明文为love 20．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．【答案】（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．21)a b c ++．【答案】因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），所以)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），同理，)b c +)c a +，三式相加得)a b c ++．(省略了大前提，小前提）22．设 f(x)＝x 2＋a. 记f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f(f n －1(x))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R|对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]． 【答案】⑴ 如果a ＜－2，则||f 1(0)＝|a|＞2，a ∈/M ． ⑵ 如果－2≤a ≤14，由题意，f 1(0)＝a ，f n (0)＝(f n －1(0))2＋a ，n ＝2，3，……．则 ① 当0≤a ≤14时，||f n (0)≤12，(∀n ≥1). 事实上，当n ＝1时，||f 1(0)＝|a|≤12，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数）， 则对n ＝k ，||f k(0)≤||f k －1(0)2＋a ≤(12)2＋14＝12． ② 当－2≤a ＜0时，||f n (0)≤|a|，(∀n ≥1)．事实上，当n ＝1时，||f 1(0)≤|a|，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数)，则对n ＝k ，有 －|a|＝a ≤()f k －1(0)2＋a ≤a 2＋a注意到当－2≤a ＜0时，总有a 2≤－2a ，即a 2＋a ≤－a ＝|a|．从而有||f k (0)≤|a|．由归纳法，推出[－2，14]⊆M ． ⑶ 当a ＞14时，记a n ＝f n (0)， 则对于任意n ≥1，a n ＞a ＞14且a n ＋1＝f n ＋1(0)＝f(f n (0))＝f(a n )＝a n 2＋a ． 对于任意n ≥1，a n ＋1－a n ＝a n 2－a n ＋a ＝(a n －12)2＋a －14≥a －14．则a n ＋1－a n ≥a －14． 所以，a n ＋1－a ＝a n ＋1－a 1≥n(a －14)．当n ＞2－a a －14时，a n ＋1＞n(a －14)＋a ＞2－a ＋a ＝2， 即f n ＋1(0)＞2．因此a ∈/M ．综合⑴，⑵，⑶，我们有M ＝[－2，14]。
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专题28 推理与证明
命题规律
内 容
典 型
１ 以断臂维纳斯为素材考查合情推理 2019年高考全国I 卷文数 ２ 以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理 2019年高考北京卷文数 ３
以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理
2019年高考全国II 卷文数
命题规律一 以断臂维纳斯为素材考查合情推理
【解决之道】此类问题的解决之道为，通过适当的估算、合适的推理即可得出结论. 【三年高考】
1.【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度
，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的
头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）
A ．165 cm
B ．175 cm
C ．185 cm
D ．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知：
11
,22
AC AB CD BC ==， ① 腿长为105 cm 得，即>105CD ，
64.89
AC=>，
64.89105169.89 AD AC CD
=+>+=，所以AD>169.89.
②头顶至脖子下端长度为26 cm，
即AB<26，
42.07
BC=<，
=+<68.07
AC AB BC，
110.15
CD=<，
+<68.07+110.15=178.22
AC CD，
所以<178.22
AD.
综上，169.89<<178.22
AD.
故选B.
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm
，则
26261
1052
x
x y
+
==
+
，得
42.07cm, 5.15cm
x y
≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为
42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．
命题规律二以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理
【解决之道】此类问题解决之道为，认证阅读题目，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可得出结论.
1.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮
度满足m 2−m 1=
52lg 2
1E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A ． 1010.1
B ． 10.1
C ． lg10.1
D ． 10–10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足1
212
5lg 2E m m E -=
,令211.45,26.7m m =-=-,()10.1112122
22
lg
( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==，故选A ． 命题规律三 以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理
【解决之道】要解决此类问题，首先认真阅读材料，仔细观察归纳规律，即可归纳出结论，其次，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可推出正确结论. 【三年高考】
1.【2019年高考全国II 卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
【答案】26
1
【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，
,21)1BG GE CH x GH x x x ∴===
∴=+==，
1
x ∴=
=，
1．。