报童问题模型matlab实现

《系统仿真与Matlab》综合试题

题目：报童问题模型

编号：（1）

难度系数：

姓名XXXX

班级自动化1306

学号XXXXXXX

联系方式XXXXXXX

成绩

目录

一． 问题描述 (2)

二． 数学建模 (2)

三． 关键难点 (4)

四． 程序运行指南 (4)

五． 程序运行实例分析 (7)

一． 问题描述

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a b c 。这就是说，报童售出一份报纸赚a b ，退回一份赔b c 。报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

二． 数学建模

【模型假设】

1. 众所周知，应该根据需求量确定购进量。需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经

验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f 。有了)(r f 和a ，b，c，就可以建立关于购进量的优化模型了。

2. 假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使

报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，即平均收入。

【模型的建立与求解】

记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n),如果这天的需求量r≤n,则他售出r 份,退回n-r 份；如果这天的需求量r>n，则n 份将全部售出，考虑到需求量为r 的概率是f(r)，所以

1

(n)[()(b c)(n r)]f(r)(a b)nf(r)n r r n G a b r

(1)

问题归结为在f(r),a,b,c 已知时，求n 使G(n)最大。

通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f(r)转换成概率密度函数p(r),(1)式变成

0(n)[(a b)r (b c)(n r)]p(r)dr (a b)(r)dr n

n G np

(2)

计算

00(a b)np(n)(b c)p(r)dr

(a b)np(n)(a b)(r)dr

()(r)dr (a b)()n n n

n dG

dn

p b c p p r dr

令

0,dG

dn

得到

0()(r)dr

n

n

p r dr

a b

b c

p

(3) 使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足（3）式。因为0

(r)dr 1,p

所以（3）式又

可以表为

(r)dr n

a b

p a c

(4) 根据需求量的概率密度p(r)的图形很容易从（3）式确定购进量n 。在下图中用P1，P2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作

1

2P a b P b c

(5)

因为当购进n 份报纸时，10

(r)dr n

P p

是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率；

2(r)dr n P p

是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数

n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。

以 P=0

(r)dr n

a b

p a c

为切入点求解问题，P 称为目标概率。

三． 关键难点

1. 要求能够灵活更改零售价a 、购进价b 、退回价c 的数值。

2. 为了充分模拟现实环境，需提供多种报纸需求量的概率模型；根据f(r)的不同，f(r)

须输入的参数个数及输入数值、程序要调用的计算函数各不相同。

3. 仿真过程中，购进报纸数量n 从零开始增加，需在坐标轴上做出概率1P （左边阴影部分）随n 动态变化的动态效果。

4. 计算出购进报纸数量n ，还需验证n 是否能使日收入期望值达到最大。在n 的结果

输出框（亦为n 值的输入框）输入给定n 值，通过Test 按键可计算出相应的日收入期望G(n).

5. 为证明n 值的唯一性，做出日收入期望G(n)随购进报纸数量n 变化的二维图形，可

以看出存在唯一的n 使G(n)最大。

四． 程序运行指南

一．打开‘Newspaper.m ’文件，直接点击“Run ”运行。

二． 程序的各项参数均已设置好默认参数。

1.直接点击Start可计算出使收入最大的n值和收入期望值G(n)；（注意：计算

未完成前不要进行操作）

2.直接点击Plot可以绘制日期望收入G(n)与n的函数关系图。

（期望收入和购进报纸数量n的函数图证明存在唯一的n使每天的收入最大，n在220附近.）

3.先在n的输出框中输入要购进的报纸数量n，点击Test键可得出该决策获得的日期望收入。

（此时假设报童购进报纸数量为150，Test计算出报童每天的期望收入是29.4）

三. 右侧面板是设置各种输入参数的面板，上面是“零售价a，购进价b，退回价c”的输入面板，注意要满足输入条件a>b>c;在弹出菜单中可选择需求量的模型f(r),选定模型后，参数的输入面板在下方显示，重新输入参数即可更改分布模型的参数。