对数与对数函数 知识梳理

对数与对数函数

【考纲要求】

1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；

2.掌握对数函数的概念、图象和性质.

3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、对数概念及其运算

我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x

=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.

(一)对数概念:

1.如果()01b

a N a a =>≠，且，那么数

b 叫做以a 为底N 的对数，

记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

2.对数恒等式：

log log a b N

a a N

a N N

b ⎫=⇒=⎬=⎭

3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.

(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.

(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.

对数与对数函数

图象与性质

对数运算性质

对数函数的图像与

对数的概念

指对互化运算

由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数

已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+；

推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、

(2)log log log a

a a M

M N N =-； (3)log log a a M M α

α=.

(五)换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a

a n

∈=

令 log a M=b ， 则有a b

=M ， (a b )n

=M n

，即n

b n M a =)(，

即n a

M b n

log

=，即:n a a M M n log log =.

(2) )1,0(log log log ≠>=

c c a

M

M c c a ，令log a M=b ，

则有a b

=M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b

c

即M a b c c log log =⋅， 即a

M

b c c log log =，

即)1,0(log log log ≠>=

c c a

M

M c c a

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

)1,0,1,0(log 1

log ≠>≠>=

b b a a a

b b a .

考点二、对数函数及其图像、性质

1.函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.

2.在同一坐标系内，

当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；

当0

(1)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的图像过点(1，0)

(3)当a>1时，0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>⎧⎪

==⎨⎪<<<⎩

a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>⎧⎪

<<==⎨⎪><<⎩

当时，

【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化：

(1)2log 83=；(2)13

log 92=-；

(3)3x =；

(4)45625=；(5)1

133-=；(6)2

1164-⎛⎫= ⎪

⎝⎭

.

【解析】(1)3

28=；(2)2

193-⎛⎫

= ⎪⎝⎭；

(3)3x =；

(4)5log 6254=；(5)31

log 13=-；(6)14

log 162=-.

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决

问题的重要手段.

举一反三：

【变式】求下列各式中x 的值：

(1)642

log 3

x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2

-ln e x =

【解析】(1)2223()

3

23

331(64)

(4)

4

416x -

-

⋅--=====

；

(2)11116

636

6

6

2

8()(8)(2)2x x x ======

，所以

(3)10x =100=102

，于是x=2；

(4)由2

2

2ln ln 2x

e x x e e e x --=-===-，得，即所以.

类型二、对数运算法则的应用 例2.求值

(1) log 89·log 2732

(2)9

1log 81log 251log 32log 532

64⋅⋅⋅ (3))36log 4

3

log 32(log log 42

122++

(4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)

【解析】(1)原式=9

1035322log 3log 5

32

233=⋅=

⋅. (2)原式=103log 2log 5log 2log 2

53322526-=---