带多项偏差变元的非线性脉冲微分方程周期边值问题
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freefem求解边值问题
freefem求解边值问题
FreeFem是一个开源的有限元软件，可以用于求解各种偏微分方程问题，包括边值问题。
要使用FreeFem求解边值问题，可以按照步骤进行操作：
1. 定义网格：使用FreeFem提供的命令或者函数，创建一个适当的网格。
可以选择内置的网格生成算法，也可以导入外部网格。
2. 定义方程：编写描述边值问题的方程。
根据具体问题的特性，选择合适的有限元空间、边界条件和非线性项等。
3. 定义变量和边界条件：定义问题中的未知数变量，并为其设置合适的边界条件。
这一步可以使用FreeFem提供的命令或函数。
4. 求解方程：使用FreeFem提供的求解器函数（例如`solve`命令），对方程进行求解。
可以设置求解器的参数，如迭代次数、误差容限等。
5. 可视化结果：使用FreeFem提供的绘图命令，将求解结果可视化，观察边界问题的解。
需要注意的是，具体的边值问题求解步骤和语法细节可能会因具体问题而异。
建议在使用FreeFem时参考相关的文档和示例代码，以确保正确地求解边值问题。
二阶脉冲积分-微分方程周期边值问题的极限解
程 周期 边值 问题 ：
因此 ，要得到边值 问题 （ ） ２）的解的存在性 １ 一（
基金项 目 ：湖南省教育厅科研基金资助项 目 （ ９ ３ ０） ０Ｃ２ 通信作者 ：徐承杰 （ ９ ２ ，男 ，湖北 汉川人 ，湖南 工业 大学 教师，硕 士 ，主要研究 方向为代 数学及其应用 ，稳定性 理论 ， １８ －）
（ ＝ ｕＴ＋ ２其中： （ ） ０ ０ ） ＇ ） ｆ， １ ＞ 。 （ ｉ ＋
１ （＝（ ） ｕ ） （ ） Ａ “ ） ＇ ＝ 甜 ） ｕ） ，（ （ ， Ａ
Ｉ ｋ＝ｌ ， ｍ。 ， …， ２
收 稿 日期 ：２ １ －４ ０ ０００－８
（ 条 件 ，只要考 虑如 下 的二 阶ｒ ｍ ａ ｌ ｔｏ ｓｏ ｒｏ ｉ ｕ ｄａｙ Ｖａｕ ｏ ｌｍ ｓｆ ｒ ｔｅ ｌ Ｓｏ ｕ ｉ ｎ ｆＰｅ ｉ ｄ ｃＢｏ ｎ ｒ ｌ ｅＰｒ ｂ ｅ ｏ Ｓｅ ｏ ｄ－ ｄ ｒＩ ｐ ｌｉ ｅＩ ｔｇ ｏ－ ｆｅｅ ｉａ ｕ ｔｏ ｃｎ ・ Ｏｒ ｅ ｍ ｕ ｓｖ ｎ ｅ ｒ ・ ｆ ｒｎｔ ｌ Ｄｉ Ｅｑ ａ ｎｓ ｉ
Ｚ ａ ｕｉ， ｕＣ ｅ ｇ ｅ ｈ ｏ ｌ Ｘ ｈ ｎ ｊ Ｙ ｎ ｉ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ，Ｈｕ ａ ｎｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｈ ｚ ｏ ｎ ｎ４ ２ ０ ，Ｃ ｉａ） Ｓ ｈ ｏ ｏ ｉｎ ｅ Ｓ ｎ ｎＵ ｅ ｓ ｙｏ ｃ ｌｇ ，Ｚ ｕ ｈ ｕ ｉ ｔ Ｔ ｎ Ｈｕ ａ １ ０ ７ ｈｎ
“ ） ｕ ） Ｚ［（ ＋ ， ） 氏 “０＝ ， ） 。 （ ＝ （ ＋ ｏ ，） ” 】 ， ，） （ ＋ ０ Ｔ ０ （ ＋ （
另一 方 面 ，如果
１ 问 题 的 提 出
‘
“ ） “ ） 【（ ＋ 】 ，ｐ） （） ， （ ＝ （ ＋ ０ （ ＋ Ｕ０＝ ＋ ： ０ ） ） （
因此 ，要得到边值 问题 （ ） ２）的解的存在性 １ 一（
基金项 目 ：湖南省教育厅科研基金资助项 目 （ ９ ３ ０） ０Ｃ２ 通信作者 ：徐承杰 （ ９ ２ ，男 ，湖北 汉川人 ，湖南 工业 大学 教师，硕 士 ，主要研究 方向为代 数学及其应用 ，稳定性 理论 ， １８ －）
（ ＝ ｕＴ＋ ２其中： （ ） ０ ０ ） ＇ ） ｆ， １ ＞ 。 （ ｉ ＋
１ （＝（ ） ｕ ） （ ） Ａ “ ） ＇ ＝ 甜 ） ｕ） ，（ （ ， Ａ
Ｉ ｋ＝ｌ ， ｍ。 ， …， ２
收 稿 日期 ：２ １ －４ ０ ０００－８
（ 条 件 ，只要考 虑如 下 的二 阶ｒ ｍ ａ ｌ ｔｏ ｓｏ ｒｏ ｉ ｕ ｄａｙ Ｖａｕ ｏ ｌｍ ｓｆ ｒ ｔｅ ｌ Ｓｏ ｕ ｉ ｎ ｆＰｅ ｉ ｄ ｃＢｏ ｎ ｒ ｌ ｅＰｒ ｂ ｅ ｏ Ｓｅ ｏ ｄ－ ｄ ｒＩ ｐ ｌｉ ｅＩ ｔｇ ｏ－ ｆｅｅ ｉａ ｕ ｔｏ ｃｎ ・ Ｏｒ ｅ ｍ ｕ ｓｖ ｎ ｅ ｒ ・ ｆ ｒｎｔ ｌ Ｄｉ Ｅｑ ａ ｎｓ ｉ
Ｚ ａ ｕｉ， ｕＣ ｅ ｇ ｅ ｈ ｏ ｌ Ｘ ｈ ｎ ｊ Ｙ ｎ ｉ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ，Ｈｕ ａ ｎｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｈ ｚ ｏ ｎ ｎ４ ２ ０ ，Ｃ ｉａ） Ｓ ｈ ｏ ｏ ｉｎ ｅ Ｓ ｎ ｎＵ ｅ ｓ ｙｏ ｃ ｌｇ ，Ｚ ｕ ｈ ｕ ｉ ｔ Ｔ ｎ Ｈｕ ａ １ ０ ７ ｈｎ
“ ） ｕ ） Ｚ［（ ＋ ， ） 氏 “０＝ ， ） 。 （ ＝ （ ＋ ｏ ，） ” 】 ， ，） （ ＋ ０ Ｔ ０ （ ＋ （
另一 方 面 ，如果
１ 问 题 的 提 出
‘
“ ） “ ） 【（ ＋ 】 ，ｐ） （） ， （ ＝ （ ＋ ０ （ ＋ Ｕ０＝ ＋ ： ０ ） ） （
一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
『 ＋ ｔ ｔⅡ ｔ ）＝ ０＜ ＜１ （）＋ ， （） ０， ｔ ， …
只要右 端是 有意 义 的 ， 中 Ｆ（ｔ是 Ｇ ｍ 其 Ｏ ） ａ ｍａ函数 ．
定义 ２ 连续 函数 Ｙ （ ， ） ÷ ： ０ ∞ － Ｒ的 ＞０阶
Ｒｅ ａｎ—Ｌｏｖｌ 分 数微分 定 义为 ｉｍ ｎ ｉ ｉｅ ｕ ｌ
文 章 编 号 ：１０ ５ ６ （ ０２ ０ ０ ２ ０ ０ ０— ４ ３ ２ １ ）２— ０ ５— ４
一
类 非 线性 分 数 阶微 分 方 程 边值 问题 正解 的存 在 性
宋利梅
（ 应学院数学学 院， 东梅州 ５ ４ １ ） 嘉 广 １０ ５
摘要 ： 究 了一类非线性分 数阶微分 方程边值 问题正 解的存在 性．主要 方法是锥 内的 Ｋ ａｎｓｌ ｓｉ 研 ｒｓｏｅ’ｋｉ不动点定 理 的 应用．结果表 明：只要非线性项在某些有界集合上 的“ 高度 ” 是适 当的，该 问题有 ｎ个正解 （ ｎ是 一个任意 给定 的正
１ 定 义 和 引 理
定义 １ 连续 函数 Ｙ （ ， ） Ｒ 的 ＞ ：０ ∞ 一 ０阶
其 中 ｃ ∈ Ｒ （ ＝１２ … ，Ⅳ） ｉ ，， ，Ⅳ 是 大 于 或 等 于 Ｏ ｔ
的最小 整数 ．
引理 ３ 设 ｈ∈ ｃ［ １ ， ≤３ ｏ，］ ２＜ ，则分 数 微
分方程
整数） ．
关键词 ： 分数阶微 分方 程；边值 问题 ；正解 ；存在 性
中 图 分 类 号 ： １５ ８ ０ ７ ． 文献标志码 ： Ａ ｄｉ１ ．０ ４ ｊｊ ｎ ｎ ２ １ ．５ ０６ ｏ：０ ６ ５／．ｓ ｕ ．０ ２０ ．Ｏ ｃ
考 察下 列非 线性 分数 微分 方程 边值 问题 正解 的 存 在性 与 多解性 ：
只要右 端是 有意 义 的 ， 中 Ｆ（ｔ是 Ｇ ｍ 其 Ｏ ） ａ ｍａ函数 ．
定义 ２ 连续 函数 Ｙ （ ， ） ÷ ： ０ ∞ － Ｒ的 ＞０阶
Ｒｅ ａｎ—Ｌｏｖｌ 分 数微分 定 义为 ｉｍ ｎ ｉ ｉｅ ｕ ｌ
文 章 编 号 ：１０ ５ ６ （ ０２ ０ ０ ２ ０ ０ ０— ４ ３ ２ １ ）２— ０ ５— ４
一
类 非 线性 分 数 阶微 分 方 程 边值 问题 正解 的存 在 性
宋利梅
（ 应学院数学学 院， 东梅州 ５ ４ １ ） 嘉 广 １０ ５
摘要 ： 究 了一类非线性分 数阶微分 方程边值 问题正 解的存在 性．主要 方法是锥 内的 Ｋ ａｎｓｌ ｓｉ 研 ｒｓｏｅ’ｋｉ不动点定 理 的 应用．结果表 明：只要非线性项在某些有界集合上 的“ 高度 ” 是适 当的，该 问题有 ｎ个正解 （ ｎ是 一个任意 给定 的正
１ 定 义 和 引 理
定义 １ 连续 函数 Ｙ （ ， ） Ｒ 的 ＞ ：０ ∞ 一 ０阶
其 中 ｃ ∈ Ｒ （ ＝１２ … ，Ⅳ） ｉ ，， ，Ⅳ 是 大 于 或 等 于 Ｏ ｔ
的最小 整数 ．
引理 ３ 设 ｈ∈ ｃ［ １ ， ≤３ ｏ，］ ２＜ ，则分 数 微
分方程
整数） ．
关键词 ： 分数阶微 分方 程；边值 问题 ；正解 ；存在 性
中 图 分 类 号 ： １５ ８ ０ ７ ． 文献标志码 ： Ａ ｄｉ１ ．０ ４ ｊｊ ｎ ｎ ２ １ ．５ ０６ ｏ：０ ６ ５／．ｓ ｕ ．０ ２０ ．Ｏ ｃ
考 察下 列非 线性 分数 微分 方程 边值 问题 正解 的 存 在性 与 多解性 ：
含导数项的二阶脉冲微分方程周期边值问题解的存在性
ｏｒ ｅ ｍｐｕｌｉ ｅ ｄｉｆ ｒ ｎｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｄ ｒｖ ｔｖ ｅ ｍ ｄ ｒｉ ｓｖ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｔ ｅ ｉ ａ ｉ ｅ ｔ ｒ
ＬＩ Ｘｕ， ＺＨ ＯＵ ｅ － ｅ Ｕ Ｗ ｎ ｘｕ
（ ｃ ｏ ｌｏ ａ ｈ ｍａｉｓ Ｐｈ ｓｃ ｎ ｏｔ ｒ ｎ ｉｅ ｒｎ Ｓ ｈ ｏ ｆＭ ｔ ｅ ｔｃ ， ｙ ｉｓａ ｄ Ｓ ｆｗａｅ Ｅ ｇｎ ｅ ｉｇ， Ｌａ ｚ ｏ ｉｏｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ ｎ ｈ ｕＪａ ｔｎ ｉｅｓｔ ，
１ 预 备 知 识
设 Ｊ ：． ｛。ｔ， ， ｝ Ｐ － Ｒ ＝ ｛ Ｊ ， ｔ，。 … ｔ ， Ｃ［ ＼ Ｊ， ３ ＵＩ Ｕ：
—
㈩
ＡｕＩ … 一 ｕｆ） ｕ ｔ）一 Ｊ（ （ ） （ 一 （７ ｉ “ ） ，
ｋ ＝ ｌ’
一
Ｒ， （） ￡ 连 续 ，且 “ ￡ 存在 ，Ｕ ） “ ￡在 ≠ｔ 处 （ ） （
维普资讯
第 ４ 卷 ２０ ３ ０ ７年第 ２期
Ｖ ｏ．４３ ２０ Ｎ ｏ １ ０７ ．２
西
北
师
范
大
学
学
报 （ 自然 科 学 版 ）
５
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｏ ｔ ｗｅｔＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｒｈ ｓ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｏ Ｓ
“（ ０）：＝“（ ＝ Ｔ）， ０）一 “ （Ｔ） “（
Ｒ 在范数 ０ ｌ —ｓｐ ｘ（） 下成为 Ｂ ｎｃ ］ ｌ 尸 ｃ ｕ Ｉ ￡Ｉ Ｉ ａａｈ空间，
解 的存 在 性 ，其 中 ，∈Ｃ［ － Ｊ×Ｒ×Ｒ， ３ Ｊ（ （ ） Ｒ ， Ｕ ｔ） ∈Ｃ Ｒ， － （ ） ∈ＣＥ ＲｉＯ ｔ＜ ￡＜ …＜ Ｅ Ｒｉ Ｕ （ ） ， Ｒ， － ＜ ｌ ２ ，
ＬＩ Ｘｕ， ＺＨ ＯＵ ｅ － ｅ Ｕ Ｗ ｎ ｘｕ
（ ｃ ｏ ｌｏ ａ ｈ ｍａｉｓ Ｐｈ ｓｃ ｎ ｏｔ ｒ ｎ ｉｅ ｒｎ Ｓ ｈ ｏ ｆＭ ｔ ｅ ｔｃ ， ｙ ｉｓａ ｄ Ｓ ｆｗａｅ Ｅ ｇｎ ｅ ｉｇ， Ｌａ ｚ ｏ ｉｏｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ ｎ ｈ ｕＪａ ｔｎ ｉｅｓｔ ，
１ 预 备 知 识
设 Ｊ ：． ｛。ｔ， ， ｝ Ｐ － Ｒ ＝ ｛ Ｊ ， ｔ，。 … ｔ ， Ｃ［ ＼ Ｊ， ３ ＵＩ Ｕ：
—
㈩
ＡｕＩ … 一 ｕｆ） ｕ ｔ）一 Ｊ（ （ ） （ 一 （７ ｉ “ ） ，
ｋ ＝ ｌ’
一
Ｒ， （） ￡ 连 续 ，且 “ ￡ 存在 ，Ｕ ） “ ￡在 ≠ｔ 处 （ ） （
维普资讯
第 ４ 卷 ２０ ３ ０ ７年第 ２期
Ｖ ｏ．４３ ２０ Ｎ ｏ １ ０７ ．２
西
北
师
范
大
学
学
报 （ 自然 科 学 版 ）
５
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｏ ｔ ｗｅｔＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｒｈ ｓ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｏ Ｓ
“（ ０）：＝“（ ＝ Ｔ）， ０）一 “ （Ｔ） “（
Ｒ 在范数 ０ ｌ —ｓｐ ｘ（） 下成为 Ｂ ｎｃ ］ ｌ 尸 ｃ ｕ Ｉ ￡Ｉ Ｉ ａａｈ空间，
解 的存 在 性 ，其 中 ，∈Ｃ［ － Ｊ×Ｒ×Ｒ， ３ Ｊ（ （ ） Ｒ ， Ｕ ｔ） ∈Ｃ Ｒ， － （ ） ∈ＣＥ ＲｉＯ ｔ＜ ￡＜ …＜ Ｅ Ｒｉ Ｕ （ ） ， Ｒ， － ＜ ｌ ２ ，
【国家自然科学基金】_p-laplace_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
科研热词 正解 奇异 脉冲微分方程 存在性 非线性边界问题 非局部边值问题 锥 退化 边值问题 能量水平 爆破 极值原理 整体存在性 拟线性 抛物方程组 惟一性 对称 奇异边值问题 多点边值问题 唯一性 可解性 发展型p-laplace方程组 乘积锥 不动点理论 不动点指数定理 不动点指数 不动点定理 p-laplace算子 p-laplace方程组 p-laplace m点边值问题 laplace方程
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
53 avery-peterson不动点定理
1
2011年 科研热词 p-laplace算子 p-laplace方程 非齐次边值问题 重合度 退化 约束变分问题 特征值 水平集 正解 极小极大方法 本性局部凸 整体分支 振动性 抛物方程组 常p-laplace系统 山路引理 对称性临界点原理 存在性 图像分割 四阶边值问题 周期解 变分 共振 偏微分方程 伪梯度流 临界点 不变集 不动点定理 p-拉普拉斯方程 p-laplacian算子 leray-schauder度 hlder不等式 推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
科研热词 推荐指数 正解 6 锥 4 极大单调算子 3 广义p-laplace算子 3 边值问题 2 超线性 2 耦合奇异边值问题 2 喷泉定理 2 伪单调算子 2 不动点理论 2 不动点 2 positive solution 2 cerami条件 2 鞍点定理 1 非齐次发展型p-laplacian方程 1 非线性dirichlet或neumann边值问题 1 积分微分方程 1 爆破 1 混合边值条件 1 时间测度链 1 时间尺度 1 强制位势 1 度理论． 1 常维p-laplace系统 1 常p-laplace系统 1 四阶边值问题 1 同宿解 1 具混合边值条件的积分微分方程 1 全局存在 1 值域和 1 临界指标 1 上下解 1 wirtinger不等式 1 sturm-liouville型 1 sturm-liouville-like 1 sobolev不等式 1 p—laplace方程 1 p-laplace算子 1 p-laplace equation, neumann boundary 1 value, upper p-laplace 1 neumann边值问题 1 hemi连续映射 1 fixed point theorem 1 coupled singular boundary value 1 problem cone 1 bai-ge不动点定理 1 bai-ge fixed point theorem 1
三阶非线性偏微分方程初边值问题解的存在性
ｇｙ ； （ ）
强 的假设下 ， 利用把初边值问题化为等价 的积分 方程 的方 法 ， 由积 分 算 子 的特 殊 性质 和 不 动点 并 原理 ， 证明了其局部正规解的存在性． 引理 １ 设 Ｂ是 一个 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 间 ， 是映 到 内的压缩 映射 ， 即存 在常 数 口， ３＜１ ０≤１ 使得 对 于 任意 ， Ｙ∈Ｂ， Ｐ Ｔ ，ｙ （ Ｙ ， 有 （ ｘ Ｔ ）≤ ，）则存
２ Ｆ（ ） １ ，３ ， ） Ｒ ＸＲ 上 连 、 。 ， ， ， ，４ ５ 在 ， ２
第６ 期
三 阶非线性偏微分方程初边值 问题解的存在性
３ ３
续 （Ｒ ＝ （ 一∞ ， ＋∞） ， ） 关于 １ ， ， ， 满 ， ３ ５ ２ ４ 足 Ｌｐｃｉ 条件 ， Ｌｐｃｉ 常数 Ｌ ｘ） ， ） ｉｓｈｔ ｚ 且 ｉｓｈｔ ｚ （ ，，４ ５ ， 关 于 ， ， Ｙ连 续 ， 存 在 正 数 叼 ， Ｒ ５ ， 则 ， 在 。＝ ［ ， ］Ｘ［ ， Ｒ上至 少存在 问题 （ ）的一个 ０叼 ０ ］ １
王 峥 徐宝林
（ 郑州铁路职业技术学院）
【 摘要 】 研 究形如 ＝Ｆ ｘＹ ， ， ， ， 的三阶非线性偏微分方程 ， （ ，， ） 利用积 分 算子 的特 殊性 质和 不动点原 理 ， 明 了其 初 边值 问题 的局 部 正规界 的存 在 证
性 ．
关键词 ：非线性 方程 ； 分算子 ； 积 不动 点
证 明 由条件 １， 。只需证 明积 分方程 （ ） ２ 存 在 局部 连续解 即可． Ｃ ）为 Ｒ上 连 续 函数 全 设 （ 体 ， 义范 数 Ｉ ｌ 定 ｌ ｆｌ
为非 负常数．
ｍ
其 中 ｓ ，， Ｂ ）为 映射 的不 动 点． 由 （ ｙ Ｂ∞，
脉冲泛函微分方程周期边值问题的上下解方法
义 ｅ （ ， ）＝｛： ｃ ｊ尺 ；（） ｔ ￡在 ＃ｔ时连续，（ｆ 和 （ ） ） 存在且 （ ） （ ） ； Ｃ （ ， ＝ ＝ ｔ ｝Ｐ ＿ ） ， ｛ Ｐ （ ， ） （） ￡ 时连续可微 ， ） （ ） ∈ Ｃ ， ： ｔ在 ≠ （ｆ 和 ￡ 存在且 （ｆ ＝ （ ｝ ｆ ￡ ） ｔ 。设 Ｑ ＝｛ ∈ ） Ｐ （ ， ） （） ｘ ｏ ，Ｅ 一ｒ ］ 。定义范数 Ｉ Ｉ＝ ｕ ｛ｘ ｔ ｌ ∈ Ｔ 明 ｝显然 ， ｃ － Ｒ ： ｔ ＝ （ ）ｔ ［ ，０ ｝ ， Ｅ ， Ｉ Ｉ ｓｐ Ｉ（）：ｔ ［一 ， ， Ｑ 是 个 Ｂｎｃ 间 。又设 ｎ ＝Ｐ ［ ， ， ） Ｃ （０ Ｔ ， ） ａａｈ空 Ｃ（ 一Ｔ ］尺 ｎＰ ［ ， ］Ｒ 。称 函数 ∈Ｑ 为边 值 问题式 （ ） １ 的 个解 ， 如果 ∈Ｑ 满足 （ ） 。 １式
脉 冲泛 函微分方程周期边值问题 的上下解方法
Ｏ 陈 星 荣
（ 嘉应学院 数 学学院， 东 梅 州 ５４ １ ） 广 １０ ５ ［ 摘 要］ 利用带脉 冲的微分不等式及新的 比较 结果 ， 结合单调迭代 法， 研究 了一 阶脉 冲泛函微分 方程
周 期 边 值 问题 解 的存 在 性 。
［ 关键词 ］ 冲泛 函微分方程 ； 脉 周期边值 问题 ； 上下解 ； 单调迭代 法 ［ 中图分类号 ］０ ７ ． ［ １５ ８ 文献标识码］Ａ ［ 文章编号］１０ ６ ２ ２ｏ ） ６— ０ ４ ０ ０ ６— ４ ｘ（ｏ ８ ｏ ０ １ － ５
（ ＝ ＋ Ｇ ）一 ＋（ ）Ｌ（ ）∈ ， ￡ ｛。 （ （ ） （ ）＋ ｒ ， ［明 ） （ ￣ｔ ｔ ０ ｌ）
【（ ）ｔ 一 ，］ ｘｏ ，∈［ 丁０
其 中
（ ３ ）
∞ 南 ＝
三阶非线性常微方程周期边值问题解的存在性
（） ５
（） ６
引 理 １ 如果 ｔ￡ 在 上 满足 ： ｔ（ ＋仇．￡ ０ｕ０ ｕ２ ）那 么在 上有 ．￡ ０ 其 中 ‘） （ ｔ￡ ／） “ ） ，（） （１ ， （ ｒ “） ， （
ｍ ＞ ０ ．
证 明 用反证法 ．假设结论 不成立。则一定存在 ｔ ∈ 使得 （） 。 ． 幻
也 需 要通 过 求解 一 系列 的三 阶 边值 问题 来解 决 ，所 以三 阶 微分 方 程 边值 问题 的研 究受 到 人 们 的 普遍 关 注和重 视． 近 年来 ，二阶微分 方程 周 期 解 的存 在 性 问题 得 到 了广泛 而 深入 的研 究；而三 阶微分 方程 ，
由于其 自身结构 的复杂 性 ，所 以结 果 相对 较 少 ．文献 【 用上 下解 与 单调 迭代方 法研 究 了二 阶 ３ 】
李 波 － 刘文斌 。 ，
（．东南大学数学系。江苏 南京 ２ ０ １ ； ． １ １ ０ ８ ２ 徐州师范大学数学科学学院，江苏 徐州 ２ １ １ ； ２ １６
３ ．中国矿业大学理 学院，江苏 徐 州 ２ １ ０ ） ２ ０８
摘
要
利用上下解方法和 单调迭代 法研究了 一般 形式的三阶常微分方 程周期边 值问题解 的存在性 常 墩分方程；周 期边值 问题 ；单调迭代法 ；上下解
ｔｅｌｅＯｄｃ ｍｊ－＂ｓ） ＝。ｔｓ －， ￣ｍｓｌ Ｏ ｃ－ 其 ｃ常．ｃ （ ｕ）２（ 一（ ＋， 得 中为数又＝。 （ ｅ ｅ盯ｓ）此到 ｕ ２ ｗ ～ｓ ｃ ）丌 ｒ ｎ ） 由 ｄ
打
ｃ
ｅｍ￣ｓ － ｓ （ Ｔ）
引理得 证 ．
引 理 ３ 若 ，￡ 在 上 满足 ： ）（ 一（ ＋Ａ ３ ｔ 一（ ）） （ ， ｆ ， ） ｎ １） ） 川ｎ＋， ＋＾ ）（） ０ ｐＯ ＝，２ｒ ， （ 。 如ｎｐｔ ， （） ） ７ （ ／ ０ ｐ ２ ） 则在 上 有 ｐ ＋ｎ （ ０ ，ｆ ０ 其 中 ｎ＞０ １． Ｉ ） ７． （ （ｒ ） ｐｔ ） ， （ ． Ｊ） ．ｔ ｉ
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其 中 （ 在 ｔＥ ｆ Ｘ，ｔ ｔ处具有连续导数 。 ） ≠
设Ｑ ＝Ｐ （ ， ］ Ｒ ｎＰ （ ， 】 ｏ Ｃ ［ ， ） Ｃ‘０ ， ０ 【 Ｒ）
（ ） Ｊ （＝１ ｇ ，并 且 ｊ ， ） …，
甜 ＝ （ （ ｆ，， （） ） （ “ ）…甜 ｆ） （） （ ），
］ ， ； Ａ （） ｌ（（ ） ｋ １ Ｐ ｕｔ ＝ ｋｕｔ） ＝ ， ； ｋ ｋ， …，
、
（） １
ｌ∈Ｃ Ｒ Ｒ）Ａ （） （ 一甜ｔ 。 ｋ （ ， ， ｕｔ ＝Ｕ ） （） ｋ ｋ
ＹｅＧｕ ｂ ｎ ｏ ｉ ｇ， Ｗ ａ ｇ Ｘｕ ｂ ｎ， Ｌｉ ａ ｈ ｎ ｅｉ ｕ Ｘｉｏ ｕａ
（ ｏｌ ｅｏ ｃ ｎ ｅ ｕ ａ ｉｅｓｙｏ ｅｈ ｏｏ ｙ ｈ ｚｏ ｕ ａ １０ ８ ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｉ ｃ ，Ｈ ｎｎＵｎｖｒｉ ｆ ｃｎ ｌｇ ，Ｚ ｕ ｈ ｕＨ ｎｎ４ ２ ０ ，Ｃ ｉａ ｅ Ｓｅ ｔ Ｔ
ａ ｏ ｅ ｃ ｎ ｌ ｉ ｎｓａ ｄ ｔ ｅｍ ｏ ｏ ｏ ｅｉｅ ａ ｉ ｅｔｃ ｎ ｑ ｅ ｏ ｔ ｉ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆｔ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓｏｆｐ ｒｏ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｂ ｖ ｏ ｃｕｓｏ ｎ ｈ ｎ ｔ ｎ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｈ ｉ ｕ ， ｂ ａｎｓｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｅ ｄｃ ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｈ ｉ ｐ ｏ ｌｍ ｓｆ ｒｔ ｅｅ ｕ ｔｏ ｓ ｒ ｂ ｅ ｏ ｑ ａｉ ｎ ． ｈ Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄ ： ｎ ｎ ｉｅ ｒｉ ｐ ｌｉｅｄ ｆｅｅ ｔａ ｑ ａ ｏ ｙ ｒｓ ｏ ｌｎ ａ ｍ ｕ ｓｖ ｉｆ ｒ ｎ ｉｌ ｕ ｔ ｎ； ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｌ ｗ ｅ ｎ ｐ ｒｍ ｅ ｏ ｅ ｉ ｅ ｄ ｃｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ； ｏ ｒａ ｄ ｕ ｐｅ ｔ ｄ； ｍ ｏ ｏｔｎ ｉ ｈ ｎ ｏｅ ｉｅ ａｉ ｅｔｃ ｎ ｑ ；ｅ ｔｅ ａ ｏ ｕｉ ｎ ｔｒ ｔ ｈ ｉｕｅ ｘ ｒｍ ｌ ｓ ｌ ｔ ｖ ｅ ｏ
第 ２ 卷 第３ ４ 期
２１年 ５ ００ 月
湖
南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ．４ ＮＯ ３ １ ． ２
Ｊ ｕ ａ ｆＨｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｍ ｌ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｙ
Ｍ ａ ０ ０ ｙ２ １
带多项偏差变元的非线性脉冲 微分方程周期边值问题
０ 引言
近年 来 ，因 为 脉 冲微 分 方 程 有 着 广 泛 的应 用 背 景 ，从而使得对 于它的研究得 到 了极大重 视 ，相应地 ， 周期 边值 问题 在脉 冲微分 方程 理论 中占据 了重 要 的位
式 （ １）中 ：
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叶 国炳 ，王学斌 ，刘小花
（ 湖南 工业 大学 理学 院 ，湖南 株洲 ４ ２ ０ ） １０ ８
摘 要 ：发 展 了经典 的上 下解 方 法 ，建 立 了一 些 比较 准 则 。通过运 用这 些 结论和 单调 迭代技 巧 ，得 到 了所
考虑 方程 的周期 边 值 问题 的解 的存 在 性 。 关 键词 ：非线性 脉 冲微 分 方程 ；周期 边值 ；上 下解 方 法 ；单 调 迭代技 巧 ；极 值 解 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１５１ ４ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ ３ ９ ３ （０ ００ － ０ ５ ０ １７ － ８ ３２ １）３０ １－ ７
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收稿 日期 ：２ ０ － １０ ０ ９ １－ ３
函数 Ｕ在 ｘ上分 段连续 ，且 间断 点 ｒ∈Ｘ是 第一类 的 ，
通信作者 ：叶国炳 （ ９ ２ ，男 ，广东龙川人 ，湖南工业 大学 副教授 ，硕士 ，主要从事微分方程方 面的教学 与研究 ， １６ －）
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第 ２ 卷 第３ ４ 期
２１年 ５ ００ 月
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ＶＯ ．４ ＮＯ ３ １ ． ２
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带多项偏差变元的非线性脉冲 微分方程周期边值问题
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近年 来 ，因 为 脉 冲微 分 方 程 有 着 广 泛 的应 用 背 景 ，从而使得对 于它的研究得 到 了极大重 视 ，相应地 ， 周期 边值 问题 在脉 冲微分 方程 理论 中占据 了重 要 的位
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（ 湖南 工业 大学 理学 院 ，湖南 株洲 ４ ２ ０ ） １０ ８
摘 要 ：发 展 了经典 的上 下解 方 法 ，建 立 了一 些 比较 准 则 。通过运 用这 些 结论和 单调 迭代技 巧 ，得 到 了所
考虑 方程 的周期 边 值 问题 的解 的存 在 性 。 关 键词 ：非线性 脉 冲微 分 方程 ；周期 边值 ；上 下解 方 法 ；单 调 迭代技 巧 ；极 值 解 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１５１ ４ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ ３ ９ ３ （０ ００ － ０ ５ ０ １７ － ８ ３２ １）３０ １－ ７
记Ｐ （ ， ） ｛ Ｉ： ｙ ＣＸ Ｙ＝ ““ Ｘ ，
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收稿 日期 ：２ ０ － １０ ０ ９ １－ ３
函数 Ｕ在 ｘ上分 段连续 ，且 间断 点 ｒ∈Ｘ是 第一类 的 ，
通信作者 ：叶国炳 （ ９ ２ ，男 ，广东龙川人 ，湖南工业 大学 副教授 ，硕士 ，主要从事微分方程方 面的教学 与研究 ， １６ －）
Ａｂ ｔ ａ ｔ：Ｄｅ ｌ ｐｓｔ ｅ ｃａ ｓｃ ｌｌｗｅ ｎ ｐ ｒｍｅ ｈ ｄ， ｎ ｓａ ｌｓ ｅ ｈ ｏ ａ ｉｏ ｒｎ ｉ ｌ ｓ Ｂｙｕｓｎ ｈ ｓｒ ｃ ｖｅｏ ｈ ｌ ｓ ｉａ ｏ ｒａ ｄ ｕ ｐｅ ｔ ｏ ａ ｄ ｅ ｔｂ ｉｈ ｓｔ ｅｃ ｍｐ ｒｓ ｎ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ． ｉ ｇ ｔ ｅ
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２１ ０ ０年
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／ 五 ｌ，）ｌ （， … 存在， （， ，Ｙ ７ｆ￣五 ，， … ｑｆ ） ／ 五 … ） 厂 ， ） 且 Ｊ Ｒ 续， （， ，， ＝ （ … ， ： 连 ， ，
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