学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

解：这是单个正态总体

X ~ N(,

2

），方差2未知时关于均值

的假设检

85

H 1 :

85

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末

数理统计与随机过程（研）课程试卷

学号 ______________ 姓名 ________________ 成绩

注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》

浙江大学

盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业， 但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考 试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日

、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为

x 80

分,

样本标准差s 8分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为 85

分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异

（取显著性水平 0.05）?

验冋题，用T 检验法.

选统计量

已知X 80 s 8

，n = 28, 0 85

T 计算得80 8

8/、28

3.3

查t分布表，0.05，自由度27,临界值—25（27） 2.052.

由于T 2.052 2.2622，故拒绝H。，即在显著水平0.05下不能认为该班的英语成绩为85分.

?i ?0 P{x k}

2k e 2

k!

k 0, 7,

、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录

试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布？（取显著性水平0.05）

解：由极大似然估计得？ X 2.

在X服从泊松分布的假设下，X的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A o, A i,…, A8。

则P{X k}有估计

、某公司在为期10年内的年利润表如下:

(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程；(2)对回归方程进行显著性检验：(取 0.05)； (3)解释回归系数的意义；(4)求第11年利润的预测区间

(取0.05 )。

4 / 10

在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响? 取显著性水平0.05,计算结果保留三位小数。

写出推导过程； 10 小时，求再无

五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数

N

(t), 0 t

是强度的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 0

(1)求 P{N(5) 6|N(3) 4} ； (2)求自相关函数 R N (s,t) ， (3)求 T 的概率分布函数； (4)已知设备已经无故障运行了 故障运行 8小时的概率0

六、（15 分）设{X n,n T} 是一个齐次马尔可夫链，其状态空间

1/2 1/2 0 0

1/2 1/4 1/4 0 {, 1, 2, 3, 一步转移概率矩阵为P

0 1/4 1/2 1/4

0 0 1/2 1/2

4} ?

1）求P{X1 2,X2 3,X3 1,X4 2, X 5

2）求P{X n 2 3|X n 1} ；

3）讨论此链是否具有遍历性，5曰

遍历的求其极限分布。

若是

七、设 X(t) 是平稳随机过程，若Y(t) X(t)cos(2 t )，其中是在(0,2 ) 上服从均匀分布的随机变量且与 X(t) 独立，问Y(t) 是否是平稳随机过程？

•这是单个正态总体X ~ N （ 2

），方差2未知时关于均值

的假设检

验冋题，用T 检验法.

解H 。:

85 H 1:

85

选统计量

已知 X 80 , s 8 , n = 28,

o

85

Y

(t) E[Y(t)] x (t)E[cos(2 t )]

标准答案（仅供参考）

3.31

查t 分布表，

0.05，自由度27,临界值t o.025 0） 2.052.

由于T 2.052 2.2622，故拒绝H 。，即在显著水平 0.05下不能认

为该班的英语成绩为85分.

七.解：设 x （t ） C, R x （），

1 ： cos(

2 t )d

R Y (t,s) E[Y(t)Y(s)]

1

R X (t, s)E{-cos2 (t 2

1

R X ( ) - cos2 (t s) R X ( )cos2

s) -cos[2 (t 2

s) 2 ]} 其中 T

计算得 80 85 8/、28

所以，是平稳随机过程

五解： (P{X n 2 3| X n 1} =1/8。

(3) P3中无零元，所以遍历

平稳分布为以下方程组1,2,3, 4 )

的解，具体求解略2

, 3, 4)P

123

解得平稳分布为 1 2/7, 4 1/7